Lösningar 19
Matematik för naturvetare 15hp
| Versionen från 16 oktober 2007 kl. 15.35 (redigera) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (16 oktober 2007 kl. 15.37) (redigera) (ogör) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag) |
||
| Rad 360: | Rad 360: | ||
| <math> | <math> | ||
| - | N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M\quad\text{då }t\to\infty.</math> | + | t\to\infty\text{ ger }N\to\frac{N_{0}M}{N_{0}}=M.</math> |
Nuvarande version
[redigera] Lösningar till några övningar till lektion 19
11.1.
Att bestämma partialbråksuppdelningar utan ansats är förstås tramsigt eftersom man i praktiken alltid använder olika ansatser. Lös därför övningen hur du vill!
11.1.a)
11.1.b)
11.1.c)
11.2.a.
11.2.b)
11.2.c)
11.6.a.
Vi har $9-x^2=(3+x)(3-x)$ så uppdelningen har utseendet
Vi gör liknämnigt:
Detta ger ekvationssystemet
som har lösningen $A=B=1/2$. Partialbråksuppdelningen är således
11.6.b)
Vi faktoriserar nämnaren genom att bestämma dess nollställen:
Nollställena är $x=1$ och $x=5$, så
6x − x2 − 5 = − (x − 1)(x − 5) = (1 − x)(x − 5).
Partialbråksuppdelningen har utseendet
och gör vi liknämnigt så får vi
Alltså måste
Detta ger
11.6.c)
Nämnaren har faktoriseringen $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, där andragradsfaktorn inte har några reella nollställen (och således inte går att faktorisera vidare). Partialbråksuppdelningen har utseendet
Vi gör liknämnigt i HL:
Detta ger ekvationsystemet
och vi får till sist
11.7.a)
11.7.b)
11.7.c)
Vi skriver den andra termen i parentesen som
Här har den första termen utseendet $f'(x)/f(x)$, där $f(x)=x^2+x+1$.
En primitiv funktion är således $\ln|f(x)|=\ln(x^2+x+1)$ (observera
att $x^2+x+1>0$ för alla $x$). För att integrera den andra termen
kvadratkompletterar vi nämnaren:
Alltså är
De primitiva funktionerna till $1/(x^3-1)$ är således
11.9.b.
Partialbråksuppdela:
Detta ger $A+B=1$, $2A=3$, alltså $A=3/2$, $B=-1/2$. Alltså
![\begin{array}{lll} \int_{1}^2\frac{x+3}{x(x+2)}\, dx&=& \frac{1}{2}\int_{1}^2\left(\frac{3}{x}-\frac{1}{x+2}\right)\, dx = \frac{1}{2}\left[3\ln|x|-\ln|x+2|\right]_{1}^2\\ &=& \frac{1}{2}(3\ln 2-\ln 4-3\ln 1+\ln 3)= \frac{1}{2}\ln 6\end{array}](/wikis/mm1001_0701/images/math/f/2/2/f22c7b7c13c29d8abcb82b9974791e46.png)
11.9.d)
Den andra faktorn kan faktoriseras: $x^2+2x-3=(x-1)(x+3)$. Partialbråksuppdelning:
Ekvationsystemet blir
Alltså
Vi har
så
![\begin{array}{lll} \int_{2}^{\infty}\frac{dx}{(x+1)(x^2+2x-3)}&=& \left[\frac{1}{8}\ln\frac{|(x-1)(x+3)|}{(x+1)^2}\right]_{2}^{\infty}\\ &=& -\frac{1}{8}\ln\frac{1\cdot 5}{3^2}=\frac{1}{8}\ln\frac{9}{5}.\end{array}](/wikis/mm1001_0701/images/math/f/7/b/f7b3d2265961b13b0427585fb593d270.png)
11.9.e)
Här är partialbråksuppdelningen
och integralen blir
![\begin{array}{lll} &\frac{1}{3}\left[-4\ln|x+1|+5\ln|x-1|-11\ln|x+2|+10\ln|x-2|\right]_{3}^4&\\ &=\frac{1}{3}(7\ln 5-6\ln 3+2\ln 2).&\end{array}](/wikis/mm1001_0701/images/math/b/8/1/b8157b4393f50662d1a8e316f1ab0951.png)
11.10.
Partialbråksuppdelning ger
![\begin{array}{lll} t&=&\int_{N_{0}}^{N}\frac{K\, dn}{n(M-n)}= \frac{K}{M}\int_{N_{0}}^{N}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{M-n}\right)\, dn\\ &=& \frac{K}{M}\left[\ln |n|-\ln|M-n|\right]_{N_{0}}^{N}= \frac{K}{M}\left(\ln\frac{N}{M-N}-\ln\frac{N_{0}}{M-N_{0}}\right) \end{array}](/wikis/mm1001_0701/images/math/a/6/4/a64d8ce43a1f803c5850591b2317ef6a.png)
Detta ger i sin tur
För att kunna se vad som händer då $t\to\infty$ förkortar vi med
$e^{Mt/K}$:
Eftersom $e^{-Mt/K}\to 0$ då $t\to\infty$, så får vi
