Exempel 1

Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation

$$x = 2\mbox{.}$$

Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi

$$x^2 = 4\mbox{.}$$

Denna nya ekvation har två lösningar $\,x = 2\,$ eller $\,x = -2\,$. Lösningen $\,x = 2\,$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $\,x = -2\,$ är en lösning som uppstod i den kvadrerade ekvationen.

Exempel 2

Lös ekvationen $\ 2\sqrt{x - 1} = 1 - x\,$.

Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med 2, men vi kan också låta tvåan stå kvar. Om vi kvadrerar ekvationen som den är får vi $$4(x - 1) = (1 - x)^2$$ och utvecklar vi kvadraten fås $$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2\,\mbox{.}$$ Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas $$x^2 - 6x + 5 = 0\,\mbox{.}$$

Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller med den allmänna lösningsformeln. Lösningarna blir $\,x = 3 \pm 2\,$, dvs. $\,x = 1\,$ eller $\,x = 5\,$.

Eftersom vi kvadrerar ekvationen finns risken att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $\,x=1\,$ och $\,x=5\,$ också är lösningarna till den ursprungliga rotekvationen:

• $x = 1\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 1 = 0\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} = \mbox{HL}\,$ och ekvationen är uppfylld!
• $x = 5\,$ medför att $\,\mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4\,$ och $\,\mbox{HL} = 1 - 5 = -4\,$. Alltså är $\,\mbox{VL} \ne \mbox{HL}$ och ekvationen är inte uppfylld!

Ekvationen har därmed bara en lösning $\,x = 1 \,$.