Lektion 7
Matematik för naturvetare 15hp
Välkommen till Lektion 7!
Tillbaka till läsanvisningarna
I den här lektionen ska vi studera de användbara trigonometriska funkionerna och dess egenskaper.
Du ska studera följande kapitel i boken:
- 4.5 Trigonometriska funktioner
- 4.6 Trigonometriska formler
- 4.7 Arcusfunktioner
Viktiga saker att tänka på när du läser
Det finns en enorm mängd trigonometriska formler och samband och man skall naturligtvis inte försöka lära sig dem alla utantill. Det är klart att man vid behov kan slå upp dem i en formelsamling (se Appendix A), men ännu bättre är att lära sig en av formlerna och kunna härleda de övriga när man har behov av dem. Praktiskt taget alla formler kan härledas ur en enda, nämligen (den ena av de två formlerna A18 i Appendix A)
$ \cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.$
För att göra framställningen något sånär fullständig följer här ett bevis, som du kan läsa om du vill, men det ingår inte i kursen. Vi behöver till att börja med den s k avståndsformeln i planet, som inte är något annat än Pythagoras sats: avståndet mellan punkterna $(x_{1},y_{1})$ och $(x_{2},y_{2})$ är
Bevis: Kateterna i den rätvinkliga triangeln är $|x_{2}-x_{1}|$ och $|y_{2}-y_{1}|$ (lägg märke till absolutbeloppstecknen!), så Pythagoras sats ger att hypotenusans längd är
att beloppstecknen försvinner beror på att $(±a)^2=a^2$.
Vi repeterar definitionen av de trigonometriska funktionerna sinus och
cosinus (se sid 121-122): Låt $u$ vara en vinkel och placera den med spetsen i origo
och ett ben längs positiva $x$-axeln och så att det andra benet nås
genom att man går i positiv led (det matematiska sättet att säga moturs eller motsols).
Det andra vinkelbenet skär enhetscirkeln (dvs den cirkel som har sin medelpunkt i origo $(0,0)$
och radie 1) i en punkt $P$ och talen $\cos u, \quad \sin u$
definieras som $P$:s koordinater, dvs $P=(\cos u,\sin u).$
Låt nu $u$ och $v$ vara två vinklar och $P=(\cos u,\sin u), \quad Q=(\cos
v,\sin v)$motsvarande punkter på enhetscirkeln (se den vänstra figuren nedan).
Beteckna avståndet mellan dem med $d$; enligt avståndsformeln är
$d^2=(\cos u-\cos v)^2+(\sin u-\sin v)^2$
$\quad = \cos^2u-2\cos u\cos v+\cos^2v+\sin^2u-2\sin u\sin v+\sin^2v$
$\quad = 2-2(\cos u\cos v+\sin u\sin v)$
eftersom $\cos^2u+\sin^2u=\cos^2v+\sin^2v=1$.
I figuren till höger har vi vridit triangeln $\triangle OQP$ ($O$ är
origo) så att $Q$ hamnar i $Q'=(1,0)$. Då är $\wedge Q'OP'=u-v$, så
$P'$ har koordinaterna $(\cos (u-v),\sin (u-v))$. Vi får
nu ett annat uttryck för avståndet $d$, nämligen som avståndet
mellan $(1,0)$ och $(\cos (u-v),\sin (u-v))$, dvs
$ d^2 = (1-\cos (u-v))^2+(0-\sin (u-v))^2$
$\quad = 1-2\cos (u-v)+\cos^2(u-v)+\sin^2(u-v)$
$\quad = 2-2\cos(u-v).$
(Vi kunde också använt cosinussatsen, se Övning 4.22, på triangeln $\triangle OQP$ för att direkt få att $d^2 = 2-2\cos(u-v)$)
Om vi jämför de två uttrycken för $d^2$ så får vi den sökta formeln.
Från formeln
$\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v.$
kan man härleda alla andra trigonometriska formler. Om vi byter $v$ mot $-v$ så får vi
$ \cos(u+v)=\cos u\cos (-v)+\sin u\sin (-v)=\cos u\cos v-\sin u\sin v $
eftersom
$\cos (-v)=\cos v, \quad \sin (-v)=-\sin v.$
Vi får vidare :
$ \sin(u+v) = \cos(\pi/2-(u+v))=\cos((\pi/2-u)-v)$
$\quad \quad = \cos (\pi/2-u)\cos v+\sin(\pi/2-u)\sin v = \sin u\cos v+\cos u\sin v $
och på samma sätt
$\sin(u-v)=\sin u\cos v-\cos u\sin v$.
Om man i additionsformlerna sätter $u=v$ så får man formlerna för dubbla
vinkeln:
$\cos 2u=\cos^2u-\sin^2u$ respektive $\sin 2u=2\sin u\cos u.$
Om vi använder den trigonometriska ettan så kan vi också skriva
$\cos 2u=2\cos^2u-1=1-2\sin^2u.$
De här formlerna ger i sin tur
$\cos^2 u=\frac{1+\cos 2u}{2},\quad \sin^2 u=\frac{1-\cos 2u}{2},$
och sätter vi här $v=2u$ så får vi formlerna för halva vinkeln:
$ \cos^2\frac{v}{2}=\frac{1+\cos v}{2}$ samt $\sin^2\frac{v}{2}=\frac{1-\cos v}{2}.$
Man kan använda alla de här sambanden för att räkna ut fler exakta värden av sinus och cosinus. För vårt vidkommande är detta dock mindre viktigt, formlerna kommer vi mest att använda i samband med integration av trigonometriska funktioner.
Lösningen i Exempel 4.28 är lite bakvänd; för att visa formeln är det lättare att börja med högerledet:
$ \cos (x-y)-\cos (x+y) = \cos x\cos y+\sin x\sin y-(\cos x\cos y-\sin x\sin y)$
- $ = \cos x\cos y+\sin x\sin y-\cos x\cos y+\sin x\sin y$
- $= 2\sin x\sin y.$
De trigonometriska ekvationerna i Exempel 4.29 och 4.30. liksom i
några av övningarna (4.28, 4.30) är väldigt artificiella och har som
enda syfte att ge träning i att använda de trigonometriska funktionerna
och sambanden.
Avsnitt 4.7
Ordet "arcus" är latin och betyder båge (jfr arc på engelska). Namnet
arcusfunktioner kommer av att om $\sin x=a$, så är $x=\arcsin a$
längden av motsvarande båge på enhetscirkeln (enligt definitionen av
radian och sinus). De viktigaste är arcsin, arccos
och arctan. Kom ihåg att arcsin är invers till sinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är sinusfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 134). På samma sätt är arccos invers till cosinusfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[0,\pi]$. På det intervallet är cosinusfunktionen strängt avtagande och har alltså en invers (se sid 134-135). Slutligen gäller att arctan är invers till tangensfunktionen om man inskränker dess definitionsmängd till intervallet $[-\pi/2,\pi/2]$. På det intervallet är tangensfunktionen strängt växande och har alltså en invers (se överst sid 136). Detta kan också uttryckas mer formellt på följande sätt
$ a=\sin x\ \text{ och } \ -\pi/2\le x\le \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arcsin a$
$ a=\cos x\ \text{ och } \ 0\le x\le \pi\ \Leftrightarrow\ x=\arccos a$
$ a=\tan x\ \text{ och } \ -\pi/2< x< \pi/2\ \Leftrightarrow\ x=\arctan a$
Det kan också vara en fördel att lära sig uttala detta med ord (i analogi med hur man uttalar innebörden i "n:e roten ur a" och "a-logaritmen för b", se lektion 3):
"arcsin a är den vinkel mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att dess sinus är a"
"arccos a är den vinkel mellan noll och pi som uppfyller att dess cosinus är a"
"arctan a är den vinkel mellan minus pi halva och pi halva som uppfyller att dess tangens är a"
Med hjälp av dessa funktioner kan man uttrycka lösningarna till
Studera Exempel 4.35 noga.
Lämpliga övningsuppgifter till Lektion 7
Välj bland följande uppgifter i boken: 4.17-4.18, 4.20, 4.22-4.28, 4.30, 4.31 samt 4.33-4.35.
