Övn 4
Sommarmatte 1
| Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.04 (redigera) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) (→Övning 4.2:1) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.05 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) (→Övning 4.2:2) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 493: | Rad 493: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
| - | <div class=NavContent> | + | |
| - | Facit till alla delfrågor<br \> | + | |
| <table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| Rad 518: | Rad 515: | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga a) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:4_2_2a.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga b) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:4_2_2b.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga c) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:4_2_2c.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning d) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga d) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:4_2_2d.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning e) </DIV> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga e) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:4_2_2e.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning f) </div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | Lösning till delfråga f) | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:4_2_2f.gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.05
Övning 4.1:1
Skriv i grader och radianer
| a) | $\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $ | b) | $\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$ |
| c) | $-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$ | d) | $\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $ |
| a) | $90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $ | b) | $135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$ |
| c) | $-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$ | d) | $2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$ |
Övning 4.1:2
Omvandla till radianer
| a) | $45^\circ$ | b) | $135^\circ$ | c) | $-63^\circ$ | d) | $270^\circ$ |
| a) | $\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$ | b) | $\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$ | c) | $-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$ | d) | $\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$ |
Övning 4.1:3
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x$
| a) |  |
b) |  |
c) |  |
| a) | $x=50$ | b) | $x=5$ | c) | $x=15$ |
Övning 4.1:4
| a) | Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4). |
| b) | Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1). |
| c) | Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1). |
| a) | $5 \textrm{ l.e.}$ |
| b) | $\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$ |
| c) | $(2,0)$ |
Övning 4.1:5
| a) | Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2. |
| b) | Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1). |
| a) | $(x-1)^2+(y-2)^2=4$ |
| b) | $(x-2)^2+(y+1)^2=13$ |
Övning 4.1:6
Skissera följande cirklar
| a) | $x^2+y^2=9$ | b) | $(x-1)^2+(y-2)^2=3$ |
| c) | $(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$ | ||
Facit till alla delfrågor
| a) | BILD | b) | BILD |
| c) | BILD | ||
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
Övning 4.1:7
Skissera följande cirklar
| a) | $x^2+2x+y^2-2y=1$ | b) | $x^2+y^2+4y=0$ |
| c) | $x^2-2x+y^2+6y=-3$ | d) | $x^2-2x+y^2+2y=-2$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | BILD | b) | BILD |
| c) | BILD | d) | BILD |
Lösning till delfråga a)
|
|
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Övning 4.1:8
Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?
| $\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $ |
Övning 4.1:9
På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?
| $\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$ |
Övning 4.1:10
En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).
| BILD |
| $x=9$ dm |
Övning 4.2:1
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
| e) |  |
f) |  |
Facit till alla delfrågor
| a) | $x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$ | b) | $x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$ |
| c) | $x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$ | d) | $x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$ |
| e) | $x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$ | f) | $x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$ |
Övning 4.2:2
Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
| e) |  |
f) |  |
| a) | $\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$ | b) | $\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$ |
| c) | $\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$ | d) | $\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$ |
| e) | $v=30 ^\circ$ | f) | $\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$ |
Övning 4.2:3
Bestäm
| a) | $\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$ | b) | $\cos{2\pi}$ | c) | $\sin{9\pi}$ |
| d) | $\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$ | e) | $\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ | f) | $\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $-1$ | b) | $1$ | c) | $0$ |
| d) | $0$ | e) | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ | f) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
|
|
Övning 4.2:4
Bestäm
| a) | $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$ | b) | $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$ | c) | $\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ |
| d) | $\tan{\pi}$ | e) | $\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$ | f) | $\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | b) | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | c) | $-1$ |
| d) | $0$ | e) | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ | f) | $\sqrt{3}$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Lösning till delfråga e)
|
|
Lösning till delfråga f)
|
|
Övning 4.2:5
Bestäm
| a) | $\cos{135^\circ}$ | b) | $\tan{225^\circ}$ | c) | $\cos{330^\circ}$ | d) | $\tan{495^\circ}$ |
Facit till alla delfrågor
| a) | $-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ | b) | $1$ | c) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | d) | $-1$ |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Övning 4.2:6
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.
 |
| $x= \sqrt{3}-1$ |
|
|
Övning 4.2:7
För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
 |
| Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m. |
Övning 4.2:8
En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
 |
| $\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $ |
|
|
|
|
Övning 4.2:9
Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
 |
| Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km. |
|
|
|
|
|
|
