3.2 Rotekvationer
Sommarmatte 1
| Versionen från 23 april 2007 kl. 14.52 (redigera) Lina (Diskussion | bidrag) (Ny sida: <table><tr><td width="600"> =3.2 Rotekvationer= <div class="inforuta"> '''Innehåll:''' *Rotekvationer av typen $ \sqrt{ax+b}= cx +d $ *Falska rötter </div> <div class="inforuta"> '''L...) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (16 maj 2007 kl. 07.33) (redigera) (ogör) Tek (Diskussion | bidrag) (Lagt in text om grund- och slutprov) |
||
| (12 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| + | __NOTOC__ | ||
| <table><tr><td width="600"> | <table><tr><td width="600"> | ||
| - | |||
| - | =3.2 Rotekvationer= | ||
| <div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
| '''Innehåll:''' | '''Innehåll:''' | ||
| - | *Rotekvationer av typen $ \sqrt{ax+b}= cx +d $ | + | *Rotekvationer av typen $\,\sqrt{ax+b}= cx +d $ |
| *Falska rötter | *Falska rötter | ||
| </div> | </div> | ||
| <div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> | ||
| - | '''Läromål:''' | + | '''Lärandemål:''' |
| Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att: | ||
| - | *Lösa enkla rotekvationer med kvadrering och veta att lösningarna måste prövas | + | *Lösa enkla rotekvationer med kvadrering. |
| + | *Hantera falska rötter och veta när de uppstår. | ||
| </div> | </div> | ||
| - | [[agjöeijö|Övningar]] | + | [[3.2 Övningar|Övningar]] |
| </td> | </td> | ||
| Rad 28: | Rad 28: | ||
| =Teori= | =Teori= | ||
| - | Rotekvationer är ekvationer där variabeln förekommer under ett rottecken. | ||
| - | Det kan handla om både kvadratrötter, kubikrötter ellar andra rötter. | ||
| - | |||
| - | Först något om beteckningar (se även avsnitt 1.4). Kvadratroten ur x betecknas: | ||
| - | |||
| - | $ \sqrt{x} \; $ eller $ \; x^{1/2} $ | ||
| - | |||
| - | och är beteckningen för det positiva tal (om x > 0) som kvadrerat blir x. | ||
| - | Kubikroten ur x betecknas: | ||
| - | $ \sqrt[\scriptstyle3]{x} \; $ eller $ \; x^{1/3}$ | ||
| - | |||
| - | och är det tal som upphöjt i 3 blir x. | ||
| - | Förväxla inte kubikroten med $3 \sqrt{x}$ som är tre | ||
| - | gånger kvadratroten ur x. Kubikrötter kan dras ur negativa tal, och de kan vara negativa. | ||
| - | |||
| - | |||
| - | Ett exempel är: | ||
| - | $ \sqrt[\scriptstyle3]{-1} = -1, \; $ eftersom $ \; (-1)^3 = -1.$ | ||
| - | |||
| - | |||
| Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex. | Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex. | ||
| - | $$\sqrt{x} + 3x = 2$$ | + | $$\sqrt{x} + 3x = 2\,,$$ |
| - | $$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2$$ | + | $$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,$$ |
| - | $$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x$$ | + | $$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}$$ |
| Rad 60: | Rad 40: | ||
| Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen | Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen | ||
| så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet. | så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet. | ||
| - | Sedan kvadrerar man ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner. | + | Sedan kvadrerar man båda led i ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner och löser sedan den nya, kvadrerade, ekvationen. |
| När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får | När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får | ||
| fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella | fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella | ||
| Rad 72: | Rad 52: | ||
| '''Exempel 1''' | '''Exempel 1''' | ||
| - | Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation: | + | Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation |
| - | $$x = 2,$$ | + | $$x = 2\mbox{.}$$ |
| Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi | Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi | ||
| - | $$x^2 = 4 $$ | + | $$x^2 = 4\mbox{.}$$ |
| - | Denna nya ekvation har två lösningar $x = 2$ eller $x = -2$. | + | Denna nya ekvation har två lösningar $\,x = 2\,$ eller $\,x = -2\,$. |
| - | Lösningen $x = 2$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $x = -2$ är en lösning dom uppstod i den kvaderade ekvationen. | + | Lösningen $\,x = 2\,$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $\,x = -2\,$ är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen. |
| </div> | </div> | ||
| Rad 89: | Rad 69: | ||
| '''Exempel 2''' | '''Exempel 2''' | ||
| - | Lös ekvationen:$2\sqrt{x - 1} = 1 - x$ | + | Lös ekvationen $\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x\,$. |
| - | + | <br> | |
| - | + | <br> | |
| - | '''Lösning:''' | + | Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med 2, |
| - | + | men vi kan också låta tvåan stå kvar. Om vi kvadrerar ekvationen | |
| - | Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med två, | + | |
| - | men vi kan också låta tvåan stå kvar. Den stör oss inte. Om vi kvadrerar ekvationen | + | |
| som den är får vi | som den är får vi | ||
| - | + | $$4(x - 1) = (1 - x)^2$$ | |
| - | $4(x - 1) = (1 - x)^2 $ | + | |
| - | + | ||
| och utvecklar vi kvadraten fås | och utvecklar vi kvadraten fås | ||
| - | + | $$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}$$ | |
| - | $4(x - 1)= 1 - 2x + x^2$ | + | |
| - | + | ||
| Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas | Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas | ||
| + | $$x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}$$ | ||
| - | $x^2 - 6x + 5 = 0$ | + | Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln. |
| + | Lösningarna blir $\,x = 3 \pm 2\,$, dvs. $\,x = 1\,$ eller $\,x = 5\,$. | ||
| - | Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller allmänna lösningsformeln. | ||
| - | Lösningarna blir: | ||
| - | $x = 3 \pm 2, $ dvs $ x = 1 $ eller $ x = 5. $ | + | Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$ också är lösningarna till den ursprungliga rotekvationen: |
| + | * $x = 1\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 1 = 0\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} = \mbox{HL}\,$ och ekvationen är uppfylld! | ||
| + | * $x = 5\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 5 = -4\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} \ne \mbox{HL}$ och ekvationen är ''inte'' uppfylld! | ||
| - | Eftersom vi kvaderar ekvationen finns risk att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $x=1$ och $x=5$ också är lösningarna i den ursprungliga rotekvationen: | + | Ekvationen har därmed bara en lösning $\,x = 1 \,$. |
| + | [[Bild:772637.gif||center]] | ||
| - | '''Testa $x = 1 \;$''' | + | </div> |
| - | $x = 1 \;$ | + | [[3.2 Övningar|Övningar]] |
| - | medför | ||
| - | $\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 \; $ | + | <div class="inforuta"> |
| + | '''Råd för inläsning''' | ||
| - | och | + | '''Grund- och slutprov''' |
| - | $\mbox{HL} = 1 - 1 = 0. $ | + | Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge. |
| - | |||
| - | '''$\mbox{VL} = \mbox{HL.}$ Ekvationen är uppfylld!''' | ||
| - | |||
| - | |||
| - | '''Testa $x = 5 \;$''' | ||
| - | |||
| - | $x = 5 \; $ medför | ||
| - | |||
| - | $ \mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 \; $ | ||
| - | |||
| - | och | ||
| - | |||
| - | $ \mbox{HL} = 1 - 5 = -4.$ | ||
| - | |||
| - | |||
| - | '''$\mbox{VL} \ne \mbox{HL.}$ Ekvationen är inte uppfylld!''' | ||
| - | |||
| - | |||
| - | '''Ekvationen har alltså bara en lösning, $x = 1 \; \mbox{.}$''' | ||
| - | |||
| - | |||
| - | De två funktionerna visas i kurvan nedan. | ||
| - | <img src="ppStdFiles2261/772637.gif" hspace='0' vspace='0' > <br> | ||
| - | |||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class="inforuta"> | ||
| - | '''Råd för inläsning''' | ||
| '''Tänk på att:''' | '''Tänk på att:''' | ||
| Rad 168: | Rad 117: | ||
| för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring | för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring | ||
| - | |||
| - | [http://www.theducation.se/kurser/umaprep/01_kursoversikt/index.asp Läs mer om Algebra i Theducations Gymnasielexikon] | ||
| [http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier] | [http://www.jamesbrennan.org/algebra/ Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier] | ||
| Rad 179: | Rad 126: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | |||
| - | |||
| - | '''© Copyright 2006, KTH Matematik''' | ||
| - | |||
| - | |||
| Rad 190: | Rad 132: | ||
| <td valign="top"> | <td valign="top"> | ||
| - | <!-- rätt/fel in här --> | + | {{Repetition_rötter}} |
| </td><!--ej i wiki</tr></table>--> | </td><!--ej i wiki</tr></table>--> | ||
Nuvarande version
|
Innehåll:
Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|
[redigera] TeoriDet finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex. $$\sqrt{x} + 3x = 2\,,$$ $$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2\,,$$ $$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x\,\mbox{.}$$
Exempel 1 Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation $$x = 2\mbox{.}$$ Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi $$x^2 = 4\mbox{.}$$ Denna nya ekvation har två lösningar $\,x = 2\,$ eller $\,x = -2\,$. Lösningen $\,x = 2\,$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $\,x = -2\,$ är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen. Exempel 2 Lös ekvationen $\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x\,$.
Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln. Lösningarna blir $\,x = 3 \pm 2\,$, dvs. $\,x = 1\,$ eller $\,x = 5\,$.
Ekvationen har därmed bara en lösning $\,x = 1 \,$.
Råd för inläsning Grund- och slutprov Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen, s. k. falska rötter. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Därför måste man verifiera att de lösningar man får fram, inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Du ska alltid pröva lösningen i rotekvationer.
för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier
Vad är roten ur -- ? Webmath.com hjälper dig att förenkla rotuttryck
|
Repetition av rötter Rotekvationer är ekvationer där variabeln förekommer under ett rottecken. Det kan handla om både kvadratrötter, kubikrötter ellar andra rötter. Först något om beteckningar (se även avsnitt 1.4). Kvadratroten ur x betecknas: $ \sqrt{x} \; $ eller $ \; x^{1/2} $ och är beteckningen för det positiva tal (om x > 0) som kvadrerat blir x. Kubikroten ur x betecknas: $ \sqrt[\scriptstyle3]{x} \; $ eller $ \; x^{1/3}$ och är det tal som upphöjt i 3 blir x. Förväxla inte kubikroten med $3 \sqrt{x}$ som är tre gånger kvadratroten ur x. Kubikrötter kan dras ur negativa tal, och de kan vara negativa.
|
