Övningar 4.3
Sommarmatte 1
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 16 juli 2007 kl. 08.16 (redigera) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (Ny sida: __NOTOC__ ==Övning 4.3:1== <div class="ovning"> Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller <table width="100%" cellspacing="10px"> <tr...) ← Gå till föregående ändring |
Nuvarande version (17 juli 2007 kl. 09.46) (redigera) (ogör) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) |
||
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| __NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
| - | ==Övning 4.3:1== | + | '''Övning 4.3:1''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller | Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="33%">\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}</td> | <td class="ntext" width="33%">\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}</td> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="33%">\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}</td> | <td class="ntext" width="33%">\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}</td> | ||
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c) </td> |
| <td class="ntext" width="33%">\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}</td> | <td class="ntext" width="33%">\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:2== | + | '''Övning 4.3:2''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Bestäm de vinklar \,v\, mellan 0 och \,\pi\, som uppfyller | Bestäm de vinklar \,v\, mellan 0 och \,\pi\, som uppfyller | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}</td> | <td class="ntext" width="50%">\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}</td> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}</td> | <td class="ntext" width="50%">\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 29: | Rad 29: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:3== | + | '''Övning 4.3:3''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Antag att \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \,a | Antag att \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \,a | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\sin{(-v)}</td> | <td class="ntext" width="50%">\sin{(-v)}</td> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\sin{(\pi-v)}</td> | <td class="ntext" width="50%">\sin{(\pi-v)}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\cos{v}</td> | <td class="ntext" width="50%">\cos{v}</td> | ||
| - | <td class="ntext">d)</td> | + | <td class="ntext">d) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}</td> | <td class="ntext" width="50%">\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">e)</td> | + | <td class="ntext">e) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}</td> | <td class="ntext" width="50%">\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}</td> | ||
| - | <td class="ntext">f)</td> | + | <td class="ntext">f) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}</td> | <td class="ntext" width="50%">\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 55: | Rad 55: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:4== | + | '''Övning 4.3:4''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Antag att \,0 \leq v \leq \pi\, och att \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \,b\, | Antag att \,0 \leq v \leq \pi\, och att \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \,b\, | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\sin^2{v}</td> | <td class="ntext" width="50%">\sin^2{v}</td> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\sin{v}</td> | <td class="ntext" width="50%">\sin{v}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\sin{2v}</td> | <td class="ntext" width="50%">\sin{2v}</td> | ||
| - | <td class="ntext">d)</td> | + | <td class="ntext">d) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\cos{2v}</td> | <td class="ntext" width="50%">\cos{2v}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">e)</td> | + | <td class="ntext">e) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}</td> | <td class="ntext" width="50%">\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}</td> | ||
| - | <td class="ntext">f)</td> | + | <td class="ntext">f) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}</td> | <td class="ntext" width="50%">\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 81: | Rad 81: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:5== | + | '''Övning 4.3:5''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| För en spetsig vinkel \,v\, i en triangel gäller att \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \,\cos{v}\, och \,\tan{v}\,. | För en spetsig vinkel \,v\, i en triangel gäller att \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \,\cos{v}\, och \,\tan{v}\,. | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:6== | + | '''Övning 4.3:6''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">Bestäm \ \sin{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.</td> | <td class="ntext" width="100%">Bestäm \ \sin{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">Bestäm \ \cos{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \,v\, ligger i den andra kvadranten.</td> | <td class="ntext" width="100%">Bestäm \ \cos{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \,v\, ligger i den andra kvadranten.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">Bestäm \ \sin{v}\ och \ \cos{v}\ om \ \tan{v}=3\ och \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.</td> | <td class="ntext" width="100%">Bestäm \ \sin{v}\ och \ \cos{v}\ om \ \tan{v}=3\ och \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 105: | Rad 105: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:7== | + | '''Övning 4.3:7''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Bestäm \ \sin{(x+y)}\ om | Bestäm \ \sin{(x+y)}\ om | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,, \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.</td> | <td class="ntext" width="100%">\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,, \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.</td> | <td class="ntext" width="100%">\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 121: | Rad 121: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:8== | + | '''Övning 4.3:8''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Visa följande trigonometriska samband | Visa följande trigonometriska samband | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext>a)</td> | + | <td class="ntext>a) </td> |
| <td class="ntext width="100%">\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}</td> | <td class="ntext width="100%">\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext>b)</td> | + | <td class="ntext>b) </td> |
| <td class="ntext width="100%">\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}</td> | <td class="ntext width="100%">\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext>c)</td> | + | <td class="ntext>c) </td> |
| <td class="ntext width="100%">\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}</td> | <td class="ntext width="100%">\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext>d)</td> | + | <td class="ntext>d) </td> |
| <td class="ntext width="100%">\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v</td> | <td class="ntext width="100%">\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 144: | Rad 144: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:9== | + | '''Övning 4.3:9''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext> | <td class="ntext> | ||
| Rad 156: | Rad 156: | ||
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| + | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | ||
Nuvarande version
Övning 4.3:1
Bestäm de vinklar \,v\, mellan \,\displaystyle \frac{\pi}{2}\, och \,2\pi\, som uppfyller
| a) | \cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}} | b) | \sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}} | c) | \tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}} |
Övning 4.3:2
Bestäm de vinklar \,v\, mellan 0 och \,\pi\, som uppfyller
| a) | \cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}} | b) | \cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}} |
Övning 4.3:3
Antag att \,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\, och att \,\sin{v} = a\,. Uttryck med hjälp av \,a
| a) | \sin{(-v)} | b) | \sin{(\pi-v)} |
| c) | \cos{v} | d) | \sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)} |
| e) | \cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)} | f) | \sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)} |
Övning 4.3:4
Antag att \,0 \leq v \leq \pi\, och att \,\cos{v}=b\,. Uttryck med hjälp av \,b\,
| a) | \sin^2{v} | b) | \sin{v} |
| c) | \sin{2v} | d) | \cos{2v} |
| e) | \sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)} | f) | \cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)} |
Övning 4.3:5
För en spetsig vinkel \,v\, i en triangel gäller att \,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,. Bestäm \,\cos{v}\, och \,\tan{v}\,.
Övning 4.3:6
| a) | Bestäm \ \sin{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ och \ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,. |
| b) | Bestäm \ \cos{v}\ och \ \tan{v}\ om \ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ och \,v\, ligger i den andra kvadranten. |
| c) | Bestäm \ \sin{v}\ och \ \cos{v}\ om \ \tan{v}=3\ och \ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,. |
Övning 4.3:7
Bestäm \ \sin{(x+y)}\ om
| a) | \sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,, \ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
| b) | \cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,, \ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ och \,x\,, \,y\, är vinklar i första kvadranten. |
Övning 4.3:8
Visa följande trigonometriska samband
| a) | \tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v} |
| b) | \displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v} |
| c) | \tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u} |
| d) | \displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v |
Övning 4.3:9
|
Visa "Feynmans likhet" \cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}
(Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på \,\sin 160^\circ\,.)
|
