1.3. Potenser
Sommarmatte 1
Versionen från 16 juli 2007 kl. 12.46 (redigera) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (→Potenslagar) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (17 juli 2007 kl. 09.08) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (→Jämförelse av potenser) |
||
(3 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
Rad 332: | Rad 332: | ||
<br/> | <br/> | ||
<br/> | <br/> | ||
- | :8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4 <br><br>= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9 | + | $8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4 $<br><br>$= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$ |
<br/> | <br/> | ||
<br/> | <br/> | ||
Rad 346: | Rad 346: | ||
<br/> | <br/> | ||
<br/> | <br/> | ||
- | :$\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$ | + | $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} \; = \; \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} \; = \; \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} $<br\> |
- | <br/> | + | $\displaystyle \; = \; \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)} \; = \; \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} \displaystyle \; = \; \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } $<br\> |
- | :$\displaystyle\qquad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8$ | + | $\; = \; 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} \; = \; 3^1 \cdot 2^8\; = \; 3\cdot 2^8$ |
<br/> | <br/> | ||
</ol> | </ol> | ||
Rad 492: | Rad 492: | ||
:: 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,} | :: 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,} | ||
- | ::$ 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}$ | + | ::$ 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 = $ |
+ | ::$ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}$ | ||
Detta betyder att | Detta betyder att | ||
Rad 551: | Rad 552: | ||
</div> | </div> | ||
+ | |||
+ | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | ||
+ | <br><br><br><br><br><br><br><br><br> |
Nuvarande version
Innehåll:
Lärandemål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
|
[redigera] Teori[redigera] PotenserVi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.ex.
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}
4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}
Exempel 1
Exempel 2
Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser: \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m
[redigera] PotenslagarMed definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8
vilket generellt kan skrivas a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}
Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas
\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} =
2^{7-3}=2^4\mbox{.}
Den allmänna regeln blir \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}
När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare en användbar räkneregel. Vi ser att
(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm gånger}\ 2\ {\rm st}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{.}
och
(5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{2\cdot3}=5^6\mbox{.}
(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.}
Exempel 3
Exempel 4
Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:
\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{samtidigt som}\quad
\frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}
a^0 = 1\mbox{.}
Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex.
\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{och}\quad
\frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} =
\frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa exponenten betyda att
3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}
Exempel 5
Om basen i ett potensuttryck är -1 så blir uttrycket alternerande -1 eller +1 beroende på exponentens värde
\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr
(-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr
(-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr
(-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = 1\cr
\quad\hbox{o.s.v.}}
Regeln är att (-1)^n är lika med -1 om n är udda och lika med +1 om n är jämn.
Exempel 6
[redigera] Byte av basMan bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis 4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots
9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots
25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots
Men även
\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots
o.s.v. Exempel 7
[redigera] Rationell exponentVad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan? Eftersom exempelvis 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2
så måste 2^{1/2} vara samma sak som \,\sqrt{2}\, i och med att \,\sqrt2\, definieras som det tal som uppfyller \,\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2\, .
Allmänt kan vi göra definitionen a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}
Vi måste då förutsätta att a\ge 0, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal. Man ser också att exempelvis 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5
som innebär att \,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\, vilket kan generaliseras till att a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}
Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) får vi att, för alla a\ge0 gäller att a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}
eller a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.}
Exempel 8
[redigera] Jämförelse av potenserOm man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten. Om basen i en potens är större är än 1 så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan 0 och 1 så blir potensen mindre istället när exponenten växer. Exempel 9
Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större. Exempel 10
Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra storleksförhållandet. Vill man t.ex. jämföra 125^2 med 36^3 kan man göra omskrivningarna
125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{och}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
varefter man kan konstatera att 36^3 > 125^2. Exempel 11
Tänk på att: Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skild från 0.
|