Exempel 1

1. x^2 = 4 \quad har rötterna \,x=\sqrt{4} = 2\, och \,x=-\sqrt{4}= -2\,.
   
   
2. 2x^2=18 \quad skrivs om till \,x^2=9\, och har rötterna \,x=\sqrt9 = 3\, och \,x=-\sqrt9 = -3\,.
   
   
3. 3x^2-15=0 \quad kan skrivas som \,x^2=5\, och har rötterna \,x=\sqrt5 \approx 2{,}236\, och \,x=-\sqrt5 \approx -2{,}236\,.
   
   
4. 9x^2+25=0\quad saknar lösningar eftersom vänsterledet kommer alltid att vara större än eller lika med 25 oavsett hur x väljs (kvadraten x^2 är alltid större än eller lika med noll).

Exempel 2

1. Lös ekvationen \ (x-1)^2 = 16\,.
   
   Genom att betrakta \,x-1\, som obekant ger rotutdragning att ekvationen har två lösningar:
   • x-1 =\sqrt{16} = 4\, vilket ger att \,x=1+4=5\,,
   • x-1 = -\sqrt{16} = -4\, vilket ger att \,x=1-4=-3\,.
     
     
2. Lös ekvationen \ 2(x+1)^2 -8=0\,.
   
   Flytta över termen 8 till högerledet och dela båda led med 2,
   (x+1)^2=4 \; \mbox{.}
   Rotutdragning ger att:
   • x+1 =\sqrt{4} = 2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1+2=1
   • x+1 = -\sqrt{4} = -2, \quad \mbox{d.v.s.} \quad x=-1-2=-3
     
     

Exempel 3

1. Lös ekvationen \ x^2 +2x -8=0\,.
   
   De två termerna \,x^2+2x\, kvadratkompletteras (använd \,a=1\, i formeln)
   \underline{\vphantom{(}x^2+2x} -8 = \underline{(x+1)^2-1^2} -8 = (x+1)^2-9,
   där understrykningen visar vilka termer som är inblandade i kvadratkompletteringen. Ekvationen kan därför skrivas som
   (x+1)^2 -9 = 0,
   vilken vi löser med rotutdragning
   • x+1 =\sqrt{9} = 3\, och därmed \,x=-1+3=2\,,
   • x+1 =-\sqrt{9} = -3\, och därmed \,x=-1-3=-4\,.
     
     
2. Lös ekvationen \ 2x^2 -2x - \frac{3}{2} = 0\,.
   
   Dividera båda led med 2
   x^2-x-\textstyle\frac{3}{4}=0\mbox{.}
   Vänsterledet kvadratkompletteras (använd a=-\frac{1}{2})
   \textstyle\underline{\vphantom{\bigl(\frac{3}{4}}x^2-x} -\frac{3}{4} = \underline{\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(-\frac{1}{2}\bigr)^2} -\frac{3}{4}= \bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 -1
   och detta ger oss ekvationen
   \textstyle\bigl(x-\frac{1}{2}\bigr)^2 - 1=0\,\mbox{.}
   Rotutdragning ger att
   • x-\frac{1}{2} =\sqrt{1} = 1, \quad d.v.s. \quad x=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}\,,
   • x-\frac{1}{2}= -\sqrt{1} = -1, \quad d.v.s. \quad x=\frac{1}{2}-1= -\frac{1}{2}\,.

Exempel 4

1. Lös ekvationen \ x^2-4x=0\,.
   
   I vänsterledet kan vi bryta ut ett x

   x(x-4)=0\,.

   Ekvationens vänsterled blir noll när någon av faktorerna är noll, vilket ger oss två lösningar
   • x =0,\quad eller
   • x-4=0\quad d.v.s. \quad x=4\,.

Exempel 5

1. Skissera parabeln \ y=x^2-2\,.
   
   Jämfört med parabeln \,y=x^2\, har punkter på parabeln (\,y=x^2-2\,) y-värden som är två enheter mindre, d.v.s. parabeln är förskjuten två enheter neråt i y-led.
   
   

2. Skissera parabeln \ y=(x-2)^2\,.
   
   På parabeln \,y=(x-2)^2\, behöver vi välja x-värden två enheter större jämfört med parabeln \,y=x^2\, för att få motsvarande y-värden. Alltså är parabeln \,y=(x-2)^2\, förskjuten två enheter åt höger jämfört med \,y=x^2\,.
   
   

3. Skissera parabeln \,y=2x^2\,.
   
   Varje punkt på parabeln \,y=2x^2\, har dubbelt så stort y-värde än vad motsvarande punkt med samma x-värde har på parabeln \,y=x^2\,. Parabeln \,y=2x^2\, är expanderad med faktorn 2 i y-led jämfört med \,y=x^2\,.

Exempel 6

Skissera parabeln \ y=x^2+2x+2\,.

Om högerledet kvadratkompletteras

så ser vi från det resulterande uttrycket \,y= (x+1)^2+1\, att parabeln är förskjuten en enhet åt vänster i x-led jämfört med \,y=x^2\, (eftersom det står \,(x+1)^2\, istället för \,x^2\,) och en enhet uppåt i y-led.

Exempel 7

Bestäm var parabeln \,y=x^2-4x+3\, skär x-axeln.

En punkt ligger på x-axeln om dess y-koordinat är noll, och de punkter på parabeln som har y=0 har en x-koordinat som uppfyller ekvationen

Vänsterledet kvadratkompletteras

och detta ger ekvationen Efter rotutdragning får vi lösningarna

• x-2 =\sqrt{1} = 1,\quad d.v.s. \quad x=2+1=3\,,
• x-2 = -\sqrt{1} = -1,\quad d.v.s. \quad x=2-1=1\,.

Parabeln skär x-axeln i punkterna \,(1,0)\, och \,(3,0)\,.

Exempel 8

Bestäm det minsta värde som uttrycket \,x^2+8x+19\, antar.

Vi kvadratkompletterar

och då ser vi att uttrycket blir som minst lika med 3 eftersom kvadraten \,(x+4)^2\, alltid är större än eller lika med 0 oavsett vad x är.

I figuren till höger ser vi att hela parabeln \,y=x^2+8x+19\, ligger ovanför x-axeln och har ett minimumvärde 3 när \,x=-4\,.