Tips och lösning till övning 13.4.1c
SamverkanFlervariabelanalysLIU
Integralen är generaliserad eftersom området är obegränsat. Vi bildar en uttömmande följd av kompakta cirkelskivor \displaystyle \Omega med medelpunkt i origo och radie \displaystyle R. Dubbelintegralen över \displaystyle \Omega kan nu via övergång till polära koordinater beräknas som en itererad integral enligt
\iint_{\Omega}(1-x^{2}-y^{2})e^{-x^{2}-y^{2}}\,dxdy = \left(\int_{0}^{2\pi} 1\,d\theta\right)\left(\int_{0}^{R} r(1-r^{2})e^{-r^{2}}\,dy\right).
För att beräkna den sista integralen så kan det vara lämpligt med ett variabelbyte \displaystyle t=r^2 och sen använda partiell integration. Vi får också ta gränsvärdet då \displaystyle R\rightarrow\infty innan vi får ett värde på den givna integralen.
