Övn 4
Sommarmatte 1
| Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.27 (redigera) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) (→Övning 4.4:3) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.28 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) (→Övning 4.4:4) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1 264: | Rad 1 264: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
| - | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
| - | <div class=NavContent> | + | |
| <table width="100%" cellpadding="10px"> | <table width="100%" cellpadding="10px"> | ||
| <tr> | <tr> | ||
| Rad 1 274: | Rad 1 272: | ||
| </tr> | </tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| - | <div class=NavHead>Lösning</div> | ||
| - | <div class=NavContent> | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:4_4_4-1(3).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:4_4_4-2(3).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | <tr> | ||
| - | <td align="center"> | ||
| - | [[Bild:4_4_4-3(3).gif]] | ||
| - | </td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.28
Övning 4.1:1
Skriv i grader och radianer
| a) | \displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} | b) | \displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv} |
| c) | -\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv} | d) | \displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} |
| a) | 90^\circ\ och \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} | b) | 135^\circ\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad} |
| c) | -240^\circ\ och \ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad} | d) | 2910^\circ\ och \ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad} |
Övning 4.1:2
Omvandla till radianer
| a) | 45^\circ | b) | 135^\circ | c) | -63^\circ | d) | 270^\circ |
| a) | \displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad} | b) | \displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad} | c) | -\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad} | d) | \displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad} |
Övning 4.1:3
Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x
| a) |  |
b) |  |
c) |  |
| a) | x=50 | b) | x=5 | c) | x=15 |
Övning 4.1:4
| a) | Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4). |
| b) | Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1). |
| c) | Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1). |
| a) | 5 \textrm{ l.e.} |
| b) | \sqrt{61} \textrm{ l.e.} |
| c) | (2,0) |
Övning 4.1:5
| a) | Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2. |
| b) | Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1). |
| a) | (x-1)^2+(y-2)^2=4 |
| b) | (x-2)^2+(y+1)^2=13 |
Övning 4.1:6
Skissera följande cirklar
| a) | x^2+y^2=9 | b) | (x-1)^2+(y-2)^2=3 |
| c) | (3x-1)^2+(3y+7)^2=10 | ||
Facit till alla delfrågor
| a) | BILD | b) | BILD |
| c) | BILD | ||
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
Övning 4.1:7
Skissera följande cirklar
| a) | x^2+2x+y^2-2y=1 | b) | x^2+y^2+4y=0 |
| c) | x^2-2x+y^2+6y=-3 | d) | x^2-2x+y^2+2y=-2 |
Facit till alla delfrågor
| a) | BILD | b) | BILD |
| c) | BILD | d) | BILD |
Lösning till delfråga a)
|
|
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Lösning till delfråga d)
|
|
Övning 4.1:8
Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?
| \displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} |
Övning 4.1:9
På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?
| \displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2 |
Övning 4.1:10
En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet \,x\, i figuren).
| BILD |
| x=9 dm |
Övning 4.2:1
Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x\, uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
| e) |  |
f) |  |
Facit till alla delfrågor
| a) | x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62 | b) | x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2 |
| c) | x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7 | d) | x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0 |
| e) | x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2 | f) | x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9 |
Övning 4.2:2
Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln \,v\, uppfyller.
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
d) |  |
| e) |  |
f) |  |
| a) | \tan v=\displaystyle\frac{2}{5} | b) | \sin v=\displaystyle\frac{7}{11} |
| c) | \cos v=\displaystyle\frac{5}{7} | d) | \sin v=\displaystyle\frac{3}{5} |
| e) | v=30 ^\circ | f) | \sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3} |
Övning 4.2:3
Bestäm
| a) | \sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} | b) | \cos{2\pi} | c) | \sin{9\pi} |
| d) | \cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}} | e) | \sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}} | f) | \cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)} |
| a) | -1 | b) | 1 | c) | 0 |
| d) | 0 | e) | \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} | f) | \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} |
Övning 4.2:4
Bestäm
| a) | \cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}} | b) | \cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}} | c) | \tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}} |
| d) | \tan{\pi} | e) | \tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}} | f) | \tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)} |
| a) | \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} | b) | \displaystyle \frac{1}{2} | c) | -1 |
| d) | 0 | e) | \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} | f) | \sqrt{3} |
Övning 4.2:5
Bestäm
| a) | \cos{135^\circ} | b) | \tan{225^\circ} | c) | \cos{330^\circ} | d) | \tan{495^\circ} |
| a) | -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} | b) | 1 | c) | \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} | d) | -1 |
Övning 4.2:6
Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x\,.
 |
| x= \sqrt{3}-1 |
Övning 4.2:7
För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
 |
| Älvens bredd är \ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1} m \approx 136{,}6 m. |
Övning 4.2:8
En stång med längd \,\ell\, är upphängd i två linor med längd \,a\, resp. \,b\, enligt figuren. Linorna bildar vinklar \,\alpha\, resp. \,\beta\, med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln \,\gamma\, som stången bildar med vertikalen.
 |
| \ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta |
Övning 4.2:9
Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
 |
| Avståndet är \ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0 km. |
Övning 4.3:1
Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller
| a) | \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} | b) | \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} | c) | \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}} |
| a) | v = \displaystyle \frac{9\pi}{5} | b) | v = \displaystyle \frac{6\pi}{7} | c) | v = \displaystyle \frac{9\pi}{7} |
Övning 4.3:2
Bestäm de vinklar \,v\, mellan 0 och \,\pi\, som uppfyller
| a) | \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} | b) | \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}} |
| a) | v=\displaystyle \frac{\pi}{2} | b) | v=\displaystyle \frac{3\pi}{5} |
Övning 4.3:3
Antag att \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \,a
| a) | \sin{(-v)} | b) | \sin{(\pi-v)} |
| c) | \cos{v} | d) | \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)} |
| e) | \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} | f) | \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)} |
| a) | -a | b) | a |
| c) | \sqrt{1-a^2} | d) | \sqrt{1-a^2} |
| e) | -a | f) | \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a |
Övning 4.3:4
Antag att \,0 \leq v \leq \pi\, och att \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \,b\,
| a) | \sin^2{v} | b) | \sin{v} |
| c) | \sin{2v} | d) | \cos{2v} |
| e) | \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} | f) | \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)} |
| a) | 1-b^2 | b) | \sqrt{1-b^2} |
| c) | 2b\sqrt{1-b^2} | d) | 2b^2-1 |
| e) | \sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} | f) | b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} |
Övning 4.3:5
För en spetsig vinkel \,v\, i en triangel gäller att \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \,\cos{v}\, och \,\tan{v}\,.
| \cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad och \quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,. |
Övning 4.3:6
| a) | Bestäm \ \sin{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,. |
| b) | Bestäm \ \cos{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \,v\, ligger i den andra kvadranten. |
| c) | Bestäm \ \sin{v}\ och \ \cos{v}\ om \ \tan{v}=3\ och \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,. |
| a) | \sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,. |
| b) | \cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,. |
| c) | \sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad och \quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,. |
Övning 4.3:7
Bestäm \ \sin{(x+y)}\ om
| a) | \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,, \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
| b) | \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
| a) | \sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9} |
| b) | \sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25} |
Övning 4.3:8
Visa följande trigonometriska samband
| a) | \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v} |
| b) | \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v} |
| c) | \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u} |
| d) | \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v |
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
Lösning till delfråga a)
|
|
Övning 4.3:9
|
Visa "Feynmans likhet" \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \,\sin 160^\circ\,.)
|
|
|
|
|
Övning 4.4:1
För vilka vinklar \,v\,, där \,0 \leq v\leq 2\pi\,, gäller att
| a) | \sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2} | b) | \cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2} |
| c) | \sin{v}=1 | d) | \tan{v}=1 |
| e) | \cos{v}=2 | f) | \sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2} |
| g) | \tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} | ||
| a) | \displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6} | b) | \displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3} |
| c) | \displaystyle v=\frac{\pi}{2} | d) | \displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4} |
| e) | lösning saknas | f) | \displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6} |
| g) | \displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6} | ||
Övning 4.4:2
Lös ekvationen
| a) | \sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} | b) | \cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} | c) | \sin{x}=0 |
| d) | \sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} | e) | \sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2} | f) | \cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} |
| a) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right. |
b) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right. |
c) | x=n\pi |
| d) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right. |
e) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right. |
f) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right. |
Övning 4.4:3
Lös ekvationen
| a) | \cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}} | b) | \sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}} |
| c) | \sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ} | d) | \sin{3x}=\sin{15^\circ} |
| a) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi }\right. |
b) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi }\right. |
| c) |
\left\{\eqalign{ x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ }\right. |
d) |
\left\{\eqalign{ x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ }\right. |
Övning 4.4:4
Bestäm de vinklar \,v\, i intervallet \,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\, som uppfyller \ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,.
|
v_1=50^\circ, \ \ v_2=120^\circ, \ \ v_3=230^\circ\ \ och \ \ v_4=300^\circ |
Övning 4.4:5
Lös ekvationen
| a) | \sin{3x}=\sin{x} | b) | \tan{x}=\tan{4x} |
| c) | \cos{5x}=\cos(x+\pi/5) | ||
Facit till alla delfrågor
| a) |
\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2} }\right. |
b) | x=\displaystyle \frac{n\pi}{3} |
| c) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3} }\right. |
||
Lösning till delfråga a)
|
|
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
Övning 4.4:6
Lös ekvationen
| a) | \sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x | b) | \sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x} |
| c) | \sin 2x = -\sin x | ||
Facit till alla delfrågor
| a) |
x=n\pi |
b) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right. |
| c) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr }\right. |
||
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
Övning 4.4:7
Lös ekvationen
| a) | 2\sin^2{x}+\sin{x}=1 | b) | 2\sin^2{x}-3\cos{x}=0 |
| c) | \cos{3x}=\sin{4x} | ||
Facit till alla delfrågor
| a) |
\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi }\right. |
b) | x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi |
| c) |
\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7} }\right. |
||
Lösning till delfråga a)
|
|
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
|
|
Övning 4.4:8
Lös ekvationen
| a) | \sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x} | b) | \sin{x}=\sqrt{3}\cos{x} |
| c) | \displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x} | ||
Facit till alla delfrågor
| a) |
\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi }\right. |
b) | x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi |
| c) |
\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi }\right. |
||
Lösning till delfråga a)
|
|
|
|
Lösning till delfråga b)
|
|
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
