3.4. Logaritmekvationer

Exempel 1

Lös ekvationerna

1. $10^x = 537 \quad$ har lösningen $\,x = \lg 537\,$.
   
   
2. $10^{5x} = 537 \quad$ ger att $\,5x= \lg 537\,$, dvs. $\,x=\frac{1}{5} \lg 537\,$.
   
   
3. $\displaystyle \frac{3}{e^x} = 5 \quad$ Multiplikation av båda led med $\,e^x\,$ och division med 5 ger att $\,\frac{3}{5}=e^x\,$, vilket betyder att $\,x=\ln\frac{3}{5}\,$.
   
   
4. $\lg x = 3 \quad$ Definitionen ger direkt att $\,x=10^3 = 1000\,$.
   
   
5. $\lg(2x-4) = 2 \quad$ Från definitionen har vi att $\,2x-4 = 10^2 = 100\,$ och då följer att $\,x = 52\,$.

Exempel 2

1. Lös ekvationen $\ (\sqrt{10}\,)^x = 25\,$.
   
   Eftersom $\,\sqrt{10} = 10^{1/2}\,$ är vänsterledet lika med $\,(\sqrt{10}\,)^x = (10^{1/2})^x = 10^{x/2}\,$ och ekvationen lyder $$10^{x/2} = 25\,\mbox{.}$$ Denna grundekvation har lösningen $\,\displaystyle \frac{x}{2} = \lg 25\,$, dvs. $\,x= 2 \lg 25\,$.
   
   
2. Lös ekvationen $\ \displaystyle \frac{3 \ln 2x}{2} + 1 = \frac{1}{2}\,$.
   
   Multiplicera båda led med 2 och subtrahera sedan 2 från båda led $$ 3 \ln 2x = -1\,\mbox{.}$$ Dividera båda led med 3 $$ \ln 2x = -\frac{1}{3}\,\mbox{.}$$ Nu ger definitionen direkt att $\,2x = e^{-1/3}\,$, vilket betyder att $$ x = {\textstyle\frac{1}{2}} e^{-1/3} = \frac{1}{2e^{1/3}}\,\mbox{.} $$

Exempel 3

1. Lös ekvationen $\ 3^x = 20\,$.
   
   Logaritmera båda led $$\lg 3^x = \lg 20\,\mbox{.}$$ Vänsterledet kan skrivas som $\,\lg 3^x = x \cdot \lg 3\,$ och då får vi att $$x = \displaystyle \frac{\lg 20}{\lg 3} \quad ({}\approx 2{,}727)\,\mbox{.}$$
   
   
2. Lös ekvationen $\ 5000 \cdot 1{,}05^x = 10\,000\,$.
   
   Dividera båda led med 5000 $$1{,}05^x = \displaystyle \frac{ 10\,000}{5\,000} = 2\,\mbox{.}$$ Denna ekvation löser vi genom att logaritmera båda led med lg och skriva om vänsterledet som $\,\lg 1{,}05^x = x\cdot\lg 1{,}05\,$, $$x = \frac{\lg 2}{\lg 1{,}05} \quad ({}\approx 14{,}2)\,\mbox{.}$$
   

Exempel 4

1. Lös ekvationen $\ 2^x \cdot 3^x = 5\,$.
   
   Vänsterledet kan skrivas om med potenslagarna till $\,2^x\cdot 3^x=(2 \cdot 3)^x\,$ och ekvationen blir $$6^x = 5\,\mbox{.}$$ Denna ekvation löser vi på vanligt sätt med logaritmering och får att $$x = \frac{\lg 5}{\lg 6}\quad ({}\approx 0{,}898)\,\mbox{.}$$
   
   
2. Lös ekvationen $\ 5^{2x + 1} = 3^{5x}\,$.
   
   Logaritmera båda led och använd logaritmlagen $\,\lg a^b = b \cdot \lg a$ $$\eqalign{(2x+1)\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{,}\cr 2x \cdot \lg 5 + \lg 5 &= 5x \cdot \lg 3\,\mbox{.}\cr}$$ Samla $\,x\,$ i ena ledet $$\eqalign{\lg 5 &= 5x \cdot \lg 3 -2x \cdot \lg 5\,\mbox{,}\cr \lg 5 &= x\,(5 \lg 3 -2 \lg 5)\,\mbox{.}\cr}$$ Lösningen är $$x = \frac{\lg 5}{5 \lg 3 -2 \lg 5}\,\mbox{.}$$

Exempel 5

Lös ekvationen $\ \displaystyle \frac{6e^x}{3e^x+1}=\frac{5}{e^{-x}+2}\,$.

Multiplicera båda led med $\,3e^x+1\,$ och $\,e^{-x}+2\,$ för att få bort nämnarna

$$6e^x(e^{-x}+2) = 5(3e^x+1)\,\mbox{.}$$

Notera att eftersom $\,e^x\,$ och $\,e^{-x}\,$ alltid är positiva oavsett värdet på $\,x\,$ så multiplicerar vi alltså ekvationen med faktorer $\,3e^x+1\,$ och $\,e^{-x} +2\,$ som är skilda från noll, så detta steg riskerar inte att introducera nya (falska) rötter till ekvationen.

Förenkla båda led $$6+12e^x = 15e^x+5\,\mbox{,}$$ där vi använt att $\,e^{-x} \cdot e^x = e^{-x + x} = e^0 = 1\,$. Betraktar vi nu $\,e^x\,$ som obekant är ekvationen väsentligen en förstagradsekvation som har lösningen $$e^x=\frac{1}{3}\,\mbox{.}$$

En logaritmering ger sedan svaret $$x=\ln\frac{1}{3}= \ln 3^{-1} = -1 \cdot \ln 3 = -\ln 3\,\mbox{.}$$

Exempel 6

Lös ekvationen $\ \displaystyle \frac{1}{\ln x} + \ln\frac{1}{x} = 1\,$.

Termen $\,\ln \displaystyle \frac{1}{x}\,$ kan skrivas som $\,\ln \displaystyle \frac{1}{x} = \ln x^{-1} = -1 \cdot \ln x = - \ln x\,$ och då blir ekvationen $$\frac{1}{\ln x} - \ln x = 1\,\mbox{,}$$ där vi kan betrakta $\,\ln x\,$ som en ny obekant. Multiplicerar vi båda led med $\,\ln x\,$ (som är skild från noll när $\,x \neq 1\,$) får vi en andragradsekvation i $\,\ln x$ $$1 - (\ln x)^2 = \ln x\,\mbox{,}$$ $$ (\ln x)^2 + \ln x - 1 = 0\,\mbox{.}$$

Kvadratkomplettering av vänsterledet

$$\eqalign{\textstyle (\ln x)^2 + \ln x -1 &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2} \bigr)^2 - 1\cr &= \bigl( \ln x + \frac{1}{2} \bigr)^2 - \frac{5}{4}\cr}$$

följt av rotutdragning ger att

$$\ln x = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \,\mbox{.}$$

Detta betyder att ekvationen har två lösningar

$$ x= e^{(-1 + \sqrt{5})/2} \quad \mbox{och} \quad x= e^{-(1+\sqrt{5})/2}\,\mbox{.}$$

Exempel 7

Lös ekvationen $\ \ln(4x^2 -2x) = \ln (1-2x)\,$.

För att ekvationen ska vara uppfylld måste argumenten $\,4x^2-2x\,$ och $\,1-2x\,$ vara lika,

$$4x^2 - 2x = 1 - 2x , \quad \quad \quad \quad (*)$$

och dessutom positiva. Vi löser ekvationen $(*)$ genom att flytta över alla termer i ena ledet

$$4x^2 - 1= 0 $$

och använder rotutdragning. Detta ger att

$$\textstyle x= -\frac{1}{2} \quad \mbox{och} \quad x= \frac{1}{2} \; \mbox{.}$$

Vi kontrollerar nu om båda led i $(*)$ är positiva

• Om $x= -\frac{1}{2}\,$ blir båda led lika med $\,4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \bigl(-\frac{1}{2}\bigr) = 1+1 = 2 > 0\,$.
• Om $x= \frac{1}{2}\,$ blir båda led lika med $\,4x^2 - 2x = 1-2x = 1-2 \cdot \frac{1}{2} = 1-1 = 0 \not > 0\,$.

Alltså har logaritmekvationen bara en lösning $\,x= -\frac{1}{2}\,$.

Exempel 8

Lös ekvationen $\ e^{2x} - e^{x} = \frac{1}{2}\,$.

Den första termen kan vi skriva som $\,e^{2x} = (e^x)^2\,$. Hela ekvationen är alltså en andragradsekvation med $\,e^x\,$ som obekant $$(e^x)^2 - e^x = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{.}$$

Ekvationen kan vara lite enklare att hantera om vi skriver $\,t\,$ istället för $\,e^x\,$,

$$t^2 -t = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{.}$$

Kvadratkomplettera vänsterledet

$$\eqalign{\textstyle \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 - \bigl(\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{1}{2}\,\mbox{,}\cr \bigl(t-\frac{1}{2}\bigr)^2 &= \frac{3}{4}\,\mbox{,}\cr}$$

vilket ger lösningarna

$$t=\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \mbox{och} \quad t=\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \, \mbox{.}$$

Eftersom $\,\sqrt3 > 1\,$ så är $\,\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt3 <0\,$ och det är bara $\,t= \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt3\,$ som ger en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom $\,e^x\,$ alltid är positiv. Logaritmering ger slutligen att

$$x = \ln \Bigl(\,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\,\Bigr)$$

är den enda lösningen till ekvationen.