Tips och lösning till övning 13.4.3b
SamverkanFlervariabelanalysLIU
Tips 1
Integralen är generaliserad eftersom området är obegränsat. Bilda en uttömmande följd av kompakta rektanglar \displaystyle \Omega med sidorna \displaystyle 1\leq x\leq R_1 och \displaystyle 1\leq y\leq R_2.
Dubbelintegralen över \displaystyle \Omega kan nu beräknas som en itererad integral.
Tips 2
Dubbelintegralen över \displaystyle \Omega ovan är
\displaystyle \iint_{\Omega}\frac{y-x}{(x+y)^3}dxdy = \int_1^{R_1}\left(\int_1^{R_2}\frac{y-x}{(x+y)^3}\,dy\right)\,dx = \int_1^{R_1}\left( \frac{x}{(x+R_2)^2} - \frac{1}{x+R_2} + \frac{1}{1+x} - \frac{x}{(1+x)^2}\right)\,dx
Fortsätt med att beräkna integralen och undersök dess gränsvärde då \displaystyle R_1,R_2\rightarrow\infty.
Tips 3
Vi beräknar sista integralen ovan och får att
\iint_{\Omega}\frac{y-x}{(x+y)^3}dxdy = \frac{R_2}{R_1+R_2}-\frac{1}{2} \rightarrow\left\{\begin{array}{rcl}-1/2,&R_1=R_2^2\\0,&R_1=R_2\\1/6,&R_1=R_2/2\end{array}\right.
då \displaystyle R_2\rightarrow\infty och därmed också \displaystyle R_1\rightarrow\infty.
Alltså den givna integralen är divergent.
