2.3. Andragradsuttryck
Sommarmatte 1
Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.27 (redigera) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (→Parabler) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.34 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (→Parabler) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 193: | Rad 193: | ||
<div class="exempel"> | <div class="exempel"> | ||
'''Exempel 6''' | '''Exempel 6''' | ||
- | [[Bild:t_3_1_5b.gif|right]] | + | |
Skissera parabeln \ y=x^2+2x+2\,. | Skissera parabeln \ y=x^2+2x+2\,. | ||
<br> | <br> | ||
<br> | <br> | ||
+ | |||
Om högerledet kvadratkompletteras | Om högerledet kvadratkompletteras | ||
x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1 | x^2 +2x+2 = (x+1)^2 -1^2 +2 = (x+1)^2+1 | ||
så ser vi från det resulterande uttrycket \,y= (x+1)^2+1\, att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i x-led jämfört med \,y=x^2\, (eftersom det står \,(x+1)^2\, istället för \,x^2\,) och en enhet uppåt i y-led. | så ser vi från det resulterande uttrycket \,y= (x+1)^2+1\, att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i x-led jämfört med \,y=x^2\, (eftersom det står \,(x+1)^2\, istället för \,x^2\,) och en enhet uppåt i y-led. | ||
- | + | </td> | |
- | <br><br><br><br><br><br> | + | <td width="3%"></td> |
+ | <td width="47%">[[Bild:t_3_1_5b.gif]]</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
</div> | </div> | ||
Rad 214: | Rad 218: | ||
En punkt ligger på x-axeln om dess y-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har y=0 har en x-koordinat som uppfyller ekvationen | En punkt ligger på x-axeln om dess y-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har y=0 har en x-koordinat som uppfyller ekvationen | ||
x^2-4x+3=0\mbox{.} | x^2-4x+3=0\mbox{.} | ||
+ | |||
+ | <table | ||
[[Bild:t_3_1_6b.gif|right]] | [[Bild:t_3_1_6b.gif|right]] | ||
Vänsterledet kvadratkompletteras | Vänsterledet kvadratkompletteras |
Versionen från 17 juli 2007 kl. 07.34
</tr> </table>
Exempel 7
Bestäm var parabeln \,y=x^2-4x+3\, skär x-axeln.
En punkt ligger på x-axeln om dess y-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har y=0 har en x-koordinat som uppfyller ekvationen
x^2-4x+3=0\mbox{.}
<table
Vänsterledet kvadratkompletteras
- x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad d.v.s. \quad x=2+1=3\,,
- x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad d.v.s. \quad x=2-1=1\,.
Parabeln skär x-axeln i punkterna \,(1,0)\, och \,(3,0)\,.
Exempel 8
Bestäm det minsta värde som uttrycket \,x^2+8x+19\, antar.
Vi kvadratkompletterar
x^2 +8x+19=(x+4)^2 -4^2 +19 = (x+4)^2 +3
och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten \,(x+4)^2\, alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad x är.
I figuren till höger ser vi att hela parabeln \,y=x^2+8x+19\, ligger ovanför x-axeln och har ett minimumvärde 3 när \,x=-4\,.
Tänk på att:
Lägg ner mycket tid på algebra! Algebra är matematikens alfabet. När du väl har förstått algebra, kommer din förståelse av statistik, yta, volym och geometri vara mycket större.