Lösningar 12
Matematik för naturvetare 15hp
| Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.08 (redigera) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.10 (redigera) (ogör) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
| [[Exempellösningar|Tillbaka till lösningarna]] | [[Exempellösningar|Tillbaka till lösningarna]] | ||
| + | |||
| + | |||
| + | 5.10. Vi har \[ | ||
| + | \lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}} ax=a\quad\mbox{och}\quad | ||
| + | \lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x^2-1)=1^2-1=0.\] | ||
| + | För kontinuitet krävs att de två gränsvärdena är lika, vilket ger | ||
| + | villkoret $a=0$. | ||
| + | |||
| + | \vskip 2mm | ||
| + | |||
| + | 5.12. Funktionen är inte definierad för $x=-1$ eftersom nämnaren blir | ||
| + | 0 där. Absolutbeloppstecknet får man hantera genom att dela upp i | ||
| + | olika intervall. Vi har $x^2-1> 0$ fö $x>1$ och $x<-1$ och | ||
| + | $x^2-1<0$ för $-1<x<1$. Funktionen kan därför skrivas \[ | ||
| + | f(x)=\left\{\begin{array}{ll} | ||
| + | \frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \mbox{för $x<-1$ och $x>1$}\\ \\ | ||
| + | \frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \mbox{för | ||
| + | $-1<x<1$}\end{array}\right.\] | ||
| + | Eftersom $f$ inte är definierad för $x=-1$ så är detta en | ||
| + | diskontinuitetspunkt och frågan är om den är hävbar, dvs om det går | ||
| + | att definiera $f(-1)$ så att funktionen blir kontinuerlig. För detta | ||
| + | krävs att vänster- och högergränsvärdena då $x\to -1$ är lika. Vi har | ||
| + | \[ | ||
| + | \lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to | ||
| + | -1_{-}}(x-1)=-1-1=-2\] | ||
| + | och | ||
| + | \[\lim_{x\to -1_{+}}f(x)=\lim_{x\to -1_{+}}(1-x)=1-(-1)=2.\] | ||
| + | Då gränsvärdena är olika så är diskontinuiteten inte hävbar. En annan | ||
| + | möjlig diskontinuitetspunkt är $x=1$. Vi har \[ | ||
| + | \lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}}(1-x)=0,\quad | ||
| + | \lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x-1)=0.\] | ||
| + | Alltså är $f$ kontinuerlig för $x=1$. Grafen finns i boken. | ||
| + | |||
| + | \vskip 2mm | ||
| + | |||
| + | 5.14.b) Vi har $y\to 0$ då $x\to±\infty$, så $x$-axeln (linjen $y=0$) | ||
| + | är en vågrät asymptot. Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så är linjerna $x=±1$ | ||
| + | lodräta asymptoter. | ||
| + | |||
| + | \vskip 2mm | ||
| + | |||
| + | c) Här gäller $y\to 1$ då $x\to±\infty$, så linjen $y=1$ är en vågrät | ||
| + | asymptot. Nämnaren $x^2+1$ har inga (reella) nollställen, så lodräta | ||
| + | asymptoter saknas. | ||
| + | |||
| + | \vskip 2mm | ||
| + | |||
| + | d) Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så skulle man kunna tro att linjerna | ||
| + | $x=±1$ är lodräta asymptoter. Men vi har $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, så | ||
| + | för $x\not=-1$ är $y=(x^2-x+1)/(x-1)$, varav framgår att det bara | ||
| + | är $x=1$ som är lodrät asymptot. För $x=-1$ har funktionen en | ||
| + | hävbar diskontinuitet. Någon vågrät asymptot finns inte, eftersom | ||
| + | $y\to ±\infty$ då $x\to±\infty$. (Den som läste anmärkningen ovan om | ||
| + | sneda asymptoter kan försöka visa att linjen $y=x$ är en sådan.) | ||
| + | |||
| + | \vskip 2mm | ||
| + | |||
| + | e) Ledning: Nämnarens nollställen är 2 och $-3$. | ||
| + | |||
| + | \vskip 2mm | ||
| + | |||
| + | f) Ledning: Nämnarens nollställen är 1 och 2. | ||
Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.10
Lösningar till några övningar till lektion 12
5.10. Vi har \[
\lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}} ax=a\quad\mbox{och}\quad
\lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x^2-1)=1^2-1=0.\]
För kontinuitet krävs att de två gränsvärdena är lika, vilket ger
villkoret $a=0$.
\vskip 2mm
5.12. Funktionen är inte definierad för $x=-1$ eftersom nämnaren blir 0 där. Absolutbeloppstecknet får man hantera genom att dela upp i olika intervall. Vi har $x^2-1> 0$ fö $x>1$ och $x<-1$ och $x^2-1<0$ för $-1<x<1$. Funktionen kan därför skrivas \[ f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \mbox{för $x<-1$ och $x>1$}\\ \\ \frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \mbox{för $-1<x<1$}\end{array}\right.\] Eftersom $f$ inte är definierad för $x=-1$ så är detta en diskontinuitetspunkt och frågan är om den är hävbar, dvs om det går att definiera $f(-1)$ så att funktionen blir kontinuerlig. För detta krävs att vänster- och högergränsvärdena då $x\to -1$ är lika. Vi har \[ \lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to -1_{-}}(x-1)=-1-1=-2\] och \[\lim_{x\to -1_{+}}f(x)=\lim_{x\to -1_{+}}(1-x)=1-(-1)=2.\] Då gränsvärdena är olika så är diskontinuiteten inte hävbar. En annan möjlig diskontinuitetspunkt är $x=1$. Vi har \[ \lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}}(1-x)=0,\quad \lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x-1)=0.\] Alltså är $f$ kontinuerlig för $x=1$. Grafen finns i boken.
\vskip 2mm
5.14.b) Vi har $y\to 0$ då $x\to±\infty$, så $x$-axeln (linjen $y=0$) är en vågrät asymptot. Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så är linjerna $x=±1$ lodräta asymptoter.
\vskip 2mm
c) Här gäller $y\to 1$ då $x\to±\infty$, så linjen $y=1$ är en vågrät asymptot. Nämnaren $x^2+1$ har inga (reella) nollställen, så lodräta asymptoter saknas.
\vskip 2mm
d) Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så skulle man kunna tro att linjerna $x=±1$ är lodräta asymptoter. Men vi har $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, så för $x\not=-1$ är $y=(x^2-x+1)/(x-1)$, varav framgår att det bara är $x=1$ som är lodrät asymptot. För $x=-1$ har funktionen en hävbar diskontinuitet. Någon vågrät asymptot finns inte, eftersom $y\to ±\infty$ då $x\to±\infty$. (Den som läste anmärkningen ovan om sneda asymptoter kan försöka visa att linjen $y=x$ är en sådan.)
\vskip 2mm
e) Ledning: Nämnarens nollställen är 2 och $-3$.
\vskip 2mm
f) Ledning: Nämnarens nollställen är 1 och 2.
