Tips och lösning till övning 11.2.1a

Tips 1

Här har vi en mängd som inte är begränsad alltså ej kompakt. För att avgöra om största och minsta värde antas behöver vi välja kompakta mänger att undersöka på. T.ex. \displaystyle D_R=\{ (x,y):\ x^2+y^2\leq R^2\}. Då är \displaystyle D_R kompakt och om vi låter \displaystyle R\to\infty får vi hela planet. Eftersom \displaystyle f är kontinuerlig så antas max och min i \displaystyle D_R. Hitta dessa!

Tips 2

I det inre av \displaystyle D_R finns en stationär punkt, (0,0).

Singulära punkter saknas.

På randen \displaystyle \partial D_R är \displaystyle f konstant \displaystyle e^{-R}

På \displaystyle D_R är således största värdet 1 (antas i (0,0)) och minsta värdet \displaystyle e^{-R}.

Slutsatsen blir således att, i planet, så är största värdet 1, men minsta värde ej antas.