Loading jsMath...

Övn 4

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 25 juni 2007 kl. 07.52 (redigera)
KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag)
(Ny sida: __NOTOC__ ==Övning 4.1:1== <div class="ovning"> Skriv i grader och radianer <table width="100%" cellspacing="10px"> <tr align="left"> <td class="ntext">a)</td> <td class="ntext" width="50%...)
← Gå till föregående ändring
Nuvarande version (30 juni 2007 kl. 15.48) (redigera) (ogör)
KTH.SE:u1m1gion (Diskussion | bidrag)
(Övning 4.1:10 - (Lade till bild i uppgiften. /Johan T))
 
(43 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 89: Rad 89:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Facit till alla delfrågor<br \>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
Rad 105: Rad 102:
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.1:4==
 +<div class="ovning">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga a)+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">+<td class="ntext" width="100%">$5 \textrm{ l.e.}$</td>
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:4_1_3a.gif‎]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">\sqrt{61} \textrm{ l.e.}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">(2,0)</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.1:5==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-Lösning till delfråga b)+<tr align="left" valign="top">
-<table width="100%">+<td class="ntext">a)</td>
-<tr>+<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.</td>
-<td align="center">+
-[[Bild:4_1_3b.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga c)+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">+<td class="ntext" width="100%">(x-1)^2+(y-2)^2=4</td>
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:4_1_3c.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">(x-2)^2+(y+1)^2=13</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>
-==Övning 4.1:4==+==Övning 4.1:6==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
 +Skissera följande cirklar
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="100%">Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).</td>+<td class="ntext" width="50%">x^2+y^2=9</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$(x-1)^2+(y-2)^2=3$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">(3x-1)^2+(3y+7)^2=10</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo.</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="100%">Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie \sqrt 3 och medelpunkt i punkten (1, 2).</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="100%">Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 168: Rad 203:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.1:7==
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Skissera följande cirklar
-Facit till alla delfrågor<br \>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="100%">$5 \textrm{ l.e.}$</td>+<td class="ntext" width="50%">$x^2+2x+y^2-2y=1$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$x^2+y^2+4y=0$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">x^2-2x+y^2+6y=-3</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">x^2-2x+y^2+2y=-2</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie \sqrt 3.</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="100%">$\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2. </td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="100%">$(2,0)$</td>+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$.</td>
</tr> </tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">Endast punkten (1, -1). </td>
 +</tr>
 +
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.1:8==
 +<div class="ovning">
 +Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr><td height="5px"/></tr>
-Lösning till delfråga a)+<tr align="left">
-<table width="100%">+<td class="ntext" width="100%">
-<tr>+$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $ </td>
-<td align="center">+
-[[Bild:4_1_4a-1(2).gif]]+
-[[Bild:4_1_4a-2(2).gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.1:9==
 +<div class="ovning">
 +På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr><td height="5px"/></tr>
-Lösning till delfråga b)+<tr align="left">
-<table width="100%">+<td class="ntext" width="100%">\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2</td>
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:4_1_4b.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div>+ 
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.1:10==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet \,x\, i figuren).
-Lösning till delfråga c)+ 
-<table width="100%">+<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr><td height="5px"/></tr>
<tr> <tr>
<td align="center"> <td align="center">
-[[Bild:4_1_4c-1(2).gif]]+[[Bild:Uppg_4_1_10.gif]]
-</td>+
-</tr>+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:4_1_4c-2(2).gif]]+
</td> </td>
 +</tr><tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +
 +
 +</div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext" width="100%">x=9 dm</td>
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div>+ 
</div> </div>
-==Övning 4.1:5==+==Övning 4.2:1==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
 +Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x\, uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left" valign="top"> <tr align="left" valign="top">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.</td>+<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1a.gif]]</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1b.gif]]</td>
</tr> </tr>
<tr align="left" valign="top"> <tr align="left" valign="top">
-<td class="ntext">b)</td>+<td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="100%">Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).</td>+<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1c.gif]]</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1d.gif]]</td>
 +</tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1e.gif]]</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_1f.gif]]</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 253: Rad 329:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
Facit till alla delfrågor<br \> Facit till alla delfrågor<br \>
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="100%">$(x-1)^2+(y-2)^2=4$</td>+<td class="ntext" width="50%"> $x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +
 +==Övning 4.2:2==
 +<div class="ovning">
 +Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln \,v\, uppfyller.
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2a.gif]]</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="100%">$(x-2)^2+(y+1)^2=13$</td>+<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2b.gif]]</td>
 +</tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2c.gif]]</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2d.gif]]</td>
 +</tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2e.gif]]</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">[[Bild:O4_2_2f.gif]]</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%"> \tan v=\displaystyle\frac{2}{5}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">v=30 ^\circ</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.2:3==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Bestäm
-Lösning till delfråga a)+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">+<tr align="left">
-<tr>+<td class="ntext">a)</td>
-<td align="center">+<td class="ntext" width="33%"> \sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}</td>
-[[Bild:4_1_5a.gif]]+<td class="ntext">b)</td>
-</td>+<td class="ntext" width="33%">\cos{2\pi}</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\sin{9\pi}</td>
</tr> </tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="33%"> \cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}</td>
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga b)+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">+<td class="ntext" width="33%">-1</td>
-<tr>+<td class="ntext">b)</td>
-<td align="center">+<td class="ntext" width="33%">1</td>
-[[Bild:4_1_5b-1(2).gif]]+<td class="ntext">c)</td>
-</td>+<td class="ntext" width="33%">0</td>
</tr> </tr>
-<tr>+<tr align="left">
-<td align="center">+<td class="ntext">d)</td>
-[[Bild:4_1_5b-2(2).gif]]+<td class="ntext" width="33%">0</td>
-</td>+<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}</td>
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>
-==Övning 4.1:6==+==Övning 4.2:4==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Skissera följande cirklar+Bestäm
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$x^2+y^2=9$</td>+<td class="ntext" width="33%">$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$(x-1)^2+(y-2)^2=3$</td>+<td class="ntext" width="33%">$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\tan{\pi}</td>
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\displaystyle \frac{1}{2}</td>
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$</td>+<td class="ntext" width="33%">$-1$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">0</td>
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">$\sqrt{3}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 322: Rad 496:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.2:5==
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Bestäm
-Facit till alla delfrågor<br \>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="25%">\cos{135^\circ}</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="25%">\tan{225^\circ}</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">\cos{330^\circ}</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">\tan{495^\circ}</td>
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">1</td>
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="25%">\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="25%">-1</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.2:6==
 +<div class="ovning">
 +Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x\,.
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="center">
 +<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_6.gif]]</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga a)+<td class="ntext" width="100%">x= \sqrt{3}-1</td>
-<table width="100%">+
-<tr>+
-<td align="center">+
-[[Bild:4_1_6a.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
 +</div>
 +==Övning 4.2:7==
 +<div class="ovning">
 +För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="center">
 +<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_7.gif]]</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext" width="100%">Älvens bredd är \ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1} m \approx 136{,}6 m.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+ 
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>+==Övning 4.2:8==
-<div class=NavContent>+<div class="ovning">
-Lösning till delfråga b)+En stång med längd \,\ell\, är upphängd i två linor med längd \,a\, resp. $\,b\, enligt figuren. Linorna bildar vinklar \,\alpha\, resp. \,\beta\, med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln \,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
-<table width="100%">+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr>+<tr align="center">
-<td align="center">+<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_8.gif]]</td>
-[[Bild:4_1_6b.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext" width="100%">\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta </td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.2:9==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</DIV>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Bilvägen från ''A'' till ''B'' består av tre rätlinjiga delar ''AP'', ''PQ'' och ''QB'', vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid ''P'' och ''Q'' är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från ''A'' till ''B''. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
-Lösning till delfråga c)+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">+<tr align="center">
-<tr>+<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_9.gif]]</td>
-<td align="center">+
-[[Bild:4_1_6c-1(2).gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
-<tr>+<tr><td height="5px"/></tr>
-<td align="center">+</table>
-[[Bild:4_1_6c-2(2).gif]]+</div>
-</td>+ 
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext" width="100%">Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.</td>
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.3:1==
 +<div class="ovning">
 +Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
-==Övning 4.1:7==+<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}</td>
 +</tr>
 +</table>
 +</div>
 + 
 +==Övning 4.3:2==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Skissera följande cirklar+Bestäm de vinklar \,v\, mellan 0 och \,\pi\, som uppfyller
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$x^2+2x+y^2-2y=1$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$x^2+y^2+4y=0$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 + 
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 + 
 +==Övning 4.3:3==
 +<div class="ovning">
 +Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \,a$
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{(-v)}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$x^2-2x+y^2+6y=-3$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td>
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="50%">$x^2-2x+y^2+2y=-2$</td>+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
Rad 410: Rad 691:
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
-Facit till alla delfrågor<br \>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">a)</td> <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">-a</td>
<td class="ntext">b)</td> <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">a</td>
</tr> </tr>
<tr align="left"> <tr align="left">
<td class="ntext">c)</td> <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">\sqrt{1-a^2}</td>
<td class="ntext">d)</td> <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">\sqrt{1-a^2}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">-a</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a </td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +==Övning 4.3:4==
 +<div class="ovning">
 +Antag att \,0 \leq v \leq \pi\, och att \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \,b\,
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin^2{v}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{v}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{2v}</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\cos{2v}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-Lösning till delfråga a)+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">+<td class="ntext" width="50%">1-b^2</td>
-<tr>+<td class="ntext">b)</td>
-<td align="center">+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}$</td>
-[[Bild:4_1_7a-1(2).gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
-<tr>+<tr align="left">
-<td align="center">+<td class="ntext">c)</td>
-[[Bild:4_1_7a-2(2).gif]]+<td class="ntext" width="50%">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>
-</td>+<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">2b^2-1</td>
</tr> </tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} </td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
 +</div>
 +==Övning 4.3:5==
 +<div class="ovning">
 +För en spetsig vinkel \,v\, i en triangel gäller att \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \,\cos{v}\, och \,\tan{v}\,.
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext" width="100%">\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad och \quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.3:6==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-Lösning till delfråga b)+<tr align="left" valign="top">
-<table width="100%">+<td class="ntext">a)</td>
-<tr>+<td class="ntext" width="100%">Bestäm \ \sin{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.</td>
-<td align="center">+
-[[Bild:4_1_7b.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">Bestäm \ \cos{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \,v\, ligger i den andra kvadranten.</td>
 +</tr>
 +<tr align="left" valign="top">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">Bestäm \ \sin{v}\ och \ \cos{v}\ om \ \tan{v}=3\ och \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad och \quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.3:7==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</DIV>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
-Lösning till delfråga c)+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">+<tr align="left">
-<tr>+<td class="ntext">a)</td>
-<td align="center">+<td class="ntext" width="100%">\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,, \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.</td>
-[[Bild:4_1_7c.gif]]+
-</td>+
</tr> </tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="100%">\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==Övning 4.3:8==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</DIV>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband
-Lösning till delfråga d)+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">+<tr align="left">
-<tr>+<td class="ntext>a)</td>
-<td align="center">+<td class="ntext width="100%">\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}</td>
-[[Bild:4_1_7d.gif]]+</tr>
-</td>+<tr align="left">
 +<td class="ntext>b)</td>
 +<td class="ntext width="100%">\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>c)</td>
 +<td class="ntext width="100%">\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>d)</td>
 +<td class="ntext width="100%">\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v</td>
</tr> </tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
 +du loggat in till kursen</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-==Övning 4.1:8==+==Övning 4.3:9==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?+<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext>
 +Visa "Feynmans likhet"
 +
\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
 +(Ledtr&aring;d: Anv&auml;nd formeln f&ouml;r dubbla vinkeln på \,\sin 160^\circ\,.)
 +</td>
 +</tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
 +du loggat in till kursen</td>
 +</tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +
 +==&Ouml;vning 4.4:1==
 +<div class="ovning">
 +För vilka vinklar \,v\,, där \,0 \leq v\leq 2\pi\,, gäller att
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">+<td class="ntext">a)</td>
-$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $ </td>+<td class="ntext" width="50%">\sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=1$</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=1$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=2$</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">g)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\displaystyle v=\frac{\pi}{2}</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">lösning saknas</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">g)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==&Ouml;vning 4.4:2==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+L&ouml;s ekvationen
-<table width="100%">+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr>+<tr align="left">
-<td align="center">+<td class="ntext">a)</td>
-[[Bild:4_1_8.gif]]+<td class="ntext" width="33%">\sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}</td>
-</td>+<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} </td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\sin{x}=0</td>
</tr> </tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} </td>
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2}</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">\cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
</div> </div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +x=n\pi</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
 +x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">e)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">f)</td>
 +<td class="ntext" width="33%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr
 +x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.$
 +</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-==Övning 4.1:9==+==&Ouml;vning 4.4:3==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?+Lös ekvationen
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ}</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{3x}=\sin{15^\circ}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+
-<div class=NavContent>+
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr><td height="5px"/></tr> 
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$</td>+<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi
 +}\right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi
 +}\right.$
 +</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr
 +x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ
 +}\right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">d)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr
 +x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ
 +}\right.$
 +</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
- 
</div> </div>
 +
 +==&Ouml;vning 4.4:4==
 +<div class="ovning">
 +Bestäm de vinklar \,v\, i intervallet \,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\, som uppfyller \ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,.
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div>+<table width="100%" cellpadding="10px">
-<div class=NavContent>+
-<table width="100%">+
<tr> <tr>
-<td align="center">+<td align="left">
-[[Bild:4_1_9.gif]]+v_1=50^\circ, \ \ v_2=120^\circ, \ \ v_3=230^\circ\ \ och \ \ v_4=300^\circ
</td> </td>
</tr> </tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>
-==Övning 4.1:10==+==&Ouml;vning 4.4:5==
<div class="ovning"> <div class="ovning">
-En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet \,x\, i figuren).+Lös ekvationen
- +
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr><td height="5px"/></tr>+<tr align="left">
-<tr align="center">+<td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="100%">BILD</td>+<td class="ntext" width="50%">\sin{3x}=\sin{x}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\tan{x}=\tan{4x}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\cos{5x}=\cos(x+\pi/5)</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
 +</div>
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}
 +}\right.$
 +</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr
 +x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3}
 +}\right.$
 +</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+==&Ouml;vning 4.4:6==
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>+Lös ekvationen
<table width="100%" cellspacing="10px"> <table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin 2x = -\sin x</td>
 +</tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 +
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
<tr align="left"> <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">$x=9$ dm</td>+<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$x=n\pi$
 +</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.$
 +</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr
 +x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr
 +}\right.$
 +</td>
</tr> </tr>
<tr><td height="5px"/></tr> <tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
- 
</div> </div>
 +
 +==&Ouml;vning 4.4:7==
 +<div class="ovning">
 +Lös ekvationen
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">2\sin^2{x}+\sin{x}=1</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">2\sin^2{x}-3\cos{x}=0</td>
 +</tr>
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">c)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\cos{3x}=\sin{4x}</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
</div> </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div>+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>+<tr align="left">
-<table width="100%">+<td class="ntext">a)</td>
-<tr>+<td class="ntext" width="50%">
-<td align="center">+$\left\{ \matrix{
-[[Bild:4_1_10-1(5).gif]]+x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
 +x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr
 +x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi
 +}\right.$
</td> </td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi </td>
</tr> </tr>
-<tr>+<tr align="left">
-<td align="center">+<td class="ntext">c)</td>
-[[Bild:4_1_10-2(5).gif]]+<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{ \matrix{
 +x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr
 +x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7}
 +}\right.$
</td> </td>
</tr> </tr>
-<tr>+<tr><td height="5px"/></tr>
-<td align="center">+</table>
-[[Bild:4_1_10-3(5).gif]]+</div>
-</td>+ 
 +==&Ouml;vning 4.4:8==
 +<div class="ovning">
 +Lös ekvationen
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x}</td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">\sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}</td>
</tr> </tr>
-<tr>+<tr align="left">
-<td align="center">+<td class="ntext">c)</td>
-[[Bild:4_1_10-4(5).gif]]+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}$</td>
 +</tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
 +</table>
 +</div>
 + 
 +<div class="svar">
 +<table width="100%" cellspacing="10px">
 +<tr align="left">
 +<td class="ntext">a)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi
 +}\right.$
</td> </td>
 +<td class="ntext">b)</td>
 +<td class="ntext" width="50%">x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi</td>
</tr> </tr>
-<tr>+<tr align="left">
-<td align="center">+<td class="ntext">c)</td>
-[[Bild:4_1_10-5(5).gif]]+<td class="ntext" width="50%">
 +$\left\{\eqalign{
 +x&=n\pi\cr
 +x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi
 +}\right.$
</td> </td>
</tr> </tr>
 +<tr><td height="5px"/></tr>
</table> </table>
-</div> 
</div> </div>

Nuvarande version

[redigera] Övning 4.1:1

Skriv i grader och radianer

a) \displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} b) \displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}
c) -\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv} d) \displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv}
a) 90^\circ\ och \ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} b) 135^\circ\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}
c) -240^\circ\ och \ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad} d) 2910^\circ\ och \ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}


[redigera] Övning 4.1:2

Omvandla till radianer

a) 45^\circ b) 135^\circ c) -63^\circ d) 270^\circ
a) \displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad} b) \displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad} c) -\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad} d) \displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}

[redigera] Övning 4.1:3

Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x

a) Bild:O4_1_3a.gif‎ b) Bild:O4_1_3b.gif‎ c) Bild:O4_1_3c.gif‎
a) x=50 b) x=5 c) x=15

[redigera] Övning 4.1:4

a) Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).
b) Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).
c) Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).
a) 5 \textrm{ l.e.}
b) \sqrt{61} \textrm{ l.e.}
c) (2,0)

[redigera] Övning 4.1:5

a) Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.
b) Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).
a) (x-1)^2+(y-2)^2=4
b) (x-2)^2+(y+1)^2=13

[redigera] Övning 4.1:6

Skissera följande cirklar

a) x^2+y^2=9 b) (x-1)^2+(y-2)^2=3
c) (3x-1)^2+(3y+7)^2=10
a) En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo. b) En cirkel med radie \sqrt 3 och medelpunkt i punkten (1, 2).
c) En cirkel med radie \frac{1}{3}\sqrt 10 och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).

[redigera] Övning 4.1:7

Skissera följande cirklar

a) x^2+2x+y^2-2y=1 b) x^2+y^2+4y=0
c) x^2-2x+y^2+6y=-3 d) x^2-2x+y^2+2y=-2
a) En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie \sqrt 3. b) En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2.
c) En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie \sqrt 7.
d) Endast punkten (1, -1).

[redigera] Övning 4.1:8

Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?

\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv}

[redigera] Övning 4.1:9

På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?

\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2

[redigera] Övning 4.1:10

En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet \,x\, i figuren).

Bild:Uppg_4_1_10.gif


x=9 dm

[redigera] Övning 4.2:1

Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x\, uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.

a) Bild:O4_2_1a.gif b) Bild:O4_2_1b.gif
c) Bild:O4_2_1c.gif d) Bild:O4_2_1d.gif
e) Bild:O4_2_1e.gif f) Bild:O4_2_1f.gif

Facit till alla delfrågor

a) x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62 b) x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2
c) x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7 d) x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0
e) x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2 f) x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9

[redigera] Övning 4.2:2

Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln \,v\, uppfyller.

a) Bild:O4_2_2a.gif b) Bild:O4_2_2b.gif
c) Bild:O4_2_2c.gif d) Bild:O4_2_2d.gif
e) Bild:O4_2_2e.gif f) Bild:O4_2_2f.gif
a) \tan v=\displaystyle\frac{2}{5} b) \sin v=\displaystyle\frac{7}{11}
c) \cos v=\displaystyle\frac{5}{7} d) \sin v=\displaystyle\frac{3}{5}
e) v=30 ^\circ f) \sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}

[redigera] Övning 4.2:3

Bestäm

a) \sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)} b) \cos{2\pi} c) \sin{9\pi}
d) \cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}} e) \sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}} f) \cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}
a) -1 b) 1 c) 0
d) 0 e) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} f) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

[redigera] Övning 4.2:4

Bestäm

a) \cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}} b) \cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}} c) \tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}
d) \tan{\pi} e) \tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}} f) \tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}
a) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} b) \displaystyle \frac{1}{2} c) -1
d) 0 e) \displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} f) \sqrt{3}

[redigera] Övning 4.2:5

Bestäm

a) \cos{135^\circ} b) \tan{225^\circ} c) \cos{330^\circ} d) \tan{495^\circ}
a) -\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} b) 1 c) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} d) -1

[redigera] Övning 4.2:6

Bestäm längden av sidan som är markerad med \,x\,.

Bild:O4_2_6.gif
x= \sqrt{3}-1

[redigera] Övning 4.2:7

För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?

Bild:O_4_2_7.gif
Älvens bredd är \ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1} m \approx 136{,}6 m.


[redigera] Övning 4.2:8

En stång med längd \,\ell\, är upphängd i två linor med längd \,a\, resp. \,b\, enligt figuren. Linorna bildar vinklar \,\alpha\, resp. \,\beta\, med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln \,\gamma\, som stången bildar med vertikalen.

Bild:O_4_2_8.gif
\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta

[redigera] Övning 4.2:9

Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)

Bild:O4_2_9.gif
Avståndet är \ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0 km.

[redigera] Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller

a) \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} b) \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} c) \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}
a) v = \displaystyle \frac{9\pi}{5} b) v = \displaystyle \frac{6\pi}{7} c) v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}

[redigera] Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar \,v\, mellan 0 och \,\pi\, som uppfyller

a) \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} b) \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}
a) v=\displaystyle \frac{\pi}{2} b) v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}

[redigera] Övning 4.3:3

Antag att \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \,a

a) \sin{(-v)} b) \sin{(\pi-v)}
c) \cos{v} d) \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}
e) \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} f) \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}
a) -a b) a
c) \sqrt{1-a^2} d) \sqrt{1-a^2}
e) -a f) \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a

[redigera] Övning 4.3:4

Antag att \,0 \leq v \leq \pi\, och att \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \,b\,

a) \sin^2{v} b) \sin{v}
c) \sin{2v} d) \cos{2v}
e) \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} f) \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}
a) 1-b^2 b) \sqrt{1-b^2}
c) 2b\sqrt{1-b^2} d) 2b^2-1
e) \sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} f) b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}

[redigera] Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel \,v\, i en triangel gäller att \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \,\cos{v}\, och \,\tan{v}\,.

\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad och \quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,.

[redigera] Övning 4.3:6

a) Bestäm \ \sin{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.
b) Bestäm \ \cos{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \,v\, ligger i den andra kvadranten.
c) Bestäm \ \sin{v}\ och \ \cos{v}\ om \ \tan{v}=3\ och \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.
a) \sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,.
b) \cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad och \quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,.
c) \sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad och \quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,.

[redigera] Övning 4.3:7

Bestäm \ \sin{(x+y)}\ om

a) \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,, \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.
b) \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.
a) \sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}
b) \sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}

[redigera] Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a) \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}
b) \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}
c) \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}
d) \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v
Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen

[redigera] Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet"

\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \,\sin 160^\circ\,.)

Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen

[redigera] Övning 4.4:1

För vilka vinklar \,v\,, där \,0 \leq v\leq 2\pi\,, gäller att

a) \sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2} b) \cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}
c) \sin{v}=1 d) \tan{v}=1
e) \cos{v}=2 f) \sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}
g) \tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}
a) \displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6} b) \displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}
c) \displaystyle v=\frac{\pi}{2} d) \displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,, \,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}
e) lösning saknas f) \displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}
g) \displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,, \,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}

[redigera] Övning 4.4:2

Lös ekvationen

a) \sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2} b) \cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} c) \sin{x}=0
d) \sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} e) \sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2} f) \cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}
a)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.

b)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.

c) x=n\pi
d)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.

e)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.

f)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.

[redigera] Övning 4.4:3

Lös ekvationen

a) \cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}} b) \sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}
c) \sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ} d) \sin{3x}=\sin{15^\circ}
a)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi }\right.

b)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi }\right.

c)

\left\{\eqalign{ x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ }\right.

d)

\left\{\eqalign{ x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ }\right.

[redigera] Övning 4.4:4

Bestäm de vinklar \,v\, i intervallet \,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\, som uppfyller \ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,.

v_1=50^\circ, \ \ v_2=120^\circ, \ \ v_3=230^\circ\ \ och \ \ v_4=300^\circ

[redigera] Övning 4.4:5

Lös ekvationen

a) \sin{3x}=\sin{x} b) \tan{x}=\tan{4x}
c) \cos{5x}=\cos(x+\pi/5)
a)

\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2} }\right.

b) x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}
c)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3} }\right.

[redigera] Övning 4.4:6

Lös ekvationen

a) \sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x b) \sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}
c) \sin 2x = -\sin x
a)

x=n\pi

b)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.

c)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr }\right.

[redigera] Övning 4.4:7

Lös ekvationen

a) 2\sin^2{x}+\sin{x}=1 b) 2\sin^2{x}-3\cos{x}=0
c) \cos{3x}=\sin{4x}
a)

\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi }\right.

b) x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi
c)

\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7} }\right.

[redigera] Övning 4.4:8

Lös ekvationen

a) \sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x} b) \sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}
c) \displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}
a)

\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi }\right.

b) x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi
c)

\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi }\right.

Personliga verktyg