1.3 Potenser
Sommarmatte 1
Versionen från 20 april 2007 kl. 12.31 (redigera) Safia (Diskussion | bidrag) (→Byte av bas) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 20 april 2007 kl. 13.09 (redigera) (ogör) Safia (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 427: | Rad 427: | ||
</div> | </div> | ||
+ | ==Rationell exponent== | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande | ||
+ | de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan? | ||
+ | |||
+ | Eftersom exempelvis | ||
+ | |||
+ | $\quad 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$ , så måste $ 2^{1/2} $ vara samma sak som $ \sqrt{2} $ eftersom | ||
+ | |||
+ | $\quad \sqrt2 | ||
+ | $ är det tal som uppfyller | ||
+ | $\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$ | ||
+ | |||
+ | Allmänt kan vi göra definitionen: | ||
+ | |||
+ | $ | ||
+ | a^{1/2} = \sqrt{a} | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | Vi ser då att vi måste förutsätta att $a\ge 0$, eftersom t.ex. | ||
+ | |||
+ | $ | ||
+ | (-2)^{1/2} = \sqrt{-2} | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | inte är möjligt. Man ser också att exempelvis | ||
+ | |||
+ | $ | ||
+ | 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = | ||
+ | 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5 | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | som innebär att | ||
+ | |||
+ | $ 5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5} $, vilket kan generaliseras till att | ||
+ | |||
+ | <div class="regel"> | ||
+ | $$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}$$ | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ får vi att, för alla $a\ge0$ gäller att | ||
+ | |||
+ | <div class="regel"> | ||
+ | $$ | ||
+ | a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$ | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | eller | ||
+ | |||
+ | <div class="regel"> | ||
+ | $$ | ||
+ | a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a})^m $$ | ||
+ | </div> | ||
+ | |||
+ | <div class="exempel"> | ||
+ | '''Exempel 8''' | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <ol type="a"> | ||
+ | <li>$ | ||
+ | 27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$ | ||
+ | $ | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <li>$ | ||
+ | 1000^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{1000^{1/3}}= \displaystyle \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \displaystyle \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} =\displaystyle\frac{1}{10^1} = \displaystyle\frac{1}{10} | ||
+ | $ | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <li>$ | ||
+ | \displaystyle\frac{1}{\sqrt{8}}= \displaystyle\frac{1}{8^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{(2^3)^{1/2}} | ||
+ | = \displaystyle\frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2} | ||
+ | $ | ||
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <li>$ | ||
+ | \displaystyle\frac{1}{16^{-1/3}}= \displaystyle\frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3} | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | </ol> | ||
+ | </div> | ||
<div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> |
Versionen från 20 april 2007 kl. 13.09
x.x styckerubrikInnehåll:
Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
||
TeoriPotenserVi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.ex.
Exempel 1
Exempel 2
Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser: $$\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m$$ PotenslagarMed definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att $2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 5 \mbox{ st }} = \underbrace{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ (3 + 5) \mbox{st}} = 2^{3+5} = 2^8$ vilket generellt kan skrivas $$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas: $ \displaystyle\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4 $ Den allmänna regeln blir $$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$$ När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare en användbar räkneregel. Vi ser att
och $ (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} = \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,\cdot\,(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 2 \mbox{ gånger } 3 \mbox{ st }}=5^{2\cdot3}=5^6 $
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} $$ Exempel 3
Exempel 4
Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:
$$ a^0 = 1 $$ Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex.
$ \displaystyle\frac{3^4}{3^6} = \displaystyle\frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3^2} $
Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att $$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}$$ Exempel 5
Exempel 6
Byte av basMan bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis
Exempel 7
Rationell exponentVad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan? Eftersom exempelvis $\quad 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$ , så måste $ 2^{1/2} $ vara samma sak som $ \sqrt{2} $ eftersom $\quad \sqrt2 $ är det tal som uppfyller $\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$ Allmänt kan vi göra definitionen: $ a^{1/2} = \sqrt{a} $ Vi ser då att vi måste förutsätta att $a\ge 0$, eftersom t.ex. $ (-2)^{1/2} = \sqrt{-2} $ inte är möjligt. Man ser också att exempelvis $ 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5 $ som innebär att $ 5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5} $, vilket kan generaliseras till att $$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}$$ Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ får vi att, för alla $a\ge0$ gäller att $$ a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$ eller $$ a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a})^m $$ Exempel 8
Råd för inläsning Tänk på att: text Lästips stående Länktips stående
|
|