SamverkanFlervariabelanalysLIU

Det är lika svårt att integrera upp \displaystyle f'_x med avseende på \displaystyle x som att integrera upp \displaystyle f'_y med avseende på \displaystyle y . Det följer att

\displaystyle

f(x,y) = \int f'_x\, dx = \int \frac{y}{x^2+y^2} \, dx = \frac{1}{y} \int \frac{1}{1+\Big(\frac{x}{y} \Big)^2 } \, dx.

Variabelbytet \displaystyle t=\frac{x}{y}, \displaystyle x=yt, \displaystyle dx=y\,dt ger

\displaystyle

f(x,y) = \int \frac{1}{1+t^2}\,dt = \arctan(t) + C = \arctan\frac{x}{y} + g(y).

Bestäm nu \displaystyle g(y) , så att \displaystyle f'_y=-\frac{x}{x^2+y^2}.