1.3 Potenser
Sommarmatte 1
Versionen från 20 april 2007 kl. 12.27 (redigera) Safia (Diskussion | bidrag) (Ny sida: <table><tr><td width="600"> =x.x styckerubrik= <div class="inforuta"> '''Innehåll:''' * Positiv heltalsexponent * Negativ heltalsexponent * Rationell exponent * Potenslagar </div> <div ...) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 20 april 2007 kl. 12.29 (redigera) (ogör) Safia (Diskussion | bidrag) (→Byte av bas) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 416: | Rad 416: | ||
\displaystyle\frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = | \displaystyle\frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = | ||
\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = | \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = | ||
- | \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)} = | + | \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$<br><br>$ = |
\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = | \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = | ||
\displaystyle\frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = | \displaystyle\frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = |
Versionen från 20 april 2007 kl. 12.29
x.x styckerubrikInnehåll:
Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
||
TeoriPotenserVi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.ex.
Exempel 1
Exempel 2
Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser: \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m
PotenslagarMed definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 5 \mbox{ st }} = \underbrace{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ (3 + 5) \mbox{st}} = 2^{3+5} = 2^8 vilket generellt kan skrivas a^m \cdot a^n = a^{m+n}
Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas: \displaystyle\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4 Den allmänna regeln blir \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}
När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare en användbar räkneregel. Vi ser att
och (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} = \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,\cdot\,(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 2 \mbox{ gånger } 3 \mbox{ st }}=5^{2\cdot3}=5^6
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
Exempel 3
Exempel 4
Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:
a^0 = 1
Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex.
\displaystyle\frac{3^4}{3^6} = \displaystyle\frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3^2}
Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}
Exempel 5
Exempel 6
Byte av basMan bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis
Exempel 7
Råd för inläsning Tänk på att: text Lästips stående Länktips stående
|
|