1.3 Potenser
Sommarmatte 1
Versionen från 20 april 2007 kl. 13.09 (redigera) Safia (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 20 april 2007 kl. 13.12 (redigera) (ogör) Safia (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
Rad 509: | Rad 509: | ||
</ol> | </ol> | ||
</div> | </div> | ||
+ | |||
+ | ==Jämförelse av potenser== | ||
+ | |||
+ | Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, | ||
+ | kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten. | ||
+ | |||
+ | Om basen i en potens är större är än 1 så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan 0 och 1 så blir potensen mindre istället när exponenten växer. | ||
+ | |||
+ | {| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center" | ||
+ | !width= "1000" STYLE="background:#efefef;" |EXEMPEL 9 | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | a) \quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad eftersom basen 3 är större än 1 och den första exponenten 5/6 är större än den andra exponenten 3/4. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | b) \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad eftersom basen är större än 1 och exponenterna uppfyller -3/4 > - 5/6. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | c) \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad eftersom basen 0{,}3 är mellan 0 och 1 och 5 > 4. | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ, Då blir potensen mindre när basen blir större. | ||
+ | |||
+ | {| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center" | ||
+ | !width= "1000" STYLE="background:#efefef;" |EXEMPEL 10 | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | a) \quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad eftersom basen 5 är större än basen 4 och båda potenserna har samma positiva exponenten 3/2. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | b) \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad eftersom baserna uppfyller 2<3 och potenserna har den negativa exponenten -5/3. | ||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra | ||
+ | storleksförhållandet. Vill man t.ex. jämföra | ||
+ | |||
+ | 125^2 \mbox{ med } 36^3 | ||
+ | |||
+ | kan man göra omskrivningarna | ||
+ | |||
+ | $ | ||
+ | 125^2 = (5^3)^2 = 5^6 \mbox{ och } 36^3 = (6^2)^3 = 6^6 | ||
+ | $ | ||
+ | |||
+ | varefter man kan konstatera att | ||
+ | |||
+ | 36^3 > 125^2. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center" | ||
+ | !width= "1000" STYLE="background:#efefef;"|EXEMPEL 11 | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | Avgör vilket tal som är störst av | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | a) 25^{1/3} och 5^{3/4} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Lösning:''' | ||
+ | |||
+ | Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen 5 genom att 25= 5\cdot 5= 5^2. Därför är | ||
+ | |||
+ | ::25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3} | ||
+ | |||
+ | och då ser vi att | ||
+ | |||
+ | ::5^{3/4} > 25^{1/3} | ||
+ | |||
+ | eftersom \displaystyle\frac{3}{4} > \displaystyle\frac{2}{3} och basen 5 är större än 1. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | b) (\sqrt{8})^5 och 128 | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Lösning:''' | ||
+ | |||
+ | Både 8 och 128 kan skrivas som potenser av 2 | ||
+ | |||
+ | :: 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 | ||
+ | |||
+ | :: 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7 | ||
+ | |||
+ | Detta betyder att | ||
+ | |||
+ | ::(\sqrt{8})^5 = (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot frac{5}{2}}= 2^{15/2} | ||
+ | |||
+ | ::128 = 2^7 = 2^{14/2} | ||
+ | |||
+ | och därför är | ||
+ | |||
+ | ::(\sqrt{8})^5 > 128 | ||
+ | |||
+ | i och med att \displaystyle\frac{15}{2} > \displaystyle\frac{14}{2} och basen 2 är större än 1. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | c) (8^2)^{1/5} och (\sqrt{27})^{4/5} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Lösning:''' | ||
+ | |||
+ | Eftersom 8=2^3 och 27=3^3 aå kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av 2 respektive 3, | ||
+ | |||
+ | ::(8^2)^{1/5} = (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5} | ||
+ | |||
+ | ::(\sqrt{27})^{4/5} = (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5} | ||
+ | |||
+ | Nu ser vi att | ||
+ | |||
+ | ::(\sqrt{27})^{4/5} > (8^2)^{1/5} | ||
+ | |||
+ | eftersom 3>2 och exponenten \frac{6}{5} är positiv. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | d) 3^{1/3} och | ||
+ | 2^{1/2} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Lösning:''' | ||
+ | |||
+ | Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare | ||
+ | |||
+ | :: \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad och \quad \frac{1}{2} = \frac{3}{6} . | ||
+ | |||
+ | Då har vi att | ||
+ | |||
+ | ::3^{1/3} = 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6} | ||
+ | |||
+ | ::2^{1/2} = 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6} | ||
+ | |||
+ | och vi ser att | ||
+ | |||
+ | :: 3^{1/3} > 2^{1/2} | ||
+ | |||
+ | eftersom 9>8 och exponenten 1/6 är positiv. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | {| BORDER="1" CELLPADDING="5" CELLSPACING="0" ALIGN="center" WIDTH="1000" | ||
+ | |- | ||
+ | |'''Råd för inläsning''' | ||
+ | |||
+ | '''Tänk på att:''' | ||
+ | |||
+ | Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skiljt från 0. | ||
+ | |||
+ | Rotlagarna är egentligen specialfall av potenslagarna. | ||
+ | Exempelvis: \sqrt{x}=x^{1/2} | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Lästips''' | ||
+ | |||
+ | för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring | ||
+ | |||
+ | [http://en.wikipedia.org/wiki/Exponent Läs mer om potenser på engelska Wikipedia] | ||
+ | |||
+ | [http://primes.utm.edu/ Vilket är det största primtalet? Läs mer på The Prime Pages] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Länktips''' | ||
+ | |||
+ | [http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Här kan du träna på potenslagarna] | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | © Copyright 2006, KTH Matematik | ||
+ | |||
<div class="inforuta"> | <div class="inforuta"> |
Versionen från 20 april 2007 kl. 13.12
x.x styckerubrikInnehåll:
Läromål: Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
|
||||||||
TeoriPotenserVi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.ex.
Exempel 1
Exempel 2
Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser: \left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m
PotenslagarMed definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att 2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 5 \mbox{ st }} = \underbrace{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ (3 + 5) \mbox{st}} = 2^{3+5} = 2^8 vilket generellt kan skrivas a^m \cdot a^n = a^{m+n}
Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas: \displaystyle\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4 Den allmänna regeln blir \displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}
När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare en användbar räkneregel. Vi ser att
och (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} = \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,\cdot\,(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 2 \mbox{ gånger } 3 \mbox{ st }}=5^{2\cdot3}=5^6
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
Exempel 3
Exempel 4
Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:
a^0 = 1
Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex.
\displaystyle\frac{3^4}{3^6} = \displaystyle\frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3^2}
Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}
Exempel 5
Exempel 6
Byte av basMan bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis
Exempel 7
Rationell exponentVad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan? Eftersom exempelvis \quad 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2 , så måste 2^{1/2} vara samma sak som \sqrt{2} eftersom \quad \sqrt2 är det tal som uppfyller \sqrt2\cdot\sqrt2 = 2 Allmänt kan vi göra definitionen: a^{1/2} = \sqrt{a} Vi ser då att vi måste förutsätta att a\ge 0, eftersom t.ex. (-2)^{1/2} = \sqrt{-2} inte är möjligt. Man ser också att exempelvis 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5 som innebär att 5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5} , vilket kan generaliseras till att a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}
Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna ((a^m)^n=a^{m\cdot n}) får vi att, för alla a\ge0 gäller att
a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}
eller
a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a})^m
Exempel 8
Jämförelse av potenserOm man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten. Om basen i en potens är större är än 1 så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan 0 och 1 så blir potensen mindre istället när exponenten växer.
125^2 \mbox{ med } 36^3 kan man göra omskrivningarna 125^2 = (5^3)^2 = 5^6 \mbox{ och } 36^3 = (6^2)^3 = 6^6 varefter man kan konstatera att 36^3 > 125^2.
© Copyright 2006, KTH Matematik
Råd för inläsning Tänk på att: text Lästips stående Länktips stående
|
|