Lektion 1

Matematik för naturvetare 15hp

---

Versionen från 23 augusti 2007 kl. 09.50

[redigera] Välkommen till Lektion 1!

I den här lektionen repteterar vi några grundläggande matematiska begrepp och metoder.

Du ska studera följande kapitel i boken:

• 1.1 Talsystemets uppbyggnad
• 1.2 Likheter och olikheter
• 1.7 Algebra

Viktiga saker att tänka på när du läser

På sid 23 införs beteckningar för vissa talmängder. Hur man uttrycker mängder kan du läsa om i avsnitt 0.5 och 0.6. De naturliga talen är $\{0,1,2,3,\ldots\}$ vilket utläses "mängden av 0,1,2,3 osv". Uttrycket för de rationella talen utläses "mängden av $p$ genom $q$ sådana att $p$ tillhör $\mathbf N$ och $q$ tillhör $\mathbf Z$ minus elementet $0.$" Observera att boken här använder minustecknet $-$ för mängddifferens som i 0.6 skrives $\setminus$.

Ett decimaltal med ändligt många decimaler är ett rationellt tal, t.ex. är $3,07 = 307/100.$ Omvändningen är inte sann, t.ex. kan $2/11$ inte skrivas som ett ändligt decimaltal, i själva verket gäller att $2/11=0,181818\dots.$ Man kan visa att varje rationellt tal kan skrivas som ett periodiskt decimaltal, dvs att decimalerna upprepar sig efter ett tag (det kan tänkas att de blir noll efter ett tag, som exempelvis $307/100= 3,07000\ldots$). Omvändningen är också sann, dvs varje periodiskt decimaltal är ett rationellt tal.

Ett reellt tal kan definieras som en oändlig decimalutveckling (med eller utan tecken). De reella talen delas in i positiva tal, negativa tal och talet 0.

Observera att de fyra talmängderna $\mathbf N$, $\mathbf Z$, $\mathbf Q$, $\mathbf R$ ligger inuti varandra som en kedja med $\mathbf N$ innerst och $\mathbf R$ ytterst. Rita ett Venn-diagram med cirklar som symboliserar de olika talmängderna! Talet $2$ t.ex. är alltså ett naturligt tal och ett heltal och ett rationellt tal och ett reellt tal. Däremot är $2/3$ inte ett naturligt tal och inte ett heltal, men ett rationellt tal och ett reellt tal. Pricka in talet $2$ och talet $2/3$ i ditt diagram! Området mellan $\mathbf R$ och $\mathbf Q$, dvs $\mathbf R\setminus \mathbf Q$, betecknas i boken $\mathbf{IRR}$ och kallas de irrationella talen. De består alltså av alla oändliga decimaltal (positiva och negativa) som inte är periodiska, dvs som inte är rationella. Att det verkligen finns sådana tal visas i boken, Sats 1.1, som säger att $\sqrt2$ är ett irrationellt tal. Du får gärna hoppa över beviset.

Beviset i boken har vissa brister. Till att börja med är beviset inte något motsägelsebevis enligt min mening, utan ett direkt bevis av påståendet att $\sqrt2$ inte är ett rationellt tal. För att bevisa detta antar man att $\sqrt2$ är ett rationellt tal och från detta antagande härleder man en motsägelse. Vi kan alltså börja beviset med

"Vi antar att $\sqrt2$ är ett rationellt tal."

och sluta när vi kommit till raden

"Detta är en motsägelse!"

Dessutom bör rad 8 och 9 i beviset ändras. Rad 8 i boken lyder

$\Rightarrow\ \ p^2$ delbart med $2^2$

De två raderna bör istället vara:

$\Rightarrow\ \ p=2p'$ för något $p'\in\mathbf Z$

$\Rightarrow\ \ p^2=2^2(p')^2$

Räkning med rationella tal bör du ägna särskild uppmärksamhet. Läs noga stencilen "Bråkräkning". Undvik att i räkningar med bråk ersätta bråken med decimaltal, det leder ju dessutom oftast bara till ett approximativt resultat. Bråkräkning har man nytta av när man skall förenkla uttryck algebraiskt, se t.ex. avsnitt 1.7. Här följer en sammanfattning av reglerna för likhet, olikhet och de fyra räknesätten. $$ a/b=c/d \Longleftrightarrow ad=bc$$ $$ a/b<c/d\Longleftrightarrow ad<bc \quad\text{om}\quad b,d>0 $$ $$ a/b+c/d=(ad+bc)/bd $$ $$ a/b-c/d=(ad-bc)/bd $$ $$ (a/b)*(c/d)=ac/bd $$ $$ (a/b)/(c/d)=ad/bc $$

Exempel.

12/15=28/35 ty 12*35=420=15*28

11/17<12/18 ty 11*18=198<204=17*12

13/12+7/18=(13*18+12*7)/(12*18)=(234+84)/216=318/216=(6*53)/(6*36)=53/36

13/12-7/18=(234-84)/216=150/216=25/36

11/12*18/17=(11*18)/(12*17)=(11*3*6)/(6*2*17)=(11*3)/(2*17)=33/34

(11/12)/(18/17)=(11*17)/(12*18)=187/216

Additionen och subtraktionen kan göras snabbare genom att skriva bråken på minsta gemensamma nämnare, vilket här är 36. Då blir räkningarna så här:

13/12+7/18=39/36+14/36=53/36

13/12-7/18=39/36-14/36=25/36

I Exempel 1.3, 1.4 e) och 1.5 ingår en del räkning med rationella tal. När man löser andragradsekvationen i 1.3 så får man under rotmärket uttrycket

$(1/4)^2 -(-1/8)$

Detta beräknas till

1/64 + 1/8 = 1/64 + 8/64 = 9/64

Symbolen $\equiv$ som behandlas i boken kan du hoppa över. Användningen av symbolen i Exempel 1.5 är enbart förvirrande. Ersätt symbolen med vanligt likhetstecken.

Att kunna hantera olikheter och lösa ekvationer är väldigt viktigt. Läs därför 1.2 noga och tänk i genom vad som händer när man multiplicerar en olikhet med ett negativt tal! Att $a<b$ betyder att $a$ ligger till vänster om $b$ på tallinjen. Men då ligger de motsatta talen $-a$ och $-b$ i andra ordningen, dvs $-a$ ligger till höger om $-b$, vilket betyder att $-b<-a$. Multiplikation med ett negativt tal vänder alltså på olikhetstecknet.

I Exempel 1.3 används en formel för att lösa en andragradsekvation. Formeln ser ut så här: Rötterna (lösningarna) till ekvationen $x^2+px+q=0$ är $\begin{array} x_{1,2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{\frac{p^2}{4}-q}.\end{array}$ Här är $p$ och $q$ reella tal och $p^2/4-q\ge 0$. Om $p^2/4-q<0$ så är rötterna komplexa tal, vilket tas upp senare i kursen. Formeln för andragradsekvationens rötter kan man lära sig utantill om man vill, men bättre är att lära sig kvadratkomplettering, som tas upp i 1.7. Det är för övrigt kvadratkomplettering som man använder för att bevisa formeln, så kvadratkomplettering är inte ett "annat sätt" att lösa ekvationen, utan bara det som ligger bakom formeln. Kvadratkomplettering är viktigt att lära sig. Studera därför Exempel 1.22 och 1.23 noggrant och läs gärna stencilen "Kvadratkomplettering".

Exempel 1.4 d) och e) bör du studera extra noga och lägg särskilt märke till teckenstudierna. För att lösa t ex $(x-3)(x+3)<0$ används teckenschemat längst ned på sid 27. Den övre linjen är en tallinje och på den sätter man ut nollställena $-3$ och 3 till de två faktorerna $x+3$ respektive $x-3$. Anledningen till detta är att $x+3$ och $x-3$ byter tecken där. Sedan gör man en rad för varje faktor och på dem skriver man ut vad faktorerna har för tecken på de olika delarna av axeln. På raden för $x+3$ står exempelvis att uttrycket är $<0$ för $x<-3$, 0 för $x=-3$ och $>0$ för $x>-3$. Under den andra linjen står vad produkten $(x+3)(x-3)=x^2-9$ har för tecken och det får man genom att helt enkelt "multiplicera ihop" tecknen för $x+3$ och $x-3$ enligt regeln "minus gånger minus ger plus" osv. Observera att en dubbel olikhet som $-3<x<3$ betyder $-3<x$ och $x<3$, eller med hjälp av den logiska operatorn $\land$: $(-3<x(\land (x<3)$.

Lösningen i Exempel 1.5 innehåller en del konstigheter. Till att börja med bör man som sagt ersätta symbolen $\equiv$ med vanligt likhetstecken. Dessutom bör man stryka meningarna "De rationella talen i höger och vänster led måste vara (identiskt) lika. Detsamma gäller för de irrationella talen." Det man vill göra är att hitta två tal $a$ och $b$ som uppfyller ansatsen i 1. Denna ansats är riktig om likheten i 2. gäller och $a>b$. Sedan gäller detta om $a+b=5$ och $4ab=24$ och $a>b$. Slutligen är detta sant om $a=3$ och $b=2$.

I avsnitt 1.7 ges exempel på algebraiska förenklngar, vilket kan sägas vara räkning med rationella tal, fast med bokstäver. Förutom kvadreringsreglerna och konjugatregeln som behandlas i Exempel 1.17, så nämns också "kubregeln" i Exempel 1.20. Förväxla inte denna regel med utvecklingen av $(a+b)^3$. Genom att skriva $(a+b)^3=(a+b)^2(a+b)$ och använda kvadreringsregeln, så visar man lätt följande

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

(Läs mer om detta i avsnitt 2.5.) De två kubreglerna som nämns i boken visar man också lätt genom att multiplicera ihop de två paranteserna i högerledet.

Lämpliga övningsuppgifter till Lektion 1

Välj bland följande uppgifter i boken: 1.1 - 1.7, 1.24, 1.26 samt 1.27 a-c

Tillbaka till läsanvisningarna