Lektion 10

Matematik för naturvetare 15hp

(Skillnad mellan versioner)

Nuvarande version

[redigera] Välkommen till Lektion 10!

I den här lektionen ska vi lära oss vad determinanter är för något och använda dem för att räkna ut egenvärdena till en matris. Detta tillämpas på hur populationer uppför sig efter lång tid

Du ska studera följande kapitel i boken:

14.4 Determinanter
14.5 Populationsmodeller och övergångsmatriser
14.6 Egenvärden och egenvektorer

Viktiga saker att tänka på när du läser

Avsnitt 14.4

Ordet determinant kommer av latinets ord för att bestämma, jfr determinism. Determinantbegreppet är konstigt nog betydligt äldre än begreppet matris.

Man kan räkna ut determinanter på liknande sätt som man löser linjära ekvationssystem. Man använder Egenskap 1-5 på sid 411. Observera skillnaden mellan Egenskap 2 och motsvarande egenskap för linjära ekvationssystem. När man löser linjära ekvationssystem, så kan man multiplicera en godtycklig ekvation med ett tal skilt från 0 (se Sats 14.1) utan att ändra lösningsmängden. När man räknar ut determinanter däremot och multiplicerar en rad (eller kolonn) med ett tal $k$, så multipliceras determinanten med $k$.

Observera också skillnaden mellan matris och determinant. En matris är ett schema av tal, medan en determinant är ett tal. Beteckningen med raka streck som används för determinanter har ingenting att göra med absolutbelopp. En determinant kan mycket väl vara negativ, se Exempel 14.19.

Man kan alltid använda Egenskap 1-5 för att överföra determinanten till en som har elementet 1 på plats $(1,1)$ och 0 för övrigt i första kolonnen. En sådan determinant är lika med determinanten av den matris som man får om man stryker rad 1 och kolonn 1. Detta är analogt med hur man löser linjära ekvationssystem med Gauss-elimnation.

Man kan också beräkna determinanter direkt genom att "utveckla efter rad eller kolonn", se Exempel 14.19 och Exempel 14.22 (i 14.22 använder man också Egenskap 3 några gånger).

Determinanter har betydelse för att veta om ett ekvationssystem har entydig lösning. I rutan på sid 411 sägs att ett linjärt ekvationssystem med två obekanta och två ekvationer och noll i högerleden har entydig lösning precis då determinanten för koefficientschemat är skilt från 0. (Beviset innehåller en svaghet. Det andra systemet på sid 410 är inte ekvivalent med det första systemet om $a=0$ eller $c=0$, dessa två fall måste behandlas separat.) Entydig lösning i fallet att man har nollor i högerleden innebär att man bara har den "triviala" lösningen $x=y=0$. Generaliseringen av påståendet i rutan till ett kvadratiskt system av godtycklig storlek ges i Sats 14.2 (i en annorlunda formulering).

I själva verket gäller att ett godtyckligt kvadratiskt linjärt ekvationssystem $AX=B$ har entydig lösning precis då $\det(A)\ne0$.

Determinater används också för att beräkna egenvärdena till en matris, se Sats 14.3 sid 418. Innan satsen refereras till Sats 14.1, det skall vara 14.2.

Avsnitt 14.5

Teorin för populationsmodeller och övergångsmatriser ger bra exempel på begreppen egenvektor och egenvärde som införs i nästa avsnitt.

Avsnitt 14.6

Begreppen egenvektor och egenvärde är fundamentala i både matematik och tillämpningar. Många problem i bl a fysik och kemi kan formuleras som s k egenvärdesproblem, dvs de går ut på att bestämma egenvektorer och egenvärden till någon matris.

Den karaktäristiska ekvationen (eller sekulärekvationen) till en matris $A$ är $\det (A-\lambda E)=0$, där $E$ är enhetsmatrisen av samma storlek som $A$ (av tradition heter den obekanta ofta $\lambda$ i sådana här sammanhang). Man kan lätt se att om $A$ har storlek $n\times n$, så har den här ekvationen grad $n$ och kan därför vara ganska svår att lösa; i tillämpade, verkliga situationer måste man tillgripa numeriska metoder. I våra exempel och övningar kommer $n$ att vara 2 eller 3. Andragradsekvationer är ju lätta att lösa, medan redan tredjegradsekvationer kan ställa till problem. Det finns faktiskt en formel för rötterna, men den finns det ingen anledning att gå in på här. I övningarna kommer rötterna (egenvärdena) att vara heltal och då kan man använda kvalificerade gissningar för att hitta dem, se lektion 6.

Lämpliga övningsuppgifter till Lektion 10

Välj bland följande uppgifter i boken: 14.14 - 14.16, 14.21 - 14.23, 14.25 - 14.26

Tillbaka till läsanvisningarna

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/mm1001_0701/index.php/Lektion_10

Lektion 10

Matematik för naturvetare 15hp

Nuvarande version

[redigera] Välkommen till Lektion 10!

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

-==Välkommen till Lektion #!==
+==Välkommen till Lektion 10!==
-I den här lektionen...
+[[Läsanvisningar | Tillbaka till läsanvisningarna]]
+I den här lektionen ska vi lära oss vad determinanter är för något och använda dem för att räkna ut egenvärdena till en matris. Detta tillämpas på hur populationer uppför sig efter lång tid
 Du ska studera följande kapitel i boken:
-*
+* 14.4 Determinanter
+* 14.5 Populationsmodeller och övergångsmatriser
+* 14.6 Egenvärden och egenvektorer
 '''Viktiga saker att tänka på när du läser'''
+'''Avsnitt 14.4'''
+Ordet ''determinant'' kommer av latinets ord för att bestämma, jfr
+determinism. Determinantbegreppet är konstigt nog
+betydligt äldre än begreppet matris.
+Man kan räkna ut determinanter på liknande sätt som man löser linjära ekvationssystem. Man använder Egenskap 1-5 på sid 411. Observera skillnaden mellan Egenskap 2 och motsvarande egenskap för linjära ekvationssystem. När man löser linjära ekvationssystem, så kan man multiplicera en godtycklig ekvation med ett tal skilt från 0 (se Sats 14.1) utan att ändra lösningsmängden. När man räknar ut determinanter däremot och multiplicerar en rad (eller kolonn) med ett tal $k$, så multipliceras determinanten med $k$.
+Observera också skillnaden mellan matris och determinant. En matris är ett schema av tal, medan en determinant är ''ett'' tal. Beteckningen med raka streck som används för determinanter har ingenting att göra med absolutbelopp. En determinant kan mycket väl vara negativ, se Exempel 14.19.
+Man kan alltid använda Egenskap 1-5 för att överföra determinanten till en som har elementet 1 på plats $(1,1)$ och 0 för övrigt i första kolonnen. En sådan determinant är lika med determinanten av den matris som man får om man stryker rad 1 och kolonn 1. Detta är analogt med hur man löser linjära ekvationssystem med Gauss-elimnation.
+Man kan också beräkna determinanter direkt genom att "utveckla efter rad eller kolonn", se Exempel 14.19 och Exempel 14.22 (i 14.22 använder man också Egenskap 3 några gånger).
+Determinanter har betydelse för att veta om ett ekvationssystem har entydig lösning. I rutan på sid 411 sägs att ett linjärt ekvationssystem med två obekanta och två ekvationer och noll i högerleden har entydig lösning precis då determinanten för koefficientschemat är skilt från 0. (Beviset innehåller en svaghet. Det andra systemet på sid 410 är inte ekvivalent med det första systemet om $a=0$ eller $c=0$, dessa två fall måste behandlas separat.) Entydig lösning i fallet att man har nollor i högerleden innebär att man bara har den "triviala" lösningen $x=y=0$. Generaliseringen av påståendet i rutan till ett kvadratiskt system av godtycklig storlek ges i Sats 14.2 (i en annorlunda formulering).
+I själva verket gäller att ett godtyckligt kvadratiskt linjärt ekvationssystem $AX=B$ har entydig lösning precis då $\det(A)\ne0$.
+Determinater används också för att beräkna egenvärdena till en matris, se Sats 14.3 sid 418. Innan satsen refereras till Sats 14.1, det skall vara 14.2.
+'''Avsnitt 14.5'''
+Teorin för populationsmodeller och övergångsmatriser ger bra exempel på begreppen egenvektor och
+egenvärde som införs i nästa avsnitt.
+'''Avsnitt 14.6'''
+Begreppen egenvektor och egenvärde är fundamentala i både matematik
+och tillämpningar. Många problem i bl a fysik och kemi kan
+formuleras som s k ''egenvärdesproblem'', dvs de går ut på att
+bestämma egenvektorer och egenvärden till någon matris.
+Den karaktäristiska ekvationen (eller sekulärekvationen) till en
+matris $A$ är $\det (A-\lambda E)=0$, där $E$ är enhetsmatrisen av
+samma storlek som $A$ (av tradition heter den obekanta ofta $\lambda$
+i sådana här sammanhang). Man kan lätt se att om $A$ har storlek $n\times
+n$, så har den här ekvationen grad $n$ och kan därför vara ganska
+svår att lösa; i tillämpade, verkliga situationer måste man tillgripa
+numeriska metoder. I våra exempel och övningar kommer $n$ att vara 2
+eller 3. Andragradsekvationer är ju lätta att lösa, medan redan
+tredjegradsekvationer kan ställa till problem. Det finns faktiskt en
+formel för rötterna, men den finns det ingen anledning att gå in på
+här. I övningarna kommer rötterna (egenvärdena) att vara heltal och då
+kan man använda ''kvalificerade gissningar'' för
+att hitta dem, se lektion 6.
-'''Lämpliga övningsuppgifter till Lektion #'''
+'''Lämpliga övningsuppgifter till Lektion 10'''
-Välj bland följande uppgifter i boken:
+Välj bland följande uppgifter i boken: 14.14 - 14.16, 14.21 - 14.23, 14.25 - 14.26
 [[Läsanvisningar | Tillbaka till läsanvisningarna]]