Lösningar 14

Matematik för naturvetare 15hp

Versionen från 16 oktober 2007 kl. 07.43 (redigera) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring		Nuvarande version (16 oktober 2007 kl. 08.34) (redigera) (ogör) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag)
(11 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 5:		Rad 5:
-	6.14.<math>	+	'''6.14.'''
		+
		+	<math>
	h\frac{dM}{dh}=h\cdot 90\cdot 3h^2=3\cdot 90h^3=3M</math>		h\frac{dM}{dh}=h\cdot 90\cdot 3h^2=3\cdot 90h^3=3M</math>
-	6.15. Med $V=V(r)=4\epsilon (\sigma^{12}r^{-12}-\sigma^6r^{-6})$ får	+	'''6.15.'''
-	vi <math>	+
		+	Med $V=V(r)=4\epsilon (\sigma^{12}r^{-12}-\sigma^6r^{-6})$ får
		+	vi
		+
		+	<math>
	F=-\frac{dV}{dr}=-4\epsilon (\sigma^{12}(-12r^{-13})-\sigma^6		F=-\frac{dV}{dr}=-4\epsilon (\sigma^{12}(-12r^{-13})-\sigma^6
	(-6r^{-7}))=		(-6r^{-7}))=
	-4\epsilon\left(\frac{6\sigma^6}{r^7}-\frac{12\sigma^{12}}{r^{13}}\right)</math>		-4\epsilon\left(\frac{6\sigma^6}{r^7}-\frac{12\sigma^{12}}{r^{13}}\right)</math>
-	När $F=0$ så måste parentesen vara 0, vilket ger <math>	+
		+
		+	När $F=0$ så måste parentesen vara 0, vilket ger
		+
		+	<math>
	\frac{6\sigma^6}{r^7}=\frac{12\sigma^{12}}{r^{13}}		\frac{6\sigma^6}{r^7}=\frac{12\sigma^{12}}{r^{13}}
	\quad\mbox{dvs}\quad		\quad\mbox{dvs}\quad
	r^6=2\sigma^6</math>		r^6=2\sigma^6</math>
		+
		+
	Villkoret är alltså $r=2^{1/6} \sigma$.		Villkoret är alltså $r=2^{1/6} \sigma$.
-	6.16. Medelhastigheten för tillväxten mellan tidpunkterna $t_{1}$ och	+	'''6.16.'''
-	$t_{2}$ är <math>	+
-	\frac{H(t_{2})-H(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.</math>	+	Medelhastigheten för tillväxten mellan tidpunkterna $t_{1}$ och
-	Medelhastigheten mellan 4:e och 6:e veckan blir <math>	+	$t_{2}$ är
		+
		+	<math>
		+	\frac{H(t_{2})-H(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}
		+	</math>
		+
		+	Medelhastigheten mellan 4:e och 6:e veckan blir
		+
		+	<math>
	\frac{H(6)-H(4)}{6-4}=\frac{6^2/4+6-(4^2/4+4)}{6-4}=		\frac{H(6)-H(4)}{6-4}=\frac{6^2/4+6-(4^2/4+4)}{6-4}=
	\frac{15-8}{2}=3,5\quad\mbox{mm per vecka}</math>		\frac{15-8}{2}=3,5\quad\mbox{mm per vecka}</math>
		+
		+
	Tillväxthastigheten när vecka 5 börjar är $H'(5)=5/2+1=3,5$ mm per		Tillväxthastigheten när vecka 5 börjar är $H'(5)=5/2+1=3,5$ mm per
	vecka. Att värdena blir desamma beror på att tangenten i $t=5$ är		vecka. Att värdena blir desamma beror på att tangenten i $t=5$ är
Rad 35:		Rad 57:
-	6.18. Löser vi ut $T$ så får vi $T(V)=kV^{-0,4}$ och alltså	+	'''6.18.'''
-	$T'(V)=-0,4kV^{-1,4}$. Alltså är <math>	+
		+	Löser vi ut $T$ så får vi $T(V)=kV^{-0,4}$ och alltså
		+	$T'(V)=-0,4kV^{-1,4}$. Alltså är
		+
		+	<math>
	\frac{V}{T}\cdot\frac{dT}{dV}=\frac{V}{kV^{-0,4}}\cdot		\frac{V}{T}\cdot\frac{dT}{dV}=\frac{V}{kV^{-0,4}}\cdot
	(-0,4kV^{-1,4})=-0,4.</math>		(-0,4kV^{-1,4})=-0,4.</math>
-	Ett annat sätt är att logaritmera sambandet, $\ln T+0,4\ln V=\ln k$,	+
-	och sedan derivera: <math>	+
-	\frac{T'(V)}{T}+0,4\cdot\frac{1}{V}=0.</math>	+	Ett annat sätt är att först logaritmera sambandet: $\ln T=\ln k - 0,4\ln V$,
		+	och sedan derivera:
		+
		+	<math>
		+	\frac{T'(V)}{T}=-0,4\cdot\frac{1}{V}</math>
		+
		+
	Detta ger efter omskrivning $VT'(V)/T=-0,4$.		Detta ger efter omskrivning $VT'(V)/T=-0,4$.
-	6.19. Om $f(x_{0})=5$ så är $(f^{-1})'(5)=1/f'(x_{0})$. Vi måste	+	'''6.19.'''
		+
		+	Om $f(x_{0})=5$ så är $(f^{-1})'(5)=1/f'(x_{0})$. Vi måste
	alltså lösa ekvationen $f(x_{0})=3-2x^5=5$. Vi får $x_{0}=-1$ och		alltså lösa ekvationen $f(x_{0})=3-2x^5=5$. Vi får $x_{0}=-1$ och
	alltså $(f^{-1})'(5)=1/(-2\cdot 5(-1)^4)=-1/10$.		alltså $(f^{-1})'(5)=1/(-2\cdot 5(-1)^4)=-1/10$.
Rad 52:		Rad 86:
-	6.20. Som i förra uppgiften måste vi lösa $f(x_{0})=3$. Vi får	+	'''6.20.'''
-	$x_{0}=5$ och eftersom <math>	+
		+	Som i förra uppgiften måste vi lösa $f(x_{0})=3$. Vi får
		+	$x_{0}=5$ och eftersom
		+
		+	<math>
	f'(x)=\frac{1(x-2)-1(x+4)}{(x-2)^2}=-\frac{6}{(x-2)^2}</math>		f'(x)=\frac{1(x-2)-1(x+4)}{(x-2)^2}=-\frac{6}{(x-2)^2}</math>
		+
		+
	så får vi $(f^{-1})'(3)=1/f'(5)=-(5-2)^2/6=-3/2$.		så får vi $(f^{-1})'(3)=1/f'(5)=-(5-2)^2/6=-3/2$.
-	6.24. Derivering av sambandet $x^2-y^2=8$ ger $2x-2yy'=0$, varav	+	'''6.24.'''
		+
		+	Derivering av sambandet $x^2-y^2=8$ ger $2x-2yy'=0$, varav
	$y'=x/y$. Alltså är $y'(3)=3/1=3$. Tangentens ekvation är		$y'=x/y$. Alltså är $y'(3)=3/1=3$. Tangentens ekvation är
	$y-1=3(x-3)$ eller $y=3x-8$.		$y-1=3(x-3)$ eller $y=3x-8$.
Rad 65:		Rad 107:
-	6.27.b) Om funktionen betecknas med $f$ så är <math>	+	'''6.27.b)'''
		+
		+	Om funktionen betecknas med $f$ så är
		+
		+	<math>
	\ln |f(x)|=2\ln|\sin x|+3\ln|\cos x|-\ln|\sin 3x|-2\ln|\cos 2x|</math>		\ln |f(x)|=2\ln|\sin x|+3\ln|\cos x|-\ln|\sin 3x|-2\ln|\cos 2x|</math>
-	och deriverar vi detta så får vi <math>	+
		+
		+	och deriverar vi detta så får vi
		+
		+	<math>
	\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{2\cos x}{\sin x}-\frac{3\sin x}{\cos		\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{2\cos x}{\sin x}-\frac{3\sin x}{\cos
	x}-\frac{3\cos 3x}{\sin 3x}+\frac{4\sin 2x}{\cos 2x}=		x}-\frac{3\cos 3x}{\sin 3x}+\frac{4\sin 2x}{\cos 2x}=
-	\frac{2}{\tan x}-3\tan x-\frac{3}{\tan 3x}+4\tan 2x.</math>	+	\frac{2}{\tan x}-3\tan x-\frac{3}{\tan 3x}+4\tan 2x</math>
		+
		+
	Multiplikation av båda leden med $f(x)$ ger resultatet.		Multiplikation av båda leden med $f(x)$ ger resultatet.
-	c) Om $f(x)=x^3e^{\sin x}$ så är $\ln|f(x)|=3\ln |x|+\sin x$, så <math>	+	'''6.27.c)'''
		+
		+	Om $f(x)=x^3e^{\sin x}$ så är $\ln|f(x)|=3\ln |x|+\sin x$, så
		+
		+	<math>
	\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{3}{x}+\cos x.</math>		\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{3}{x}+\cos x.</math>
-	d) Med $f(x)=x^{\cos x}$ så är $\ln|f(x)|=\cos x\ln|x|$, alltså <math>	+	'''6.27.d)'''
		+
		+	Med $f(x)=x^{\cos x}$ så är $\ln|f(x)|=\cos x\ln|x|$, alltså
		+
		+	<math>
	f'(x)=-\sin x\ln |x|+\frac{\cos x}{x}.</math>		f'(x)=-\sin x\ln |x|+\frac{\cos x}{x}.</math>
-	7.1, 7.2.a) Derivatan är $y'=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$ med nollställena	+	'''7.1, 7.2.a)'''
		+
		+	Derivatan är $y'=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$ med nollställena
	$x=2±\sqrt{2^2-3}=2±1$, alltså 1 och 3. Enligt faktorsatsen är		$x=2±\sqrt{2^2-3}=2±1$, alltså 1 och 3. Enligt faktorsatsen är
-	$y'=3(x-1)(x-3)$. Vi gör ett teckenschema:<math>\begin{array}{cccccccccc}	+	$y'=3(x-1)(x-3)$. Vi gör ett teckenschema:
-	x & & 1 & & 3 \\	+
-	\hline \\	+
		+	<math>\begin{array}{cccccc}
		+	x & & 1 & & 3 &\\
	3 & + & + & + & + & + \\		3 & + & + & + & + & + \\
	x-1 & - & 0 & + & + & + \\		x-1 & - & 0 & + & + & + \\
Rad 96:		Rad 160:
	y &\nearrow &\mbox{lok max} &\searrow &\mbox{lok min}		y &\nearrow &\mbox{lok max} &\searrow &\mbox{lok min}
	&\nearrow\end{array}</math>		&\nearrow\end{array}</math>
		+
		+
	(Det är ju egentligen onödigt att ta med faktorn 3 i schemat, eftersom		(Det är ju egentligen onödigt att ta med faktorn 3 i schemat, eftersom
	den är positiv överallt och därför inte kan påverka tecknet. Hade det		den är positiv överallt och därför inte kan påverka tecknet. Hade det
Rad 103:		Rad 169:
-	c) Skriver vi $y=1+1/x$ så ser vi genast att funktionen är avtagande	+	'''7.2.c)'''
		+
		+	Skriver vi $y=1+1/x$ så ser vi genast att funktionen är avtagande
	överallt där den är definierad, dvs för $x\not=0$. Derivatan är		överallt där den är definierad, dvs för $x\not=0$. Derivatan är
	$y'=-1/x^2$, som ju mycket riktigt är $<0$ för alla $x\not=0$.		$y'=-1/x^2$, som ju mycket riktigt är $<0$ för alla $x\not=0$.
Rad 109:		Rad 177:
-	e) Derivatan är $y'=2/x-2x=2(1-x^2)/x=-2(x+1)(x-1)/x$. Funktionen är	+	'''7.2.e)'''
		+
		+	Derivatan är $y'=2/x-2x=2(1-x^2)/x=-2(x+1)(x-1)/x$. Funktionen är
	definierad bara för $x>0$ och i det området är $(x+1)/x>0$.		definierad bara för $x>0$ och i det området är $(x+1)/x>0$.
-	Teckenschemat blir alltså ganska enkelt:<math>\begin{array}{cccccccccc}	+	Teckenschemat blir alltså ganska enkelt:
-	x & & 1 \\	+
-	\hline\\	+
		+	<math>\begin{array}{cccc}
		+	x & & 1 &\\
	-2 & - & - & - \\		-2 & - & - & - \\
	x-1 & - & 0 & + \\		x-1 & - & 0 & + \\
Rad 121:		Rad 193:
-	g) Derivatan är <math>	+	'''7.2.g)'''
-	y'=e^x(x^2-2x+2)+e^x(2x-2)=x^2e^x</math>	+
		+	Derivatan är
		+
		+	<math>
		+	y'=e^x(x^2-2x+2)+e^x(2x-2)=x^2e^x
		+	</math>
		+
		+
	som är $>0$ för $x\not =0$ och 0 för $x=0$. Alltså är funktionen		som är $>0$ för $x\not =0$ och 0 för $x=0$. Alltså är funktionen
	strängt avtagande och $x=0$ en terrasspunkt.		strängt avtagande och $x=0$ en terrasspunkt.
Rad 128:		Rad 207:
-	7.4.a) Derivatan är $y'=8x^3+1$ som har ett nollställe $x=-1/2$.	+	'''7.4.a)'''
		+
		+	Derivatan är $y'=8x^3+1$ som har ett nollställe $x=-1/2$.
	Enligt faktorsatsen är $8x^3+1$ delbart med $x-(-1/2)=x+1/2$, dvs		Enligt faktorsatsen är $8x^3+1$ delbart med $x-(-1/2)=x+1/2$, dvs
	även med $2x+1$ och utför vi divisionen så får vi		även med $2x+1$ och utför vi divisionen så får vi
Rad 137:		Rad 218:
-	d) Derivatan är $y'=4-4x-3x^2$ med nollställena $x=-2$ och $x=2/3$.	+	'''7.4.d)'''
		+
		+	Derivatan är $y'=4-4x-3x^2$ med nollställena $x=-2$ och $x=2/3$.
	Alltså är $y'=(-3)(x^2+4x/3-4/3)=(-3)(x-(-2))(x-2/3)=(-3)(x+2)(x-2/3)$.		Alltså är $y'=(-3)(x^2+4x/3-4/3)=(-3)(x-(-2))(x-2/3)=(-3)(x+2)(x-2/3)$.
-	Teckenschemat se ut så här:<math>\begin{array}{ccccccccccccc}	+	Teckenschemat se ut så här:
-	x & & -2& & 2/3 \\	+
-	\hline \\	+
		+	<math>\begin{array}{cccccc}
		+	x & & -2& & 2/3 &\\
	-3 & - & - & - & - & - \\		-3 & - & - & - & - & - \\
	x+2& - & 0 & + & + & + \\		x+2& - & 0 & + & + & + \\
Rad 151:		Rad 236:
-	7.5.b) En funktion $f(x)=g(x)^2$ som är kvadraten på	+
		+	'''7.5.b)'''
		+
		+	En funktion $f(x)=g(x)^2$ som är kvadraten på
	en annan funktion kan man derivera antingen genom att använda		en annan funktion kan man derivera antingen genom att använda
	produktregeln eller genom att använda kedjeregeln. Det första sättet		produktregeln eller genom att använda kedjeregeln. Det första sättet
Rad 157:		Rad 245:
	$f'(x)=2g(x)\cdot g'(x)$ eftersom den inre derivatan är $g'(x)$. Med		$f'(x)=2g(x)\cdot g'(x)$ eftersom den inre derivatan är $g'(x)$. Med
	$g(x)=\sin x$ ger detta $f'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Lösningarna till		$g(x)=\sin x$ ger detta $f'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Lösningarna till
-	ekvationen $\sin 2x=0$ är $2x=n¹$, dvs $x=n¹/2$, där $n=0,±1,±2,\ldots$.	+	ekvationen $\sin 2x=0$ är $2x=n\pi$, dvs $x=n\pi/2$, där $n=0,±1,±2,\ldots$.
	Teckenväxlingen är $-0+$ när $n$ är jämnt och $+0-$ då $n$ är udda.		Teckenväxlingen är $-0+$ när $n$ är jämnt och $+0-$ då $n$ är udda.
-	För $n=2m$, dvs $x=m¹$, har vi således lokala minima och för $n=2m+1$,	+	För $n=2m$, dvs $x=m\pi$, har vi således lokala minima och för $n=2m+1$,
-	dvs $x=¹/2+m¹$, har vi lokala maxima.	+	dvs $x=\pi/2+m\pi$, har vi lokala maxima.
-	d) Derivatan är $y'=(e^x-e^{-x})/2$ som har ett enda nollställe	+	'''7.5.d)'''
		+
		+	Derivatan är $y'=(e^x-e^{-x})/2$ som har ett enda nollställe
	$x=0$. Teckenväxligen är $-0+$, varför detta är ett lokalt minimum.		$x=0$. Teckenväxligen är $-0+$, varför detta är ett lokalt minimum.
-	7.7.a) Vi börjar med att undersöka funktionens nollställen och	+	'''7.7.a)'''
		+
		+	Vi börjar med att undersöka funktionens nollställen och
	tecken (sådan information är alltid användbar när man skall rita		tecken (sådan information är alltid användbar när man skall rita
	grafer). Vi har förstås $y=0$ för $x=0$ och $x=-1$. Eftersom		grafer). Vi har förstås $y=0$ för $x=0$ och $x=-1$. Eftersom
-	$y=x(x+1)$ så får vi teckenschemat <math>\begin{array}{ccccccccc}	+	$y=x(x+1)$ så får vi teckenschemat
-	x & & -1 & & 0 \\	+
-	\hline\\	+
		+	<math>\begin{array}{cccccc}
		+	x & & -1 & & 0 &\\
	x+1 & - & 0 & + & + & + \\		x+1 & - & 0 & + & + & + \\
	x & - & - & - & 0 & + \\		x & - & - & - & 0 & + \\
	y & + & 0 & - & 0 & +		y & + & 0 & - & 0 & +
	\end{array}</math>		\end{array}</math>
		+
		+
	Vi har $y=x^2+x=x^2(1+1/x)$, vilket visar att $y\to\infty$ då		Vi har $y=x^2+x=x^2(1+1/x)$, vilket visar att $y\to\infty$ då
	$x\to±\infty$. Derivatan är $y'=2x+1$ som är 0 för $x=-1/2$.		$x\to±\infty$. Derivatan är $y'=2x+1$ som är 0 för $x=-1/2$.
Rad 184:		Rad 280:
	Inga asymptoter finns.		Inga asymptoter finns.
	Anmärkning: Ett annat sätt är förstås att kvadratkomplettera, vilket		Anmärkning: Ett annat sätt är förstås att kvadratkomplettera, vilket
-	ger <math>	+	ger
		+
		+	<math>
	y=x^2+x=x^2+2\cdot \frac{1}{2}\cdot x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-		y=x^2+x=x^2+2\cdot \frac{1}{2}\cdot x+\left(\frac{1}{2}\right)^2-
	\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-		\left(\frac{1}{2}\right)^2=\left(x+\frac{1}{2}\right)^2-
-	\frac{1}{4}.</math>	+	\frac{1}{4}</math>
		+
		+
	Här ser vi direkt att $y$ har ett lokalt minimum för $x=-1/2$ och		Här ser vi direkt att $y$ har ett lokalt minimum för $x=-1/2$ och
	värdet är $-1/4$.		värdet är $-1/4$.
Rad 193:		Rad 293:
-	c) Lägg först märke till att funktionen inte är definierad för	+	'''7.7.c)'''
		+
		+	Lägg först märke till att funktionen inte är definierad för
	$x=-2$. Vi har $y\to 0$ då $x\to\infty$, så $x$-axeln är en vågrät asymptot.		$x=-2$. Vi har $y\to 0$ då $x\to\infty$, så $x$-axeln är en vågrät asymptot.
	Vidare gäller $y\to±\infty$ då $x\to -2_{±}$, så linjen $x=-2$ är en		Vidare gäller $y\to±\infty$ då $x\to -2_{±}$, så linjen $x=-2$ är en
Rad 202:		Rad 304:
-	d) Funktionen har ett enda nollställe $x=0$. Nämnaren är 0 för $x=1$	+	'''7.7.d)'''
		+
		+	Funktionen har ett enda nollställe $x=0$. Nämnaren är 0 för $x=1$
	och där är funktionen således inte definierad. Vi har		och där är funktionen således inte definierad. Vi har
	$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där polynomet $x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4$ är positivt		$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där polynomet $x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4$ är positivt
	för alla $x$. Alltså är $y<0$ då $x<1$ och $y>0$ då $x>1$.		för alla $x$. Alltså är $y<0$ då $x<1$ och $y>0$ då $x>1$.
-	Omskrivningen <math>	+	Omskrivningen
		+
		+	<math>
	y=\frac{x^2}{x^3-1}=\frac{1/x}{1-1/x^3}</math>		y=\frac{x^2}{x^3-1}=\frac{1/x}{1-1/x^3}</math>
		+
		+
	visar att $y\to 0$ då $x\to±\infty$, varför $x$-axeln är en vågrät asymptot.		visar att $y\to 0$ då $x\to±\infty$, varför $x$-axeln är en vågrät asymptot.
	Linjen $x=1$ är en lodrät asymptot eftersom $y\to±\infty$ då $x\to		Linjen $x=1$ är en lodrät asymptot eftersom $y\to±\infty$ då $x\to
-	1_{±}$. Vi deriverar: <math>	+	1_{±}$. Vi deriverar:
		+
		+	<math>
	y'=\frac{2x(x^3-1)-x^2\cdot 3x^2}{(x^3-1)^2}=\frac{-x^4-2x}{(x^3-1)^2}=		y'=\frac{2x(x^3-1)-x^2\cdot 3x^2}{(x^3-1)^2}=\frac{-x^4-2x}{(x^3-1)^2}=
	\frac{-x(x^3+2)}{(x^3-1)^2}</math>		\frac{-x(x^3+2)}{(x^3-1)^2}</math>
		+
		+
	Derivatans nollställen är alltså 0 och $-\root3\of 2$.		Derivatans nollställen är alltså 0 och $-\root3\of 2$.
	Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$, så den behöver vi inte ta med i		Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$, så den behöver vi inte ta med i
-	teckenschemat: <math>\begin{array}{ccccccccccc}	+	teckenschemat:
-	x & & -\root3\of 2 & & 0 \\	+
-	\hline\\	+
		+	<math>\begin{array}{cccccc}
		+	x & & - \sqrt[3]{2} & & 0 &\\
	-1 & - & - & - & - & - \\		-1 & - & - & - & - & - \\
	x & - & - & - & 0 & + \\		x & - & - & - & 0 & + \\
Rad 223:		Rad 337:
	y' & - & 0 & + & 0 & - \\		y' & - & 0 & + & 0 & - \\
	y &\searrow &\mbox{lok min} & \searrow & \mbox{lok max} &\searrow \end{array}</math>		y &\searrow &\mbox{lok min} & \searrow & \mbox{lok max} &\searrow \end{array}</math>
		+
		+
	Eventuellt kan man ta med punkten $x=1$ i teckenschemat, som en		Eventuellt kan man ta med punkten $x=1$ i teckenschemat, som en
	påminnelse om att funktionen inte är definierad där.		påminnelse om att funktionen inte är definierad där.
Rad 228:		Rad 344:
-	f) Funktionen är inte definierad för $x=1$ och har ett enda	+	'''7.7.f)'''
-	nollställe $x=4/3$. Teckenschema för funktionen: <math>	+
-	\begin{array}{ccccccccccccc}	+	Funktionen är inte definierad för $x=1$ och har ett enda
-	x & & 1 & & 4/3 \\	+	nollställe $x=4/3$. Teckenschema för funktionen:
-	\hline\\	+
		+
		+	<math>
		+	\begin{array}{cccccc}
		+	x & & 1 & & 4/3 &\\
	4-3x & + & + & + & 0 & - \\		4-3x & + & + & + & 0 & - \\
	1-x & + & 0 & - & - & - \\		1-x & + & 0 & - & - & - \\
	y & + & \mbox{ej def.} & - & 0 & +		y & + & \mbox{ej def.} & - & 0 & +
	\end{array}</math>		\end{array}</math>
		+
		+
	Vi har $y\to\infty$ då $x\to 1_{-}$ och $y\to-\infty$ då $x\to		Vi har $y\to\infty$ då $x\to 1_{-}$ och $y\to-\infty$ då $x\to
	1_{+}$, så linjen $x=1$ är en lodrät asymptot. Förkortar vi uttrycket		1_{+}$, så linjen $x=1$ är en lodrät asymptot. Förkortar vi uttrycket
-	för $y$ med $x$ så får vi <math>	+	för $y$ med $x$ så får vi
		+
		+	<math>
	y=\frac{4/x-3}{1/x-1},</math>		y=\frac{4/x-3}{1/x-1},</math>
		+
		+
	som går mot $(-3)/(-1)=3$ då $x\to±\infty$. Linjen $y=3$ är således en		som går mot $(-3)/(-1)=3$ då $x\to±\infty$. Linjen $y=3$ är således en
-	vågrät asymptot. Derivatan är <math>	+	vågrät asymptot. Derivatan är
-	y'=\frac{(-3)(1-x)-(-1)(4-3x)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2},</math>	+
		+	<math>
		+	y'=\frac{(-3)(1-x)-(-1)(4-3x)}{(1-x)^2}=\frac{1}{(1-x)^2}</math>
		+
		+
	som saknar nollställen. Funktionen har därför inga lokala		som saknar nollställen. Funktionen har därför inga lokala
	extremvärden.		extremvärden.
Rad 259:		Rad 389:
-	g) Eftersom $4-x^2=(2-x)(2+x)$ så är funktionen inte definierad för	+	'''7.7.g)'''
		+
		+	Eftersom $4-x^2=(2-x)(2+x)$ så är funktionen inte definierad för
	$x=±2$. Den har ett enda nollställe för $x=5/2$. Vi börjar med att		$x=±2$. Den har ett enda nollställe för $x=5/2$. Vi börjar med att
	göra ett teckenschema för		göra ett teckenschema för
-	$y=-(2x-5)/(x+2)(x-2)$:<math>\begin{array}{cccccccccccc}	+	$y=-(2x-5)/(x+2)(x-2)$:
-	x & & -2 & & 2 & & 5/2 \\	+
-	\hline \\	+
		+	<math>\begin{array}{cccccccc}
		+	x & & -2 & & 2 & & 5/2 & \\
	-1 & - & - & - & - & - & - & - \\		-1 & - & - & - & - & - & - & - \\
	x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\		x+2 & - & 0 & + & + & + & + & + \\
Rad 270:		Rad 404:
	2x-5& - & - & - & - & - & 0 & + \\		2x-5& - & - & - & - & - & 0 & + \\
	y & + &\mbox{ej def.} & - & \mbox{ej def.} & + & 0 & - \end{array}</math>		y & + &\mbox{ej def.} & - & \mbox{ej def.} & + & 0 & - \end{array}</math>
		+
		+
	Eftersom täljaren har lägre grad än nämnaren, så gäller $y\to 0$ då		Eftersom täljaren har lägre grad än nämnaren, så gäller $y\to 0$ då
	$x\to±\infty$. Alltså är $x$-axeln en vågrät asymptot. Lodräta		$x\to±\infty$. Alltså är $x$-axeln en vågrät asymptot. Lodräta
Rad 277:		Rad 413:
-	Derivatan är <math>	+	Derivatan är
		+
		+	<math>
	y'=\frac{2(4-x^2)-(2x-5)(-2x)}{(4-x^2)^2}=\frac{2x^2-10x+8}{(4-x^2)^2}=		y'=\frac{2(4-x^2)-(2x-5)(-2x)}{(4-x^2)^2}=\frac{2x^2-10x+8}{(4-x^2)^2}=
	\frac{2(x-1)(x-4)}{(4-x^2)^2}</math>		\frac{2(x-1)(x-4)}{(4-x^2)^2}</math>
		+
		+
	som har nollställena $x=1$ och $x=4$. Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$		som har nollställena $x=1$ och $x=4$. Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$
	och man behöver därför inte ta med den i teckenschemat, men man måste		och man behöver därför inte ta med den i teckenschemat, men man måste
	ha i minnet att varken funktionen eller derivatan är definierad för		ha i minnet att varken funktionen eller derivatan är definierad för
-	$x=±2$.<math>\begin{array}{ccccccccccc}	+	$x=±2$.
-	x & & 1 & & 4 \\	+
-	\hline\\	+
		+	<math>\begin{array}{cccccc}
		+	x & & 1 & & 4 &\\
	x-1 & - & 0 & + & + & + \\		x-1 & - & 0 & + & + & + \\
	x-4 & - & - & - & 0 & + \\		x-4 & - & - & - & 0 & + \\

---

Nuvarande version

[redigera] Lösningar till några övningar till lektion 14

Tillbaka till lösningarna

6.14.

6.15.

Med $V=V(r)=4\epsilon (\sigma^{12}r^{-12}-\sigma^6r^{-6})$ får vi

När $F=0$ så måste parentesen vara 0, vilket ger

Villkoret är alltså $r=2^{1/6} \sigma$.

6.16.

Medelhastigheten för tillväxten mellan tidpunkterna $t_{1}$ och $t_{2}$ är

Medelhastigheten mellan 4:e och 6:e veckan blir

Tillväxthastigheten när vecka 5 börjar är $H'(5)=5/2+1=3,5$ mm per vecka. Att värdena blir desamma beror på att tangenten i $t=5$ är parallell med linjen genom $(4,H(4))$ och $(6,H(6))$.

6.18.

Löser vi ut $T$ så får vi $T(V)=kV^{-0,4}$ och alltså $T'(V)=-0,4kV^{-1,4}$. Alltså är

Ett annat sätt är att först logaritmera sambandet: $\ln T=\ln k - 0,4\ln V$, och sedan derivera:

Detta ger efter omskrivning $VT'(V)/T=-0,4$.

6.19.

Om $f(x_{0})=5$ så är $(f^{-1})'(5)=1/f'(x_{0})$. Vi måste alltså lösa ekvationen $f(x_{0})=3-2x^5=5$. Vi får $x_{0}=-1$ och alltså $(f^{-1})'(5)=1/(-2\cdot 5(-1)^4)=-1/10$.

6.20.

Som i förra uppgiften måste vi lösa $f(x_{0})=3$. Vi får $x_{0}=5$ och eftersom

så får vi $(f^{-1})'(3)=1/f'(5)=-(5-2)^2/6=-3/2$.

6.24.

Derivering av sambandet $x^2-y^2=8$ ger $2x-2yy'=0$, varav $y'=x/y$. Alltså är $y'(3)=3/1=3$. Tangentens ekvation är $y-1=3(x-3)$ eller $y=3x-8$.

6.27.b)

Om funktionen betecknas med $f$ så är

ln | f(x) | = 2ln | sinx | + 3ln | cosx | − ln | sin3x | − 2ln | cos2x |

och deriverar vi detta så får vi

Multiplikation av båda leden med $f(x)$ ger resultatet.

6.27.c)

Om $f(x)=x^3e^{\sin x}$ så är $\ln|f(x)|=3\ln |x|+\sin x$, så

6.27.d)

Med $f(x)=x^{\cos x}$ så är $\ln|f(x)|=\cos x\ln|x|$, alltså

7.1, 7.2.a)

Derivatan är $y'=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)$ med nollställena $x=2±\sqrt{2^2-3}=2±1$, alltså 1 och 3. Enligt faktorsatsen är $y'=3(x-1)(x-3)$. Vi gör ett teckenschema:

(Det är ju egentligen onödigt att ta med faktorn 3 i schemat, eftersom den är positiv överallt och därför inte kan påverka tecknet. Hade det i stället stått t ex $-3$, så hade det varit nödvändigt att ta med den i schemat.)

7.2.c)

Skriver vi $y=1+1/x$ så ser vi genast att funktionen är avtagande överallt där den är definierad, dvs för $x\not=0$. Derivatan är $y'=-1/x^2$, som ju mycket riktigt är $<0$ för alla $x\not=0$.

7.2.e)

Derivatan är $y'=2/x-2x=2(1-x^2)/x=-2(x+1)(x-1)/x$. Funktionen är definierad bara för $x>0$ och i det området är $(x+1)/x>0$. Teckenschemat blir alltså ganska enkelt:

7.2.g)

Derivatan är

y' = e^x(x² − 2x + 2) + e^x(2x − 2) = x²e^x

som är $>0$ för $x\not =0$ och 0 för $x=0$. Alltså är funktionen strängt avtagande och $x=0$ en terrasspunkt.

7.4.a)

Derivatan är $y'=8x^3+1$ som har ett nollställe $x=-1/2$. Enligt faktorsatsen är $8x^3+1$ delbart med $x-(-1/2)=x+1/2$, dvs även med $2x+1$ och utför vi divisionen så får vi $y'=(2x+1)(4x^2-2x+1)$. Den andra faktorn är $>0$ för alla $x$, så $y'<0$ för $x<-1/2$ och $y'>0$ för $x>-1/2$. Alltså är $x=-1/2$ ett lokalt minimum och vi har $y(-1/2)=-19/8$.

7.4.d)

Derivatan är $y'=4-4x-3x^2$ med nollställena $x=-2$ och $x=2/3$. Alltså är $y'=(-3)(x^2+4x/3-4/3)=(-3)(x-(-2))(x-2/3)=(-3)(x+2)(x-2/3)$. Teckenschemat se ut så här:

7.5.b)

En funktion $f(x)=g(x)^2$ som är kvadraten på en annan funktion kan man derivera antingen genom att använda produktregeln eller genom att använda kedjeregeln. Det första sättet ger $f'(x)=g'(x)g(x)+g(x)g'(x)=2g'(x)g(x)$ och det andra $f'(x)=2g(x)\cdot g'(x)$ eftersom den inre derivatan är $g'(x)$. Med $g(x)=\sin x$ ger detta $f'(x)=2\sin x\cos x=\sin 2x$. Lösningarna till ekvationen $\sin 2x=0$ är $2x=n\pi$, dvs $x=n\pi/2$, där $n=0,±1,±2,\ldots$. Teckenväxlingen är $-0+$ när $n$ är jämnt och $+0-$ då $n$ är udda. För $n=2m$, dvs $x=m\pi$, har vi således lokala minima och för $n=2m+1$, dvs $x=\pi/2+m\pi$, har vi lokala maxima.

7.5.d)

Derivatan är $y'=(e^x-e^{-x})/2$ som har ett enda nollställe $x=0$. Teckenväxligen är $-0+$, varför detta är ett lokalt minimum.

7.7.a)

Vi börjar med att undersöka funktionens nollställen och tecken (sådan information är alltid användbar när man skall rita grafer). Vi har förstås $y=0$ för $x=0$ och $x=-1$. Eftersom $y=x(x+1)$ så får vi teckenschemat

Vi har $y=x^2+x=x^2(1+1/x)$, vilket visar att $y\to\infty$ då $x\to±\infty$. Derivatan är $y'=2x+1$ som är 0 för $x=-1/2$. Teckenväxlingen är $-0+$, så funktionen har ett lokalt minimum där. Inga asymptoter finns. Anmärkning: Ett annat sätt är förstås att kvadratkomplettera, vilket ger

Här ser vi direkt att $y$ har ett lokalt minimum för $x=-1/2$ och värdet är $-1/4$.

7.7.c)

Lägg först märke till att funktionen inte är definierad för $x=-2$. Vi har $y\to 0$ då $x\to\infty$, så $x$-axeln är en vågrät asymptot. Vidare gäller $y\to±\infty$ då $x\to -2_{±}$, så linjen $x=-2$ är en lodrät asymptot. Derivatan är $y'=-1/(x+2)^2$, som är $<0$ för $x\not=0$. Några lokala extremvärden finns alltså inte. Funktionen har inga nollställen och vi har $y<0$ för $x<-2$ och $y>0$ för $x>-2$.

7.7.d)

Funktionen har ett enda nollställe $x=0$. Nämnaren är 0 för $x=1$ och där är funktionen således inte definierad. Vi har $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där polynomet $x^2+x+1=(x+1/2)^2+3/4$ är positivt för alla $x$. Alltså är $y<0$ då $x<1$ och $y>0$ då $x>1$. Omskrivningen

visar att $y\to 0$ då $x\to±\infty$, varför $x$-axeln är en vågrät asymptot. Linjen $x=1$ är en lodrät asymptot eftersom $y\to±\infty$ då $x\to 1_{±}$. Vi deriverar:

Derivatans nollställen är alltså 0 och $-\root3\of 2$. Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$, så den behöver vi inte ta med i teckenschemat:

Eventuellt kan man ta med punkten $x=1$ i teckenschemat, som en påminnelse om att funktionen inte är definierad där.

7.7.f)

Funktionen är inte definierad för $x=1$ och har ett enda nollställe $x=4/3$. Teckenschema för funktionen:

Vi har $y\to\infty$ då $x\to 1_{-}$ och $y\to-\infty$ då $x\to 1_{+}$, så linjen $x=1$ är en lodrät asymptot. Förkortar vi uttrycket för $y$ med $x$ så får vi

som går mot $(-3)/(-1)=3$ då $x\to±\infty$. Linjen $y=3$ är således en vågrät asymptot. Derivatan är

som saknar nollställen. Funktionen har därför inga lokala extremvärden.

Anmärkning: Man kan se allt det här även genom att göra en liten omskrivning: Grafen till $y=1/(x-1)$ får man genom att skjuta grafen till $y=1/x$ ett steg åt höger och grafen till $y=-1/(x-1)$ får man sedan genom att spegla i $y$-axeln. Grafen till $y=3-1(x-1)$ får man till sist genom att förskjuta 3 steg uppåt längs $y$-axeln.

7.7.g)

Eftersom $4-x^2=(2-x)(2+x)$ så är funktionen inte definierad för $x=±2$. Den har ett enda nollställe för $x=5/2$. Vi börjar med att göra ett teckenschema för $y=-(2x-5)/(x+2)(x-2)$:

Eftersom täljaren har lägre grad än nämnaren, så gäller $y\to 0$ då $x\to±\infty$. Alltså är $x$-axeln en vågrät asymptot. Lodräta asymptoter är linjerna $x=±2$ eftersom $y\to\infty$ då $x\to -2_{-}$ och då $x\to 2_{+}$ och $y\to -\infty$ då $x\to -2_{+}$ och då $x\to 2_{-}$.

Derivatan är

som har nollställena $x=1$ och $x=4$. Nämnaren är $\ge 0$ för alla $x$ och man behöver därför inte ta med den i teckenschemat, men man måste ha i minnet att varken funktionen eller derivatan är definierad för $x=±2$.