14.1 Trippelintegraler

Övning 15.1.1

Beräkna följande integraler

a) \displaystyle \iiint_{D}xyzdxdydz, då \displaystyle D är det axelparallella rätblocket med två hörn i (0,0,-1) och (1,2,3)

b) \displaystyle \iiint_{D}z(x^{2}+y^{2})dxdydz, då \displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}:\ x^{2}+y^{2}\leq 2,\ -1\leq z\leq 2\}

c) \displaystyle \iiint_D(x^2+y^2)dxdydz, då \displaystyle D är den cirkulära konen med spetsen i origo, \displaystyle z-axeln som symmetriaxel och höjd 2 och radie 4.

Övning 15.1.2

Beräkna följande integraler

a) \displaystyle \iiint_{D}dxdydz, då \displaystyle D är området som begränsas av koordinatplanen och planet \displaystyle 3x+2y+z=3

b) \displaystyle \iiint_{D}zdxdydz, då \displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1, z\geq 0 \}

c) \displaystyle \iiint_{D}e^{z}dxdydz, då \displaystyle D=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 :\ |x|+|y|\leq 2,\ 0\leq z \leq x+y\}

Övning 15.1.3

Bestäm volymen av det område som begränsas av cylindern \displaystyle x^{2}+z^{2}=1 och sfären \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=9

Övning 15.1.4

Beräkna följande integraler

a) \displaystyle \iiint_{D} (x+z)^{2}dxdydz, då \displaystyle D är parallellepipeden som begränsas av planen \displaystyle x+y+z=1, \displaystyle x+y+z=-1, \displaystyle x-y+z=1, \displaystyle x-y+z=-1, \displaystyle x+y-z=1 och \displaystyle x+y-z=-1

b) \displaystyle \iiint_{D}(x^{2}+y^{2}+z^{2})dxdydz, då \displaystyle D är cylindern \displaystyle \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 :\ x^{2}+y^{2}\leq 4,\ -1\leq z\leq 2\}

c) \displaystyle \iiint_{D}dxdydz, då \displaystyle D är området som begränsas av \displaystyle 0\leq z\leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} och \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 3

Övning 15.1.5

Beräkna volymen av ellipsoiden

\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}\leq 1

Övning 15.1.6

Beräkna volymen av snittet mellan de två cylindrarna \displaystyle x^{2}+y^{2}\leq a^{2} och \displaystyle x^{2}+z^{2}\leq a^{2}

Övning 15.1.7

Bestäm volymen av det område som begränsas av sfären \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}= a^{2} och cylindern \displaystyle x^{2}+y^{2}=ax