Lösningar 12

Matematik för naturvetare 15hp

Hoppa till: navigering, sök

Lösningar till några övningar till lektion 12

Tillbaka till lösningarna


5.10.

Vi har


\lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}} ax=a\quad\mbox{och}\quad \lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x^2-1)=1^2-1=0


För kontinuitet krävs att de två gränsvärdena är lika, vilket ger villkoret $a=0$.


5.12.

Funktionen är inte definierad för $x=-1$ eftersom nämnaren blir 0 där. Absolutbeloppstecknet får man hantera genom att dela upp i olika intervall. Vi har $x^2-1> 0$ fö $x>1$ och $x<-1$ och $x^2-1<0$ för $-1<x<1$. Funktionen kan därför skrivas


f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^2-1}{x+1}=x-1 & x<-1 \text{ eller }x>1\\ \\ \frac{-(x^2-1)}{x+1}=-(x-1)=1-x & -1<x<1\end{array}\right.


Eftersom $f$ inte är definierad för $x=-1$ så är detta en diskontinuitetspunkt och frågan är om den är hävbar, dvs om det går att definiera $f(-1)$ så att funktionen blir kontinuerlig. För detta krävs att vänster- och högergränsvärdena då $x\to -1$ är lika. Vi har


\lim_{x\to -1_{-}}f(x)=\lim_{x\to -1_{-}}(x-1)=-1-1=-2<math> och <math>\lim_{x\to -1_{+}}f(x)=\lim_{x\to -1_{+}}(1-x)=1-(-1)=2


Då gränsvärdena är olika så är diskontinuiteten inte hävbar. En annan möjlig diskontinuitetspunkt är $x=1$. Vi har


\lim_{x\to 1_{-}}f(x)=\lim_{x\to 1_{-}}(1-x)=0,\quad \lim_{x\to 1_{+}}f(x)=\lim_{x\to 1_{+}}(x-1)=0


Alltså är $f$ kontinuerlig för $x=1$. Grafen finns i boken.


5.14.b)

Vi har $y\to 0$ då $x\to±\infty$, så $x$-axeln (linjen $y=0$) är en vågrät asymptot. Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så är linjerna $x=±1$ lodräta asymptoter.


5.14.c)

Här gäller $y\to 1$ då $x\to±\infty$, så linjen $y=1$ är en vågrät asymptot. Nämnaren $x^2+1$ har inga (reella) nollställen, så lodräta asymptoter saknas.


5.14.d)

Eftersom $x^2-1=(x-1)(x+1)$ så skulle man kunna tro att linjerna $x=±1$ är lodräta asymptoter. Men vi har $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, så för $x\not=-1$ är $y=(x^2-x+1)/(x-1)$, varav framgår att det bara är $x=1$ som är lodrät asymptot. För $x=-1$ har funktionen en hävbar diskontinuitet. Någon vågrät asymptot finns inte, eftersom $y\to ±\infty$ då $x\to±\infty$. (Den som läste anmärkningen ovan om sneda asymptoter kan försöka visa att linjen $y=x$ är en sådan.)


5.14.e)

Ledning: Nämnarens nollställen är 2 och $-3$.


5.14.f)

Ledning: Nämnarens nollställen är 1 och 2.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/mm1001_0701/index.php/L%C3%B6sningar_12
Personliga verktyg