Övn 4

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Nuvarande version

[redigera] Övning 4.1:1

Skriv i grader och radianer

a)	$\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $	b)	$\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$
c)	$-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$	d)	$\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $

a)	$90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $	b)	$135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$
c)	$-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$	d)	$2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$

[redigera] Övning 4.1:2

Omvandla till radianer

a)	$45^\circ$	b)	$135^\circ$	c)	$-63^\circ$	d)	$270^\circ$

a)	$\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$	b)	$\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$	c)	$-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$	d)	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$

[redigera] Övning 4.1:3

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x$

a)		b)		c)

a)	$x=50$	b)	$x=5$	c)	$x=15$

[redigera] Övning 4.1:4

a)	Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).
b)	Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).
c)	Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).

a)	$5 \textrm{ l.e.}$
b)	$\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$
c)	$(2,0)$

[redigera] Övning 4.1:5

a)	Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.
b)	Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).

a)	$(x-1)^2+(y-2)^2=4$
b)	$(x-2)^2+(y+1)^2=13$

[redigera] Övning 4.1:6

Skissera följande cirklar

a)	$x^2+y^2=9$	b)	$(x-1)^2+(y-2)^2=3$
c)	$(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$

a)	En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo.	b)	En cirkel med radie $\sqrt 3$ och medelpunkt i punkten (1, 2).
c)	En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).

[redigera] Övning 4.1:7

Skissera följande cirklar

a)	$x^2+2x+y^2-2y=1$	b)	$x^2+y^2+4y=0$
c)	$x^2-2x+y^2+6y=-3$	d)	$x^2-2x+y^2+2y=-2$

a)	En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie $\sqrt 3$.	b)	En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2.
c)	En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$.
d)	Endast punkten (1, -1).

[redigera] Övning 4.1:8

Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?

$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $

[redigera] Övning 4.1:9

På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?

$\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$

[redigera] Övning 4.1:10

En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).

$x=9$ dm

[redigera] Övning 4.2:1

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.

a)		b)
c)		d)
e)		f)

Facit till alla delfrågor

a)	$x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$	b)	$x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$
c)	$x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$	d)	$x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$
e)	$x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$	f)	$x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$

[redigera] Övning 4.2:2

Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.

a)		b)
c)		d)
e)		f)

a)	$\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$	b)	$\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$
c)	$\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$	d)	$\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$
e)	$v=30 ^\circ$	f)	$\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$

[redigera] Övning 4.2:3

Bestäm

a)	$\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$	b)	$\cos{2\pi}$	c)	$\sin{9\pi}$
d)	$\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$	e)	$\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$	f)	$\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$

a)	$-1$	b)	$1$	c)	$0$
d)	$0$	e)	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	f)	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

[redigera] Övning 4.2:4

Bestäm

a)	$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$	b)	$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$	c)	$\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$
d)	$\tan{\pi}$	e)	$\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$	f)	$\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$

a)	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	b)	$\displaystyle \frac{1}{2}$	c)	$-1$
d)	$0$	e)	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$	f)	$\sqrt{3}$

[redigera] Övning 4.2:5

Bestäm

a)	$\cos{135^\circ}$	b)	$\tan{225^\circ}$	c)	$\cos{330^\circ}$	d)	$\tan{495^\circ}$

a)	$-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	b)	$1$	c)	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	d)	$-1$

[redigera] Övning 4.2:6

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.

$x= \sqrt{3}-1$

[redigera] Övning 4.2:7

För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?

Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.

[redigera] Övning 4.2:8

En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.

$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $

[redigera] Övning 4.2:9

Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)

Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.

[redigera] Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller

$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$

$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$

$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$

$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$

$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$

$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$

[redigera] Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller

a)	$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$	b)	$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$

a)	$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$	b)	$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$

[redigera] Övning 4.3:3

Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$

a)	$\sin{(-v)}$	b)	$\sin{(\pi-v)}$
c)	$\cos{v}$	d)	$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$
e)	$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$	f)	$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$

a)	$-a$	b)	$a$
c)	$\sqrt{1-a^2}$	d)	$\sqrt{1-a^2}$
e)	$-a$	f)	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $

[redigera] Övning 4.3:4

Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$

a)	$\sin^2{v}$	b)	$\sin{v}$
c)	$\sin{2v}$	d)	$\cos{2v}$
e)	$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$	f)	$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$

a)	$1-b^2$	b)	$\sqrt{1-b^2}$
c)	$2b\sqrt{1-b^2}$	d)	$2b^2-1$
e)	$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $	f)	$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

[redigera] Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.

$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.

[redigera] Övning 4.3:6

a)	Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.
b)	Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.
c)	Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.

a)	$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.

b)	$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.

c)	$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.

[redigera] Övning 4.3:7

Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om

a)	$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.
b)	$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.

a)	$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$
b)	$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$

[redigera] Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a)	$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$
b)	$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$
c)	$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$
d)	$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$

Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen

[redigera] Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet" $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$ (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)

Se lösningen i webmaterialet när du loggat in till kursen

[redigera] Övning 4.4:1

För vilka vinklar $\,v\,$, där $\,0 \leq v\leq 2\pi\,$, gäller att

a)	$\sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$	b)	$\cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$
c)	$\sin{v}=1$	d)	$\tan{v}=1$
e)	$\cos{v}=2$	f)	$\sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}$
g)	$\tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$

a)	$\displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}$	b)	$\displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}$
c)	$\displaystyle v=\frac{\pi}{2}$	d)	$\displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}$
e)	lösning saknas	f)	$\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}$
g)	$\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}$

[redigera] Övning 4.4:2

Lös ekvationen

a)	$\sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	b)	$\cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} $	c)	$\sin{x}=0$
d)	$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $	e)	$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2}$	f)	$\cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$

a)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi } \right.$	b)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi } \right.$	c)	$x=n\pi$
d)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5} } \right.$	e)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.$	f)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.$

[redigera] Övning 4.4:3

Lös ekvationen

a)	$\cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$	b)	$\sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$
c)	$\sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ}$	d)	$\sin{3x}=\sin{15^\circ}$

a)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi }\right.$	b)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi }\right.$
c)	$\left\{\eqalign{ x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ }\right.$	d)	$\left\{\eqalign{ x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ }\right.$

[redigera] Övning 4.4:4

Bestäm de vinklar $\,v\,$ i intervallet $\,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\,$ som uppfyller $\ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,$.

$v_1=50^\circ$, $\ \ v_2=120^\circ$, $\ \ v_3=230^\circ\ \ $ och $\ \ v_4=300^\circ$

[redigera] Övning 4.4:5

Lös ekvationen

a)	$\sin{3x}=\sin{x}$	b)	$\tan{x}=\tan{4x}$
c)	$\cos{5x}=\cos(x+\pi/5)$

a)	$\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2} }\right.$	b)	$x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}$
c)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3} }\right.$

[redigera] Övning 4.4:6

Lös ekvationen

a)	$\sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x$	b)	$\sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}$
c)	$\sin 2x = -\sin x$

a)	$x=n\pi$	b)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.$
c)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr }\right.$

[redigera] Övning 4.4:7

Lös ekvationen

a)	$2\sin^2{x}+\sin{x}=1$	b)	$2\sin^2{x}-3\cos{x}=0$
c)	$\cos{3x}=\sin{4x}$

a)	$\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi }\right.$	b)	$x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi $
c)	$\left\{ \matrix{ x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7} }\right.$

[redigera] Övning 4.4:8

Lös ekvationen

a)	$\sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x}$	b)	$\sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}$
c)	$\displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}$

a)	$\left\{\eqalign{ x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi }\right.$	b)	$x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi$
c)	$\left\{\eqalign{ x&=n\pi\cr x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi }\right.$

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/%C3%96vn_4

 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
-<div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågor<br \>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>
+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie 3 och medelpunkt i origo.</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>
+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\sqrt 3$ och medelpunkt i punkten (1, 2).</td>
 </tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>
+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med radie $\frac{1}{3}\sqrt 10$ och medelpunkt i punkten (1/3, -7/3).</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
-</div>
-</div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
-<div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a)
-<table width="100%">
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_1_6a.gif]]
-</td>
-</tr>
-</table>
-</div>
-</div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
-<div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b)
-<table width="100%">
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_1_6b.gif]]
-</td>
-</tr>
-</table>
-</div>
-</div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</DIV>
-<div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c)
-<table width="100%">
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_1_6c-1(2).gif]]
-</td>
-</tr>
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_1_6c-2(2).gif]]
-</td>
-</tr>
-</table>
-</div>
 </div>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
-<div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågor<br \>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>
+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (-1, 1) och radie $\sqrt 3$.</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>
+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (0, -2) och radie 2. </td>
 </tr>
 <tr align="left">
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>
+<td class="ntext" width="50%">En cirkel med medelpunkt (1, -3) och radie $\sqrt 7$.</td>
+</tr>
+<tr align="left">
 <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="50%">BILD</td>
+<td class="ntext" width="50%">Endast punkten (1, -1). </td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
-</div>
-</div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
-<div class=NavContent>
-Lösning till delfråga a)
-<table width="100%">
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_1_7a-1(2).gif]]
-</td>
-</tr>
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_1_7a-2(2).gif]]
-</td>
-</tr>
-</table>
-</div>
-</div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
-<div class=NavContent>
-Lösning till delfråga b)
-<table width="100%">
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_1_7b.gif]]
-</td>
-</tr>
-</table>
-</div>
-</div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</DIV>
-<div class=NavContent>
-Lösning till delfråga c)
-<table width="100%">
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_1_7c.gif]]
-</td>
-</tr>
-</table>
-</div>
-</div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</DIV>
-<div class=NavContent>
-Lösning till delfråga d)
-<table width="100%">
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_1_7d.gif]]
-</td>
-</tr>
-</table>
-</div>
 </div>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr><td height="5px"/></tr>
-<tr align="center">
+<tr>
-<td class="ntext" width="100%">BILD</td>
+<td align="center">
-</tr>
+[[Bild:Uppg_4_1_10.gif]]
-<tr><td height="5px"/></tr>
+</td>
+</tr><tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
-<div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågor<br \>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
 </table>
 </div>
+==Övning 4.2:5==
+<div class="ovning">
+Bestäm
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$\cos{135^\circ}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$\tan{225^\circ}$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$\cos{330^\circ}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$\tan{495^\circ}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>
+<tr align="left">
-Lösning till delfråga a)
+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">
+<td class="ntext" width="25%">$-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
-<tr>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td align="center">
+<td class="ntext" width="25%">$1$</td>
-[[Bild:4_2_4a.gif]]
+<td class="ntext">c)</td>
-</td>
+<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$-1$</td>
 </tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+==Övning 4.2:6==
+<div class="ovning">
+Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="center">
+<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_6.gif]]</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>
+<tr align="left">
-Lösning till delfråga b)
+<td class="ntext" width="100%">$x= \sqrt{3}-1$</td>
-<table width="100%">
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_2_4b-1(2).gif]]
-</td>
 </tr>
-<tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
-<td align="center">
+</table>
-[[Bild:4_2_4b-2(2).gif]]
+</div>
-</td>
+==Övning 4.2:7==
+<div class="ovning">
+För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="center">
+<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_7.gif]]</td>
 </tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext" width="100%">Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+==Övning 4.2:8==
-<div class=NavContent>
+<div class="ovning">
-Lösning till delfråga c)
+En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
-<table width="100%">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr>
+<tr align="center">
-<td align="center">
+<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_8.gif]]</td>
-[[Bild:4_2_4c.gif]]
-</td>
 </tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext" width="100%">$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+==Övning 4.2:9==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>
+Bilvägen från ''A'' till ''B'' består av tre rätlinjiga delar ''AP'', ''PQ'' och ''QB'', vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid ''P'' och ''Q'' är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från ''A'' till ''B''. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
-Lösning till delfråga d)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">
+<tr align="center">
-<tr>
+<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_9.gif]]</td>
-<td align="center">
-[[Bild:4_2_4d.gif]]
-</td>
 </tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext" width="100%">Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+==Övning 4.3:1==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</DIV>
+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>
+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
-Lösning till delfråga e)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">
+<tr align="left">
-<tr>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td align="center">
+<td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
-[[Bild:4_2_4e.gif]]
+<td class="ntext">b)</td>
-</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>
 </tr>
 </table>
 </div>
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+==Övning 4.3:2==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</div>
+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>
+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
-Lösning till delfråga f)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<table width="100%">
+<tr align="left">
-<tr>
+<td class="ntext">a)</td>
-<td align="center">
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
-[[Bild:4_2_4f.gif]]
+<td class="ntext">b)</td>
-</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
 </tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-==Övning 4.2:5==
+==Övning 4.3:3==
 <div class="ovning">
-Bestäm
+Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\cos{135^\circ}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\tan{225^\circ}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\cos{330^\circ}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td>
 <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\tan{495^\circ}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
-<div class=NavContent>
-Facit till alla delfrågor<br \>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
 <td class="ntext">a)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
 <td class="ntext">b)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$1$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$a$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
 <td class="ntext">c)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
 <td class="ntext">d)</td>
-<td class="ntext" width="25%">$-1$</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+==Övning 4.3:4==
+<div class="ovning">
+Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>
+<tr align="left">
-Lösning till delfråga a)
+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">
+<td class="ntext" width="50%">$1-b^2$</td>
-<tr>
+<td class="ntext">b)</td>
-<td align="center">
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}$</td>
-[[Bild:4_2_5a.gif]]
-</td>
 </tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$2b^2-1$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+==Övning 4.3:5==
+<div class="ovning">
+För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>
+<tr align="left">
-Lösning till delfråga b)
+<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.</td>
-<table width="100%">
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_2_5b.gif]]
-</td>
 </tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
-</div>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+==Övning 4.3:6==
-<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class="ovning">
-<div class=NavContent>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-Lösning till delfråga c)
+<tr align="left" valign="top">
-<table width="100%">
+<td class="ntext">a)</td>
-<tr>
+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td>
-<td align="center">
-[[Bild:4_2_5c.gif]]
-</td>
 </tr>
+<tr align="left" valign="top">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td>
+</tr>
+<tr align="left" valign="top">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
-</div>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>
+<tr align="left">
-Lösning till delfråga d)
+<td class="ntext">a)</td>
-<table width="100%">
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.</td>
-<tr>
-<td align="center">
-[[Bild:4_2_5d.gif]]
-</td>
 </tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
-</div>
 </div>
-==Övning 4.2:6==
+==Övning 4.3:7==
 <div class="ovning">
-Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.
+Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="center">
+<tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_6.gif]]</td>
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
-<div class=NavContent>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">$x= \sqrt{3}-1$</td>
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+==Övning 4.3:8==
+<div class="ovning">
+Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext>a)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext>b)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext>c)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext>d)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td>
+</tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>
+<tr align="left">
-<table width="100%">
+<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
-<tr>
+du loggat in till kursen</td>
-<td align="center">
+</tr>
-[[Bild:4_2_6.gif]]
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+==Övning 4.3:9==
+<div class="ovning">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext>
+Visa "Feynmans likhet"
+$$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$
+(Ledtr&aring;d: Anv&auml;nd formeln f&ouml;r dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)
 </td>
 </tr>
 </table>
 </div>
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">Se lösningen i webmaterialet när
+du loggat in till kursen</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-==Övning 4.2:7==
+==&Ouml;vning 4.4:1==
 <div class="ovning">
-För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?
+För vilka vinklar $\,v\,$, där $\,0 \leq v\leq 2\pi\,$, gäller att
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="center">
+<tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_7.gif]]</td>
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=1$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=1$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}=2$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">g)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\tan{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.</td>
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{3}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{3}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{2}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{\pi}{4}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{5\pi}{4}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">lösning saknas</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{7\pi}{6}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">g)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle v=\frac{5\pi}{6}\,$, $\,\displaystyle v=\frac{11\pi}{6}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </div>
+==&Ouml;vning 4.4:2==
-==Övning 4.2:8==
 <div class="ovning">
-En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.
+L&ouml;s ekvationen
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="center">
+<tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O_4_2_8.gif]]</td>
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{1}{2} $</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\sin{x}=0$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\sin{5x}=\displaystyle \frac{1}{2}$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\cos{3x}=-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
-<div class=NavContent>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $</td>
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
+x&=\displaystyle\frac{2\pi}{3}+2n\pi  } \right.$
+</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle\frac{\pi}{3}+2n\pi\cr
+x&=\displaystyle\frac{5\pi}{3}+2n\pi  } \right.$
+</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">
+$x=n\pi$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="33%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle\frac{\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
+x&=\displaystyle\frac{3\pi}{20}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}  } \right.$
+</td>
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="33%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle\frac{\pi}{30}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}\cr
+x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+\displaystyle\frac{2n\pi}{5}} \right.$
+</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="33%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle\frac{\pi}{4}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}\cr
+x&=\displaystyle\frac{5\pi}{12}+\displaystyle\frac{2n\pi}{3}} \right.$
+</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+==&Ouml;vning 4.4:3==
+<div class="ovning">
+Lös ekvationen
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{x}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{6}}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{x}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(x+40^\circ)}=\sin{65^\circ}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{3x}=\sin{15^\circ}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>
+<tr align="left">
-<table width="100%">
+<td class="ntext">a)</td>
-<tr>
+<td class="ntext" width="50%">
-<td align="center">
+$\left\{\eqalign{
-[[Bild:4_2_8-1(2).gif]]
+x&=\displaystyle\frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
+x&=\displaystyle\frac{11\pi}{6}+2n\pi
+}\right.$
+</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle\frac{\pi}{5}+2n\pi\cr
+x&=\displaystyle\frac{4\pi}{5}+2n\pi
+}\right.$
 </td>
 </tr>
-<tr>
+<tr align="left">
-<td align="center">
+<td class="ntext">c)</td>
-[[Bild:4_2_8-2(2).gif]]
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=25^\circ + n\cdot 360^\circ\cr
+x&=75^\circ + n\cdot 360^\circ
+}\right.$
+</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=5^\circ + n \cdot 120^\circ \cr
+x&= 55^\circ + n \cdot 120^\circ
+}\right.$
 </td>
 </tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+==&Ouml;vning 4.4:4==
+<div class="ovning">
+Bestäm de vinklar $\,v\,$ i intervallet $\,0^\circ \leq v \leq 360^\circ\,$ som uppfyller $\ \cos{\left(2v+10^\circ\right)}=\cos{110^\circ}\,$.
 </div>
-==Övning 4.2:9==
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellpadding="10px">
+<tr>
+<td align="left">
+$v_1=50^\circ$, $\ \ v_2=120^\circ$, $\ \ v_3=230^\circ\ \ $ och $\ \ v_4=300^\circ$
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+==&Ouml;vning 4.4:5==
 <div class="ovning">
-Bilvägen från ''A'' till ''B'' består av tre rätlinjiga delar ''AP'', ''PQ'' och ''QB'', vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid ''P'' och ''Q'' är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från ''A'' till ''B''. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)
+Lös ekvationen
 <table width="100%" cellspacing="10px">
-<tr align="center">
+<tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">[[Bild:O4_2_9.gif]]</td>
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{3x}=\sin{x}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\tan{x}=\tan{4x}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{5x}=\cos(x+\pi/5)$</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
-<div class=NavContent>
 <table width="100%" cellspacing="10px">
 <tr align="left">
-<td class="ntext" width="100%">Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.</td>
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=n\pi\cr
+x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}
+}\right.$
+</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{n\pi}{3}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle \frac{\pi}{20}+\displaystyle \frac{n\pi}{2}\cr
+x&=-\displaystyle \frac{\pi}{30}+\displaystyle \frac{n\pi}{3}
+}\right.$
+</td>
 </tr>
 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+==&Ouml;vning 4.4:6==
+<div class="ovning">
+Lös ekvationen
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin x\cdot \cos 3x = 2\sin x$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{2}\sin{x}\cos{x}=\cos{x}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin 2x = -\sin x$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>
-<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class="svar">
-<div class=NavHead>L&ouml;sning </div>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
-<div class=NavContent>
+<tr align="left">
-<table width="100%">
+<td class="ntext">a)</td>
-<tr>
+<td class="ntext" width="50%">
-<td align="center">
+$x=n\pi$
-[[Bild:4_2_9-1(3).gif]]
+</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
+x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
+x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi}\right.$
 </td>
 </tr>
-<tr>
+<tr align="left">
-<td align="center">
+<td class="ntext">c)</td>
-[[Bild:4_2_9-2(3).gif]]
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle \frac{2n\pi}{3}\cr
+x&=\displaystyle \pi + 2n\pi\cr
+}\right.$
 </td>
 </tr>
-<tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
-<td align="center">
+</table>
-[[Bild:4_2_9-3(3).gif]]
+</div>
+==&Ouml;vning 4.4:7==
+<div class="ovning">
+Lös ekvationen
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$2\sin^2{x}+\sin{x}=1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$2\sin^2{x}-3\cos{x}=0$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{3x}=\sin{4x}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{ \matrix{
+x=\displaystyle \frac{\pi}{6}+2n\pi\cr
+x=\displaystyle \frac{5\pi}{6}+2n\pi\cr
+x=\displaystyle \frac{3\pi}{2}+2n\pi
+}\right.$
 </td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x=\pm \displaystyle \frac{\pi}{3} + 2n\pi $</td>
 </tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{ \matrix{
+x=\displaystyle \frac{\pi}{2}+2n\pi\cr
+x=\displaystyle \frac{\pi}{14}+\displaystyle \frac{2n\pi}{7}
+}\right.$
+</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
 </div>
+==&Ouml;vning 4.4:8==
+<div class="ovning">
+Lös ekvationen
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{2x}=\sqrt{2}\cos{x}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{x}=\sqrt{3}\cos{x}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{1}{\cos^2{x}}=1-\tan{x}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=\displaystyle \frac{\pi}{4}+2n\pi\cr
+x&=\displaystyle \frac{\pi}{2}+n\pi\cr
+x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+2n\pi
+}\right.$
+</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x=\displaystyle \frac{\pi}{3}+n\pi$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">
+$\left\{\eqalign{
+x&=n\pi\cr
+x&=\displaystyle \frac{3\pi}{4}+n\pi
+}\right.$
+</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
 </div>

Övn 4

Sommarmatte 1

Nuvarande version

[redigera] Övning 4.1:1

[redigera] Övning 4.1:2

[redigera] Övning 4.1:3

[redigera] Övning 4.1:4

[redigera] Övning 4.1:5

[redigera] Övning 4.1:6

[redigera] Övning 4.1:7

[redigera] Övning 4.1:8

[redigera] Övning 4.1:9

[redigera] Övning 4.1:10

[redigera] Övning 4.2:1

[redigera] Övning 4.2:2

[redigera] Övning 4.2:3

[redigera] Övning 4.2:4

[redigera] Övning 4.2:5

[redigera] Övning 4.2:6

[redigera] Övning 4.2:7

[redigera] Övning 4.2:8

[redigera] Övning 4.2:9

[redigera] Övning 4.3:1

[redigera] Övning 4.3:2

[redigera] Övning 4.3:3

[redigera] Övning 4.3:4

[redigera] Övning 4.3:5

[redigera] Övning 4.3:6

[redigera] Övning 4.3:7

[redigera] Övning 4.3:8

[redigera] Övning 4.3:9

[redigera] Övning 4.4:1

[redigera] Övning 4.4:2

[redigera] Övning 4.4:3

[redigera] Övning 4.4:4

[redigera] Övning 4.4:5

[redigera] Övning 4.4:6

[redigera] Övning 4.4:7

[redigera] Övning 4.4:8

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda