[redigera] Förstagradsekvationer
För att lösa förstagradsekvationer (även kallade linjära ekvationer) utför vi räkneoperationer
på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får
$x$ ensamt i ena ledet.
Exempel 1
- Lös ekvationen $x+3=7$.
Subtrahera $3$ från båda led
- $x+3-3=7-3$.
Vänsterledet förenklas då till $x$ och vi får att
- $x=7-3=4$.
- Lös ekvationen $3x=6$.
Dividera båda led med $3$
- $\displaystyle\frac{3x}{3} = \frac{6}{3}\,$.
Efter att ha förkortat bort $3$ i vänsterledet har vi att
- $\displaystyle x=\frac{6}{3} = 2$.
- Lös ekvationen $2x+1=5$
Först subtraherar vi båda led med $1$ för att få $2x$ ensamt i vänsterledet
- $2x=5-1$.
Sedan dividerar vi båda led med $2$ och får svaret
- $\displaystyle x = \displaystyle\frac{4}{2}$.
En förstagradsekvation kan skrivas på normalformen $\,ax=b$. Lösningen är då helt enkelt
$x=b/a$ (man måste anta att $a\not=0$).
De eventuella svårigheter som kan uppstå när man läser en förstagradsekvation gäller alltså inte själva
lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen.
Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär
normalform och därmed får en unik lösning.
Exempel 2
Lös ekvationen $\,2x-3=5x+7$.
Eftersom $x$ förekommer både i vänster- och högerledet subtraherar vi $2x$ från båda led
$$2x-3-2x=5x+7-2x$$
och får $x$ samlat i högerledet
$$-3 = 3x+7 \; \mbox{.}$$
Nu subtraherar vi 7 från båda led
$$-3 -7 = 3x +7-7$$
och får $3x$ ensamt kvar i högerledet
$$-10=3x\,\mbox{.}$$
Det sista steget är att dividera båda led med $3$
$$\frac{-10}{3} = \frac{3x}{3}$$
och detta ger att
$$x=-\frac{10}{3}\,\mbox{.}$$
Exempel 3
Lös ut $x$ från ekvationen $ax+7=3x-b$.
Genom att subtrahera båda led med $3x$
$$ax+7-3x=3x-b-3x$$
$$ax+7-3x=-b$$
och sedan med $7$
$$ax+7-3x -7=-b-7$$
$$ax-3x=-b-7$$
har vi samlat alla termer som innehåller $x$ i vänsterledet och övriga termer i högerledet.
Eftersom termerna i vänsterledet har $x$ som en gemensam faktor kan $x$ brytas ut
$$(a-3)x = -b-7\; \mbox{.}$$
Dividera båda led med $a-3$
$$x= \displaystyle \frac{-b-7}{a-3}\; \mbox{.}$$
Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två
exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.
Exempel 4
Lös ekvationen $\ (x-3)^2+3x^2=(2x+7)^2$.
Utveckla kvadratuttrycken i båda leden
$$x^2-6x+9+3x^2=4x^2+28x+49$$
$$4x^2-6x+9=4x^2+28x+49$$
Subtrahera $4x^2$ från båda led
$$-6x +9 = 28x +49\; \mbox{.}$$
Addera $6x$ till båda led
$$9 = 34x +49\; \mbox{.}$$
Subtrahera $49$ från båda led
$$-40=34x\; \mbox{.}$$
Dividera båda led med $34$
$$x=\displaystyle \frac{-40}{34}= -\displaystyle \frac{20}{17}\; \mbox{.}$$
Exempel 5
Lös ekvationen $\displaystyle\ \frac{x+2}{x^2+x}=\displaystyle \frac{3}{2+3x}$.
Flytta över båda termerna i ena ledet
$$\displaystyle \frac{x+2}{x^2+x}-\frac{3}{2+3x}= 0\; \mbox{.}$$
Förläng termerna så att de får samma nämnare
$$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)}-\frac{3(x^2+x)}{(2+3x)(x^2+x)}= 0$$
och förenkla täljaren
$$\displaystyle \frac{(x+2)(2+3x)-3(x^2+x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$
$$\displaystyle \frac{3x^2+8x+4-(3x^2+3x)}{(x^2+x)(2+3x)} = 0,$$
$$\displaystyle \frac{5x +4}{(x^2+x)(2+3x)} = 0.$$
Denna ekvation är uppfylld bara när täljaren är lika med noll (samtidigt som nämnaren inte är lika med noll),
$$5x+4=0$$
vilket ger att $\,x=-\displaystyle \frac{4}{5}$.
Funktioner av typen
$\quad y=2x+1$
$\quad y=-x+3$
$\quad y=\displaystyle \frac{1}{2} x -5 $
är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen
där $k$ och $m$ är konstanter.
Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten $k$ anger linjens lutning
mot $x$-axeln och $m$ anger $y$-koordinaten för den punkt där linjen skär $y$-axeln.
Konstanten $k$ kallas för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i
positiv $x$-led på linjen ger $k$ enheters förändring i positiv $y$-led. Det gäller därmed att om
- $k>0\ $ så lutar linjen uppåt
- $k<0\ $ så lutar linjen nedåt
För en horisontell linje (parallell med $x$-axeln) är $\,k=0\,$ medan en vertikal linje (parallell
med $y$-axeln) inte har något $k$-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen $y=kx+m$).
Exempel 6
- Skissera linjen $y=2x-1$.
Jämför vi linjens ekvation med $\,y=kx+m\,$ så ser vi att $k=2$ och $m=-1$. Detta betyder att linjens riktningskoefficient är $2$ och att den skär $y$-axeln i punkten $(0,-1)$. Se figuren till vänster nedan.
- Skissera linjen $y=2-\frac{1}{2}x$.
Linjens ekvation kan skrivas som $y= -\frac{1}{2}x + 2$ och då ser vi att dess riktningskoefficient är $\,k= -\frac{1}{2}\,$ och att $\,m=2$. Se figuren nedan till höger.
Exempel 7
Vilken riktningskoefficient har den räta linje som går genom punkterna $(2,1)$ och $(5,3)$?
Ritar vi upp punkterna och linjen i ett koordinatsystem så ser vi att $\,5-2=3\,$ steg i $x$-led motsvaras av $\,3-1=2\,$ steg i $y$-led på linjen. Det betyder att $1$ steg i $x$-led måste motsvaras av $\,k=\frac{3-1}{5-2}= \frac{2}{3}\,$ steg i $y$-led. Alltså är linjens riktningskoefficient $\,k= \frac{2}{3}$.
Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se
(t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$
som uppfyller $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.
Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficient $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led
motsvaras av $k$ steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger,
och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$
steg i $y$-led.
Exempel 8
- Linjerna $\,y=3x-1\,$ och $\,y=3x+5\,$ är parallella.
- Linjerna $\,y=x+1\,$ och $\,y=2-x\,$ är vinkelräta.
Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen
där $a$, $b$ och $c$ är konstanter.
Exempel 9
- Skriv linjen $\,y=5x+7\,$ i formen $\,ax+by=c$.
Flytta över $x$-termen till vänsterledet $\ -5x+y=7\,$.
- Skriv linjen $\,2x+3y=-1\,$ i formen $\,y=kx+m$.
Flytta över $x$-termen i högerledet $\ 3y=-2x-1\ $ och dela båda led med $3$
$$y=-\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}\,\mbox{.}$$
[redigera] Områden i koordinatsystem
Genom att tolka olikheter geometriskt kan de användas för att beskriva områden i planet.
Exempel 10
- Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y\ge2$.
Området ges av alla punkter $(x,y)$ vars $y$-koordinat är $2$ eller större, d.v.s. alla punkter på eller ovanför linjen $y=2$.
- Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $y<x$.
En punkt $(x,y)$ som uppfyller olikheten $y<x$ har en $x$-koordinat som är större än dess $y$-koordinat. Området består alltså av alla punkter till höger om linjen $y=x$.
Bildtext: Att linjen $y=x$ är streckad betyder att punkterna på linjen inte tillhör det grågrönfärgade området.
Exempel 11
Skissera området i $x,y$-planet som uppfyller $2 \le 3x+2y\le 4$.
Den dubbla olikheten kan delas upp i två olikheter
$$3x+2y \ge 2 \quad \mbox{och} \quad 3x+2y\le4 \;\mbox{.}$$
Flyttar vi över $x$-termerna till högerledet och delar båda led med $2$ får vi
$$y \ge 1-\frac{3}{2}x \quad \mbox{och} \quad y\le 2-\frac{3}{2}x \;\mbox{.}$$
De punkter som uppfyller den första olikheten ligger på och ovanför linjen $\,y \ge 1-\frac{3}{2}x\,$ medan de punkter som uppfyller den andra olikheten ligger på eller under linjen $y\le 2-\frac{3}{2}x$.
 
Punkter som uppfyller båda olikheterna tillhör det bandformade område som de gråa områdena ovan har gemensamt.
Exempel 12
Om vi ritar upp linjerna $\,y=x$, $\,y=-x\,$ och $\,y=2\,$ så begränsar dessa linjer en triangel, i koordinatsystemet.
Vi upptäcker att för att en punkt skall ligga i denna triangel så måste vi sätta en del krav på den.
Vi ser att dess $y$-koordinat måste vara mindre än $2$. Samtidigt ser vi att triangeln nedåt begränas av
$ y=0$.
$y$-koordinaten måste således ligga i intervallet $ 0\le y\le2$.
För $x$-koordinaten blir det lite mer komplicerat. Vi ser att $x$-
koordinaten måste ligga ovanför linjerna $y=-x \mbox{ och } y=x$.
Vi ser att detta är uppfyllt då $-y\le x\le y$.
Eftersom vi redan har begränsningar för $y$-koordinaten så ser vi att $x$ inte kan vara större än $2$
och mindre än $-2$ automatiskt.
Vi ser att basen i triangeln blir $4$ längdenheter och höjden $2$ längdenheter.
Arean av denna triangel blir alltså $ 4\cdot 2/2=4$areaenheter.
Tänk på att...
Rita egna figurer när du löser geometriska problem och att vara noggrann när du ritar! En bra figur kan vara halva lösningen, men en dålig figur kan lura en.
|
