Lektion 9
Matematik för naturvetare 15hp
Välkommen till Lektion 9!
I den här lektionen skall du lära dig hur man löser linjära ekvationssysstem. Du skall också lära dig begreppet matris och hur man räknar med dem.
Du ska studera följande kapitel i boken:
- 14.1 Gauss-elimination
- 14.2 Matriser
- 14.3 Invers matris
Viktiga saker att tänka på när du läser
I avsnitt 14.1 behandlas linjära ekvationssystem. Dessa kan beskrivas med hjälp av matriser som införs i 14.2. En matris är ett schema av tal som består av ett antal "rader" och ett antal "kolonner". Om antalet rader är r och antalet kolonner är k, så säges matrisens "typ" vara r x k. En position i matrisen anges genom att man anger vilket nummer raden har och vilket nummer kolonnen har. Platsen (2,3) är alltså andra raden och tredje kolonnen. Ett allmänt element på denna plats brukar skrivas $a_{23}$ vilket utläses "a-tvåtre" (inte "a-tjugotre"). Matrisen nedan är av typ 3 x 4 och elementet på plats (2,3) är $\pi$.
$$\pmatrix{1&2&3&4\\0&0&\pi&0\\-1&-2&-3&-4}$$
I Exempel 14.4 och 14.5 beskrivs hur man löser ett linjärt ekvationssystem med successiv elimination, "Gauss-elimination". Man arbetar med ekvivalenspilar och överför systemet till ett enklare som går att lösa direkt. Detta sker genom att i varje steg multiplicera en av ekvationerna med ett tal och addera detta till en annan ekvation (villkor (4) före Exempel 14.4). På detta sätt elimineras en av variablerna i alla ekvationer utom en och när detta är färdigt fortsätter man på samma sätt att eliminera nästa variabel (den första ekvationen läggs då tillfälligt åt sidan). Till slut får man i normalfallet en ekvation som bara innehåller en variabel och den kan man ju lösa (se det tredje systemet i Exempel 14.4). Efter det steget kan man antingen göra som i boken och fortsätta att eliminera variabler för att till slut komma fram till det sista systemet där lösningen direkt kan läsas av. Ett annat sätt är att lösa ut z ur den tredje ekvationen, dvs z = 1/3. Detta stoppar man in i den andra ekvationen och får y + 3 = 5, dvs y = 2. Dessa värden på y och z stoppas sedan in i den första ekvationen, vilket ger x + 2 + 2 = 9/2 och alltså x = 1/2.
Om man har färre ekvationer än obekanta, så har ekvationssystemet antingen ingen lösning eller oändligt många lösningar. Detta kan inträffa även om man från början har lika många ekvationer som obekanta, som är fallet i Exempel 14.5. Sättet att beskriva lösningarna i svaret kallas att lösningen ges på "parameterform". Lösningarna fås genom att välja ett godtyckligt värde på "parametern" r. Om man i Exempel 14.5 ändrar högerledet till den första ekvationen till 1, så kommer systemet att sakna lösningar (det andra systemet kommer då att innehålla ekvationerna 3y - 2z = 1 och 3y - 2z = 0).
Att lösa ett linjärt ekvationssystem med tre ekvationer och tre obekanta kan geometriskt beskrivas som att söka skärningspunkter mellan tre plan i rymden. I Exempel 14.4 skär de tre planen varandra i en punkt (1/2,2,1/3) medan i Exempel 14.5 de tre planen skär varandra utefter en rät linje.
Beviset av Sats 14.1 är inte fullständigt. Man skall visa att mängden av lösningar till (*) är samma mängd som lösningarna till det system (*') som fås från (*) genom att ersätta den andra raden med (**). Men man visar bara att den första mängden är en delmängd av den andra mängden, dvs man visar att om man har en lösning till (*), så är det en lösning också till (*'). Man måste också visa att den andra mängden är en delmängd av den första mängden, dvs att om man har en lösning till (*'), så är det också en lösning till (*). Låt ossgöra detta. Antag alltså att $(x_1,\ldots,x_n)$ är en lösning till (*'). Då vet vi att (**) gäller och att alla ekvationer utom den andra i (*) gäller. Vi skall visa att även den andra ekvationen i (*) måste gälla. Men om vi subtraherar den första ekvationen i (*) från (**), så får vi kvar just den andra ekvationen i (*) och alltså måste den också gälla.
I avsnitt 14.2 får man lära sig att addera, subtrahera och multiplicera matriser. Om man begränsar sig till kvadratiska matriser av en viss typ, säg 3 x 3, så är alla tre operationerna väldefinierade och man har en situation som påminner om räkning med hela tal. Faktum är att samma räkneregler gäller, med ett viktigt undantag! När vi räknar med heltal är vi vana vid att ordningen inte spelar någon roll när vi multiplicerar (den kommutativa lagen för multiplikation). När man multiplicerar matriser däremot, så har ordningen betydelse, se Exempel 14.11 b).
Matrismultiplikation gör det möjligt att formulera ett linjärt ekvtionssystem på ett elegant sätt, se överst sid 405. Om vi inför beteckningarna
$$A=\pmatrix{1&3&4\\7&8&0\\1&1&2}\quad X=\pmatrix{x\\y\\z}\quad B=\pmatrix{19\\23\\9}$$
så kan ekvationssystemet längst ned på sid 404 uttryckas som
$$AX=B$$
Om A,X,B är vanliga reella tal och $A\ne0$, så skulle vi enkelt kunna lösa ekvationen AX=B genom att dividera med A och få lösningen X = B / A. Då A,X,B är matriser gäller faktiskt något liknande, även om villkoret på A för att det skall fungera är lite mer komplicerad än att $A\ne0$, se Exempel 14.15. I avsnitt 14.3 införs begreppet invers matris (som är analog med bildningen 1/a för reella tal a). Om inversen till matrisen A är $A^{-1}$ så kan lösningen till det linjära ekvationssystemet AX=B skrivas $X=A^{-1}B$, se Exempel 14.15. Hur man räknar ut inverser (om de finns) görs i Exempel 14.12,14.13 och 14.14.
I avsnitt 14.5 ges en tillämpning av matriser i form av en modell för förändring av en befolknings struktur. En annan tillämpning är för att beskriva kontaktvägar i en grupp av individer. Definiera en matris A genom att elementet på plats (i,j) är 1 om det finns en kontaktväg från i till j, annars är elementet 0. Då beskriver elementet på plats (i,j) i matrisen $A^n$ antalet kontaktvägar från i till j av längd n. Man kan illustrera situationen med en "graf". Rita ett antal punkter som får representera individerna och dra en pil från i till j om det finns en sådan kontakt. Om antalet individer är 4, så skulle matrisen kunna se ut så här
$$\pmatrix{0&1&0&1\\1&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0}$$
Det gäller att
$$A^2=\pmatrix{1&0&2&0\\0&1&0&2\\0&0&1&0\\0&0&0&1}\quad A^3=\pmatrix{0&1&0&3\\1&0&3&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0}$$
Elementet 3 på plats (1,4) i matrisen $A^3$ visar att det finns tre vägar från 1 till 4, nämligen $1\to2\to3\to4$ och $1\to2\to1\to4$ och $1\to4\to3\to4$.
Lämpliga övningsuppgifter till Lektion 9
Välj bland följande uppgifter i boken: 14.1 - 14.13
