Tips och lösning till övning 13.1.1b
SamverkanFlervariabelanalysLIU
Integranden är \displaystyle f(x,y)=1, så integralen kan tolkas geometriskt som arean av ellipsen \displaystyle D.
Några förslag på att beräkna arean hos ellipsen \displaystyle D: \displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1.
1. Från linjär algebran: variabelbytet \displaystyle \xi=x/a och \displaystyle \eta=y/b dvs \displaystyle \left(\begin{array}{c}\xi\\ \eta\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1/a&0\\0&1/b\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)
avbildar ellipsen \displaystyle D på enhetscirkeln. Determinanten för matrisen \displaystyle A anger förhållandet mellan måttet för det nya objektet som är ellipsen och måttet för det gamla objektet som är enhetscirkeln, så att
|dete\quad A|=\frac{\mbox{måttet för det nya objektet}}{\mbox{måttet för
det gamla objektet}}=\frac{\mbox{cirkelns area}}{\mbox{ellipsens area}},
dvs
2. Från envariabelanalysen: Arean under funktionen \displaystyle y=b\sqrt{1-x^2/a^2} då \displaystyle -a\leq x\leq a är hälften av den sökta ellipsens area. Variabelbytet \displaystyle x=a\cos\theta kan behövas i integralberäkningen.
