Lösningar 12
Matematik för naturvetare 15hp
| Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.31 (redigera) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.33 (redigera) (ogör) Clas Löfwall (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 30: | Rad 30: | ||
| <math> | <math> | ||
| f(x)=\left\{\begin{array}{ll} | f(x)=\left\{\begin{array}{ll} | ||
| - | \frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{för $x<-1$ och $x>1$}\\ | + | \frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{för }x<-1 \text{ och }x>1\\ |
| \\ | \\ | ||
| - | \frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{för | + | \frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{för } |
| - | $-1<x<1$}\end{array}\right</math> | + | -1<x<1\end{array}\right</math> |
Versionen från 2 oktober 2007 kl. 12.33
Lösningar till några övningar till lektion 12
5.10.
Vi har
För kontinuitet krävs att de två gränsvärdena är lika, vilket ger villkoret $a=0$.
5.12.
Funktionen är inte definierad för $x=-1$ eftersom nämnaren blir 0 där. Absolutbeloppstecknet får man hantera genom att dela upp i olika intervall. Vi har $x^2-1> 0$ fö $x>1$ och $x<-1$ och $x^2-1<0$ för $-1<x<1$. Funktionen kan därför skrivas
Misslyckades med att tolka formel. (okänt fel): f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & \text{för }x<-1 \text{ och }x>1\\ \\ \frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & \text{för } -1<x<1\end{array}\right
Eftersom $f$ inte är definierad för $x=-1$ så är detta en
diskontinuitetspunkt och frågan är om den är hävbar, dvs om det går
att definiera $f(-1)$ så att funktionen blir kontinuerlig. För detta
krävs att vänster- och högergränsvärdena då $x\to -1$ är lika. Vi har
Misslyckades med att tolka formel. (okänt fel): \lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to -1_{-}}(x-1)=-1-1=-2\] och \[\lim_{x\to -1_{+}}f(x)=\lim_{x\to -1_{+}}(1-x)=1-(-1)=2
Då gränsvärdena är olika så är diskontinuiteten inte hävbar. En annan
möjlig diskontinuitetspunkt är $x=1$. Vi har
Alltså är $f$ kontinuerlig för $x=1$. Grafen finns i boken.
5.14.b)
Vi har $y\to 0$ då $x\to±\infty$, så $x$-axeln (linjen $y=0$) är en vågrät asymptot. Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så är linjerna $x=±1$ lodräta asymptoter.
5.14.c)
Här gäller $y\to 1$ då $x\to±\infty$, så linjen $y=1$ är en vågrät asymptot. Nämnaren $x^2+1$ har inga (reella) nollställen, så lodräta asymptoter saknas.
5.14.d)
Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så skulle man kunna tro att linjerna $x=±1$ är lodräta asymptoter. Men vi har $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, så för $x\not=-1$ är $y=(x^2-x+1)/(x-1)$, varav framgår att det bara är $x=1$ som är lodrät asymptot. För $x=-1$ har funktionen en hävbar diskontinuitet. Någon vågrät asymptot finns inte, eftersom $y\to ±\infty$ då $x\to±\infty$. (Den som läste anmärkningen ovan om sneda asymptoter kan försöka visa att linjen $y=x$ är en sådan.)
5.14.e)
Ledning: Nämnarens nollställen är 2 och $-3$.
5.14.f)
Ledning: Nämnarens nollställen är 1 och 2.
