Övn 4
Sommarmatte 1
Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.30 (redigera) KTH.SE:u1xsetv1 (Diskussion | bidrag) (→Övning 4.4:6) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (30 juni 2007 kl. 15.48) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1m1gion (Diskussion | bidrag) (→Övning 4.1:10 - (Lade till bild i uppgiften. /Johan T)) |
||
(11 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
Rad 187: | Rad 187: | ||
</div> | </div> | ||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
- | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
- | <div class=NavContent> | + | |
- | Facit till alla delfrågor<br \> | + | |
<table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
<tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
<td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
- | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo.</td> |
<td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
- | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\sqrt 3$ och medelpunkt i punkten (1, 2).</td> |
</tr> | </tr> | ||
<tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
<td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
- | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).</td> |
</tr> | </tr> | ||
<tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
</table> | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga a) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_1_6a.gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | |||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga b) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_1_6b.gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning c) </DIV> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga c) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_1_6c-1(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_1_6c-2(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 275: | Rad 223: | ||
</div> | </div> | ||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
- | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
- | <div class=NavContent> | + | |
- | Facit till alla delfrågor<br \> | + | |
<table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
<tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
<td class="ntext">a)</td> | <td class="ntext">a)</td> | ||
- | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie $\sqrt 3$.</td> |
<td class="ntext">b)</td> | <td class="ntext">b)</td> | ||
- | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2. </td> |
</tr> | </tr> | ||
<tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
<td class="ntext">c)</td> | <td class="ntext">c)</td> | ||
- | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$.</td> |
+ | </tr> | ||
+ | <tr align="left"> | ||
<td class="ntext">d)</td> | <td class="ntext">d)</td> | ||
- | <td class="ntext" width="50%">BILD</td> | + | <td class="ntext" width="50%">Endast punkten (1, -1). </td> |
</tr> | </tr> | ||
+ | |||
<tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
</table> | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga a) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_1_7a-1(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_1_7a-2(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | |||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga b) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_1_7b.gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning c) </DIV> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga c) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_1_7c.gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning d) </DIV> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga d) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_1_7d.gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 397: | Rad 282: | ||
<table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
<tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
- | <tr align="center"> | + | <tr> |
- | <td class="ntext" width="100%">BILD</td> | + | <td align="center"> |
- | </tr> | + | [[Bild:Uppg_4_1_10.gif]] |
- | <tr><td height="5px"/></tr> | + | </td> |
+ | </tr><tr><td height="5px"/></tr> | ||
</table> | </table> | ||
+ | |||
</div> | </div> | ||
Rad 984: | Rad 871: | ||
</div> | </div> | ||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
- | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | + | <table width="100%" cellspacing="10px"> |
- | <div class=NavContent> | + | <tr align="left"> |
- | Lösning till delfråga a) | + | <td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när |
- | <table width="100%"> | + | du loggat in till kursen</td> |
- | <tr> | + | |
- | <td align="center"> | + | |
- | [[Bild:4_3_8a.gif]] | + | |
- | </td> | + | |
</tr> | </tr> | ||
+ | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
</table> | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning b) </div> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga b) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_3_8b.gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga c) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_3_8c-1(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_3_8c-2(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning d) </div> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga a) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_3_8d.gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 1 058: | Rad 894: | ||
</div> | </div> | ||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
- | <div class=NavHead>Lösning </div> | + | <table width="100%" cellspacing="10px"> |
- | <div class=NavContent> | + | <tr align="left"> |
- | <table width="100%"> | + | <td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när |
- | <tr> | + | du loggat in till kursen</td> |
- | <td align="center"> | + | |
- | [[Bild:4_3_9-1(2).gif]] | + | |
- | </td> | + | |
- | </tr> | + | |
- | <tr> | + | |
- | <td align="center"> | + | |
- | [[Bild:4_3_9-2(2).gif]] | + | |
- | </td> | + | |
</tr> | </tr> | ||
+ | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
</table> | </table> | ||
- | </div> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 1 382: | Rad 1 210: | ||
</div> | </div> | ||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
- | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
- | <div class=NavContent> | + | |
- | Facit till alla delfrågor<br \> | + | |
<table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
<tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
Rad 1 410: | Rad 1 235: | ||
<tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
</table> | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga a) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_7a-1(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_7a-2(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga b) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_7b-1(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_7b-2(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga c) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_7c-1(3).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_7c-2(3).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_7c-3(3).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 1 493: | Rad 1 255: | ||
</div> | </div> | ||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | + | <div class="svar"> |
- | <div class=NavHead>Facit </div> | + | |
- | <div class=NavContent> | + | |
- | Facit till alla delfrågor<br \> | + | |
<table width="100%" cellspacing="10px"> | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
<tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
Rad 1 521: | Rad 1 280: | ||
<tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
</table> | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning a) </div> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga a) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_8a-1(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_8a-2(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning b) </DIV> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga b) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_8b.gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
- | </div> | ||
- | |||
- | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
- | <div class=NavHead>Lösning c) </div> | ||
- | <div class=NavContent> | ||
- | Lösning till delfråga c) | ||
- | <table width="100%"> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_8c-1(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | <tr> | ||
- | <td align="center"> | ||
- | [[Bild:4_4_8c-2(2).gif]] | ||
- | </td> | ||
- | </tr> | ||
- | </table> | ||
- | </div> | ||
</div> | </div> |
Nuvarande version
[redigera] Övning 4.1:1
Skriv i grader och radianer
a) | $\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $ | b) | $\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$ |
c) | $-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$ | d) | $\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $ |
a) | $90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $ | b) | $135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$ |
c) | $-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$ | d) | $2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$ |
[redigera] Övning 4.1:2
Omvandla till radianer
a) | $45^\circ$ | b) | $135^\circ$ | c) | $-63^\circ$ | d) | $270^\circ$ |
a) | $\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$ | b) | $\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$ | c) | $-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$ | d) | $\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$ |
[redigera] Övning 4.1:3
a) | $x=50$ | b) | $x=5$ | c) | $x=15$ |
[redigera] Övning 4.1:4
a) | Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4). |
b) | Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1). |
c) | Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1). |
a) | $5 \textrm{ l.e.}$ |
b) | $\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$ |
c) | $(2,0)$ |
[redigera] Övning 4.1:5
a) | Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2. |
b) | Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1). |
a) | $(x-1)^2+(y-2)^2=4$ |
b) | $(x-2)^2+(y+1)^2=13$ |
[redigera] Övning 4.1:6
Skissera följande cirklar
a) | $x^2+y^2=9$ | b) | $(x-1)^2+(y-2)^2=3$ |
c) | $(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$ | ||
a) | En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo. | b) | En cirkel med radie $\sqrt 3$ och medelpunkt i punkten (1, 2). |
c) | En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3). | ||
[redigera] Övning 4.1:7
Skissera följande cirklar
a) | $x^2+2x+y^2-2y=1$ | b) | $x^2+y^2+4y=0$ |
c) | $x^2-2x+y^2+6y=-3$ | d) | $x^2-2x+y^2+2y=-2$ |
a) | En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie $\sqrt 3$. | b) | En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2. |
c) | En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$. | ||
d) | Endast punkten (1, -1). | ||
[redigera] Övning 4.1:8
Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?
$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $ |
[redigera] Övning 4.1:9
På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?
$\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$ |
[redigera] Övning 4.1:10
En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).
$x=9$ dm |
[redigera] Övning 4.2:1
Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.
a) | b) | ||
c) | d) | ||
e) | f) | ||
Facit till alla delfrågor
a) | $x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$ | b) | $x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$ |
c) | $x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$ | d) | $x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$ |
e) | $x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$ | f) | $x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$ |
[redigera] Övning 4.2:2
a) | $\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$ | b) | $\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$ |
c) | $\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$ | d) | $\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$ |
e) | $v=30 ^\circ$ | f) | $\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$ |
[redigera] Övning 4.2:3
Bestäm
a) | $\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$ | b) | $\cos{2\pi}$ | c) | $\sin{9\pi}$ |
d) | $\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$ | e) | $\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ | f) | $\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$ |
a) | $-1$ | b) | $1$ | c) | $0$ |
d) | $0$ | e) | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ | f) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
[redigera] Övning 4.2:4
Bestäm
a) | $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$ | b) | $\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$ | c) | $\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$ |
d) | $\tan{\pi}$ | e) | $\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$ | f) | $\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$ |
a) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | b) | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | c) | $-1$ |
d) | $0$ | e) | $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ | f) | $\sqrt{3}$ |
[redigera] Övning 4.2:5
Bestäm
a) | $\cos{135^\circ}$ | b) | $\tan{225^\circ}$ | c) | $\cos{330^\circ}$ | d) | $\tan{495^\circ}$ |
a) | $-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$ | b) | $1$ | c) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | d) | $-1$ |
[redigera] Övning 4.2:6
$x= \sqrt{3}-1$ |
[redigera] Övning 4.2:7
För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m. |
[redigera] Övning 4.2:8
En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $ |
[redigera] Övning 4.2:9
Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km. |
[redigera] Övning 4.3:1
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
a) | $\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$ | b) | $\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$ | c) | $\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$ |
a) | $v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$ | b) | $v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$ | c) | $v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$ |
[redigera] Övning 4.3:2
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
a) | $\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$ | b) | $\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$ |
a) | $v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$ | b) | $v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$ |
[redigera] Övning 4.3:3
Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
a) | $\sin{(-v)}$ | b) | $\sin{(\pi-v)}$ |
c) | $\cos{v}$ | d) | $\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$ |
e) | $\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$ | f) | $\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$ |
a) | $-a$ | b) | $a$ |
c) | $\sqrt{1-a^2}$ | d) | $\sqrt{1-a^2}$ |
e) | $-a$ | f) | $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $ |
[redigera] Övning 4.3:4
Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
a) | $\sin^2{v}$ | b) | $\sin{v}$ |
c) | $\sin{2v}$ | d) | $\cos{2v}$ |
e) | $\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$ | f) | $\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$ |
a) | $1-b^2$ | b) | $\sqrt{1-b^2}$ |
c) | $2b\sqrt{1-b^2}$ | d) | $2b^2-1$ |
e) | $\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $ | f) | $b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ |
[redigera] Övning 4.3:5
För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$. |
[redigera] Övning 4.3:6
a) | Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$. |
b) | Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten. |
c) | Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$. |
a) | $\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$. |
b) | $\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$. |
c) | $\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$. |
[redigera] Övning 4.3:7
Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
a) | $\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten. |
b) | $\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten. |
a) | $\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$ |
b) | $\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$ |
[redigera] Övning 4.3:8
Visa följande trigonometriska samband
a) | $\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$ |
b) | $\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$ |
c) | $\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$ |
d) | $\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$ |
Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen |
[redigera] Övning 4.3:9
Visa "Feynmans likhet" $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$ (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.) |
Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen |
[redigera] Övning 4.4:1
För vilka vinklar $\,v\,$, där $\,0 \leq v\leq 2\pi\,$, gäller att
a) | $\sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$ | b) | $\cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$ |
c) | $\sin{v}=1$ | d) | $\tan{v}=1$ |
e) | $\cos{v}=2$ | f) | $\sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}$ |
g) | $\tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ | ||
a) | $\displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}$ | b) | $\displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}$ |
c) | $\displaystyle v=\frac{\pi}{2}$ | d) | $\displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}$ |
e) | lösning saknas | f) | $\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}$ |
g) | $\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}$ | ||
[redigera] Övning 4.4:2
Lös ekvationen
a) | $\sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ | b) | $\cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} $ | c) | $\sin{x}=0$ |
d) | $\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $ | e) | $\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2}$ | f) | $\cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$ |
a) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.$ |
b) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.$ |
c) | $x=n\pi$ |
d) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.$ |
e) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.$ |
f) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.$ |
[redigera] Övning 4.4:3
Lös ekvationen
a) | $\cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$ | b) | $\sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$ |
c) | $\sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ}$ | d) | $\sin{3x}=\sin{15^\circ}$ |
a) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi }\right.$ |
b) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi }\right.$ |
c) |
$\left\{\eqalign{ x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ }\right.$ |
d) |
$\left\{\eqalign{ x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ }\right.$ |
[redigera] Övning 4.4:4
Bestäm de vinklar $\,v\,$ i intervallet $\,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\,$ som uppfyller $\ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,$.
$v_1=50^\circ$, $\ \ v_2=120^\circ$, $\ \ v_3=230^\circ\ \ $ och $\ \ v_4=300^\circ$ |
[redigera] Övning 4.4:5
Lös ekvationen
a) | $\sin{3x}=\sin{x}$ | b) | $\tan{x}=\tan{4x}$ |
c) | $\cos{5x}=\cos(x+\pi/5)$ | ||
a) |
$\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2} }\right.$ |
b) | $x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}$ |
c) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3} }\right.$ |
||
[redigera] Övning 4.4:6
Lös ekvationen
a) | $\sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x$ | b) | $\sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}$ |
c) | $\sin 2x = -\sin x$ | ||
a) |
$x=n\pi$ |
b) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.$ |
c) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr }\right.$ |
||
[redigera] Övning 4.4:7
Lös ekvationen
a) | $2\sin^2{x}+\sin{x}=1$ | b) | $2\sin^2{x}-3\cos{x}=0$ |
c) | $\cos{3x}=\sin{4x}$ | ||
a) |
$\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi }\right.$ |
b) | $x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi $ |
c) |
$\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7} }\right.$ |
||
[redigera] Övning 4.4:8
Lös ekvationen
a) | $\sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x}$ | b) | $\sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}$ |
c) | $\displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}$ | ||
a) |
$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi }\right.$ |
b) | $x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi$ |
c) |
$\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi }\right.$ |
||