3.3 Logaritmer

Övningar

Teori

Förlängning och förkortning

teori

$$ fristående formel dubbla dollar $$

teori igen

Logaritmer med basen 10

Man använder gärna potenser med basen $10$ för att skriva stora och små tal, t.ex.

$$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$$

$$10^{-2} = \displaystyle \frac{1}{10 \cdot 10} = \displaystyle \frac{1}{100} = 0{,}01$$

Om man enbart betraktar exponenten skulle man i stället kunna säga att

"exponenten för 1000 är 3" , eller

"exponenten för 0,01 är -2"

Precis så är logaritmer definierade. Man uttrycker sig på följande sätt:

"logaritmen för 1000 är 3" , vilket skrivs lg 1000 = 3

"logaritmen för 0,01 är -2" , vilket skrivs lg 0,01 = -2

Mer allmänt kan man uttrycka sig:

Logaritmen av ett tal $y$ betecknas med $\lg y$ och &är den exponent som ska stå i den blåa rutan i likheten

$$10^{\ \bbox[#AAEEFF,2pt]{\color{#AAEEFF}{a \;}}} = y $$

Notera här att $y$ måste vara ett positivt tal fölr att logaritmen $\lg y$ ska vara definerad, eftersom det inte finns någon potens av $10$ som blir negativ eller noll.

I det näst sista exemplet kan man snabbt inse att $\lg 50 $ måste ligga någonstans mellan $1$ och $2$ eftersom $10^1 < 50 < 10^2$, men för att få fram ett mer exakt värde på det irrationella talet $ \lg 50 = 1{,}69897\ldots $ behövs i praktiken en miniräknare (eller tabell.)

Olika baser

Man kan tänka sig logaritmer som använder en annan bas än 10 (utom 1!). Man måste då tydligt ange vilket tal man använder som bas för logaritmen. Använder man t.ex. 2 som bas skriver man $ \log_2 $ för "2-logaritmer".

a) $\log_2 8 = 3 \;\;\; $eftersom $ 2^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{3 \;}} = 8 $

b) $\log_2 2 = 1 \;\;\; $eftersom $ 2^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{2 \;}} = 1 $

c) $\log_2 1024 = 10 \;\;\; $eftersom $ 2^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{10 \;}} = 1024 $

d)$\log_2 \displaystyle \frac{1}{4} = -2 \;\;\; $eftersom $ 2^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{-2 \;}}=\displaystyle \frac{1}{2^2} = \displaystyle \frac{1}{4}$ |}

På samma sätt fungerar logaritmer i andra baser.

a) $ \log_3 9 = 2 \;\;\; $eftersom $ 3^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{2 \;}} = 9 $

b) $ \log_5 125 = 3 \;\;\; $eftersom $ 5^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{3 \;}} = 125 $

c) $ \log_4 \displaystyle \frac{1}{16} = -2 \;\;\; $eftersom $ 4^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{-2 \;}} = \displaystyle \frac{1}{4^2} = \displaystyle \frac{1}{16}$

d) $ \log_b \displaystyle \frac{1}{\sqrt{b}} = -\displaystyle \frac{1}{2} \;\;\; $eftersom $ b^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{-1/2 \;}} = \displaystyle \frac{1}{b^{1/2}} = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{b}}$ |}

Om basen 10 används, skriver man sällan $ \log_{10} $, utan som vi tidigare sett lg, eller enbart log, vilket förekommer på många miniräknare.

Naturliga logaritmer

I praktiken är det två baser som oftast används för logaritmer, förutom 10 även talet $e \:(\approx 2,71828 \ldots )$. Logaritmer med basen e kallas naturliga logaritmer och skrivs ln i stället för $\log_e$

Grafen för $\ln{x}$ ser ut enligt nedan, den växer lite snabbare än $\lg{x}$.

<img src="ppStdFiles2261/772646.gif" hspace='0' vspace='0' />

a) $ \ln 10 \approx 2{,}3 \;\;\; $ eftersom $ e^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{2{,}3 \;}} \approx 10 $

b) $ \ln e = 1 \;\;\; $ eftersom $ e^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1 \;}} = e $

c) $ \ln \displaystyle \frac{1}{e^3} = -3 \;\;\; $ eftersom $ e^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{-3 \;}} = \displaystyle \frac{1}{e^3} $

d) $ \ln 1 = 0 \;\;\; $ eftersom $ e^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{0 \;}} = 1 $

e) Om $ y= e^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{a \;}} $ så är $ a = \ln y$

f) $ e^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\ln 5\;}} = 5$

g) $ e^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\ln x\;}} = x$ |}

På de flesta mer avancerade miniräknare finns vanligtvis knappar för 10-logaritmer och naturliga logaritmer.

Logaritmlagar

Mellan år 1617 och 1624 publicerade Henry Biggs en logaritmtabell av alla heltal upp till 20 000 och år 1628 utökade Adriaan Vlacq tabellen till alla heltal upp till 100 000.

Anledningen till att man la ned så enormt mycket arbete på sådana tabeller är att man med hjälp av logaritmer kan multiplicera ihop tal bara genom att addera ihop deras logaritmer (addition går mycket snabbare än multiplikation).

a) Om vi vet att $35 \approx 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}5441 \;}}$ och $54 \approx 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}7324 \;}}$ (d.v.s. $\lg 35 \approx 1{,}5441$ och $\lg 54 \approx 1{,}7324$ ) då kan vi räkna ut att

$$ 35 \cdot 54 \approx 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}5441 \;}} \cdot 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}7324 \;}} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{1{,}5441 + 1{,}7324 \;}} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{3{,}2765 \;}}$$

och vi vet sedan att $10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{3{,}2765 \;}} \approx 1890$ (d.v.s. $ \lg 1890 \approx 3{,}2765$ ) så har vi lyckats beräkna produkten

$$35 \cdot 54 = 1890$$

och bara genom att addera ihop exponenterna $1{,}5441$ och $1{,}7324$.

b) Om vi skriver multiplikationen $ 3\cdot 5 = 15 $ med hjälp av logaritmer får vi att

$$10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 3 \;}} \cdot 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 5 \;}} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 15 \;}} \;\;\;\;\; (3 = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 3 \;}}, \mbox{ osv.} )$$

Eftersom $10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 3 \;}} \cdot 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 5 \;}} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\lg 3 + \lg 5 \;}}$, enligt en av potenslagarna, får vi att

$$\lg 3+\lg 5 = \lg 15 = \lg(3\cdot 5)$$ |}

Detta är ett exempel på en logaritmlag som säger att:

$$\log a + \log b = \log(ab)$$

och som följer av att å ena sidan är

$$a\cdot b =10^{\log a} \cdot 10^{\log b} = \left\{ \mbox{potenslagarna} \right\} = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\log ab \;}}$$

och å andra sidan är

$$a\cdot b = 10^{\ \bbox[#AAEEFF,1pt]{\log (a \cdot b) \;}}$$

Genom att utnyttja potenslagarna på detta sätt kan vi få fram motsvarande logaritmlagar:

Logaritmlagarna gäller oavsett bas.

$\mbox{ a) } \lg 4 + \lg 7 = \lg(4 \cdot 7) = \lg 28$

$\mbox{ b) } \lg 6 - \lg 3 = \lg\left(\displaystyle \frac{6}{3}\right) = \lg 2$

$\mbox{ c) } 2 \cdot \lg 5 = \lg 5^2 = \lg 25$

$\mbox{ d) } \lg 200 = \lg(2 \cdot 100) = \lg 2 + \lg 100 = \lg 2 + 2$ |}

$\mbox{ a) } \lg 9 + \lg 1000 - \lg 3 + \lg 0,001 = \lg 9 + 3 - \lg 3 - 3 = \lg 9- \lg 3$

$= \lg \displaystyle \frac{9}{3} = \lg 3$

$\mbox{ b) } \ln \displaystyle \frac{1}{e} + \ln \sqrt{e} = \ln\left( \displaystyle \frac{1}{e} \cdot \sqrt{e} \right) = \ln\left( \displaystyle \frac{1}{(\sqrt{e})^2} \cdot \sqrt{e} \right) = \ln\displaystyle \frac{1}{\sqrt{e}} $

$= \ln e^{-1/2} = -\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \ln e =-\displaystyle \frac{1}{2} \cdot 1 =-\displaystyle \frac{1}{2}$

$\mbox{ c) } \log_2 36 - \displaystyle \frac{1}{2} \log_2 81 = \log_2 (6 \cdot 6) - \displaystyle \frac{1}{2} \log_2 (9 \cdot 9)$

$= \log_2 (2\cdot 2 \cdot 3 \cdot 3) - \displaystyle \frac{1}{2} \log_2 (3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = \log_2 (2^2 \cdot 3^2) - \displaystyle \frac{1}{2} \log_2 (3^4)$

$= \log_2 2^2 \cdot \log_2 3^2 - \displaystyle \frac{1}{2} \log_2 (3^4) = 2 \log_2 2 \cdot 2 \log_2 3 - \displaystyle \frac{1}{2} \cdot 4 \log_2$ 3

$= 2 \log_2 2 \cdot 2 \log_2 3 - 2 \log_2 3 = 2$

$\mbox{ d) } \lg a^3 - 2 \lg a + \lg \displaystyle \frac{1}{a} =3 \lg a - 2 \lg a + \lg a^{-1}$

$= (3-2)\lg a + (-1) \lg a = \lg a - \lg a = 0$

|}

Byte av bas

Ibland kan det vara bra att kunna uttrycka en logaritm som en logaritm av en annan bas.

a) Uttryck $ \lg 5 $ i naturliga logaritmer.

Lösning:

Per definition är $ \lg 5$ det tal som uppfyller likheten

$$10^{\lg 5} = 5$$

Logaritmera båda led med $\ln$ (naturliga logaritmen)

$$\ln 10^{\lg 5} = \ln 5$$

Med hjälp av logaritmlagen $\ln a^b = b \ln a$ kan vänsterledet skrivas som $\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5$ och likheten blir

$$\lg 5 \cdot \ln 10 = \ln 5$$

Dela nu båda led med $\ln 10$ så får vi svaret

$$\lg 5 = \displaystyle \frac{\ln 5}{\ln 10} \;\;\;\;\;\; (\approx 0,699 \;, \;dvs \; 10^{0,699} \approx 5 )$$

b) Uttryck 2-logaritmen för $100$ i 10-logaritmer.

Lösning:

Om vi skriver upp sambandet som definerar $log_2 100$,

$$2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = 100$$

och logaritmerar båda led med 10-logaritmen ($\lg$) så får vi att

$$\lg 2^{\log_{\scriptstyle 2} 100} = \lg 100$$

Eftersom $ lg a^b = a \lg b $ så är $\lg 2^{\log_2 100} = \log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2$ och högerledet kan förenklas till $\lg 100 = 2$. Detta ger oss likheten

$$\log_{\scriptstyle 2} 100 \cdot \lg 2 = 2$$

Division med $\lg 2$ ger slutligen att

$$\log_{\scriptstyle 2} 100 = \displaystyle \frac{2}{\lg 2} \;\;\;\;\;\; (\approx 6,64 \;, \;dvs \; 2^{6,64} \approx 100 )$$ |}

Den allmänna formeln för byte från en bas $a$ till en bas $b$ kan härledas på samma sätt och ser ut så här:

$$\log_b x = \displaystyle \frac{\log_{\scriptstyle a} x}{\log_{\scriptstyle a} b}$$

Vill man byta bas i en potens kan man göra detta med hjälp av logaritmer. Om man exempelvis vill skriva $ 2^5 $ med basen 10 så skriver man först om 2 med basen 10,

$ 2 = 10^{\lg 2} $

och utnyttjar sedan en av potenslagarna:

$ 2^5 = (10^{\lg 2})^5 = 10^{5\cdot \lg 2} \;\;\;\;\; (\approx 10^{1,505}) $

a) Skriv $ 10^x $ med basen e.

Lösning:

Först skriver vi $10$ som en potens av $e$,

$$10 = e^{\ln 10} \;\; $$

och använder sedan potenslagarna

$$ 10^x = (e^{\ln 10})^x = e^{x \cdot \ln 10} \approx e^{2,3 x}$$

b) Skriv $ e^a $ med basen 10.

Lösning:

$e^a = (10^{\lg e})^a = 10^{a \cdot \lg e} \approx 10^{0,434a}$

|}

© Copyright 2006, KTH Matematik