Exempel 1

Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation:

$$x = 2,$$

Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi

$$x^2 = 4 $$

Denna nya ekvation har två lösningar $x = 2$ eller $x = -2$. Lösningen $x = 2$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $x = -2$ är en lösning dom uppstod i den kvaderade ekvationen.

Exempel 2

Lös ekvationen:$2\sqrt{x - 1} = 1 - x$

Lösning:

Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med två, men vi kan också låta tvåan stå kvar. Den stör oss inte. Om vi kvadrerar ekvationen som den är får vi

$4(x - 1) = (1 - x)^2 $

och utvecklar vi kvadraten fås

$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2$

Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller allmänna lösningsformeln. Lösningarna blir:

$x = 3 \pm 2, $ dvs $ x = 1 $ eller $ x = 5. $

Eftersom vi kvaderar ekvationen finns risk att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $x=1$ och $x=5$ också är lösningarna i den ursprungliga rotekvationen:

Testa $x = 1 \;$

$x = 1 \;$

medför

$\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 \; $

och

$\mbox{HL} = 1 - 1 = 0. $

$\mbox{VL} = \mbox{HL.}$ Ekvationen är uppfylld!

Testa $x = 5 \;$

$x = 5 \; $ medför

$ \mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 \; $

och

$ \mbox{HL} = 1 - 5 = -4.$

$\mbox{VL} \ne \mbox{HL.}$ Ekvationen är inte uppfylld!

Ekvationen har alltså bara en lösning, $x = 1 \; \mbox{.}$

De två funktionerna visas i kurvan nedan.