Exempel 1

Lös ekvationen $\ \sin x = \frac{1}{2}\,$.

Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.

I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med y-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa x-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.

Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde $\,\frac{1}{2}\,$ är alltså $$\left\{ \matrix{x=\displaystyle \frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ x=\displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2n\pi}\right.$$ där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal. Detta kallas för den fullständiga lösningen till ekvationen.

Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till $\,y = \sin x\,$ skär linjen $\,y=\frac{1}{2}\,$.

Exempel 2

Lös ekvationen $\ \cos x = \frac{1}{2}\,$.

Vi tar återigen hjälp av enhetscirkeln.

Vi vet att cosinus blir $\,\frac{1}{2}\,$ för vinkeln $\,\pi/3\,$. Den enda andra riktning i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln $\,-\pi/3\,$. Lägger vi till ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen

$$x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}$$

där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal.

Exempel 3

Lös ekvationen $\ \tan x = \sqrt{3}\,$.

En lösning till ekvationen är standardvinkeln $\,x=\pi/3\,$.

Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva x-axeln.

Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$, $$x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}$$

där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal.

Exempel 4

Lös ekvationen $\ \cos 2x – 4\cos x + 3= 0\,$.

Omskrivning med hjälp av formeln $\,\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1\,$ ger $$(2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}$$

vilket kan förenklas till ekvationen (efter division med 2)

$$\cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}$$

Vänsterledet kan faktoriseras med kvadreringsregeln till

$$(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}$$

Denna ekvation kan bara vara uppfylld om $\,\cos x = 1\,$. Grundekvationen $\,\cos x=1\,$ kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är

$$x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ godtyckligt heltal).}$$

Exempel 5

Lös ekvationen $\ \frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0\,$.

Enligt den trigonometriska ettan är $\,\sin^2\!x + \cos^2\!x = 1\,$, dvs. $\,1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x\,$. Ekvationen kan alltså skrivas $$\textstyle\frac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}$$

Genom att nu bryta ut en faktor $\,\sin x\,$ får vi $$\sin x\,\cdot\,\bigl(\textstyle\frac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}$$

Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla $\,\sin x = 0\,$ eller $\,\sin x = -\frac{1}{2}\,$, vilka är två vanliga grundekvationer på formen $\,\sin x = a\,$ och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut $$\left\{\eqalign{x&=n\pi\cr x&=-\pi/6+2n\pi\cr x&=7\pi/6+2n\pi\cr}\right.\qquad (\,n\ \text{godtyckligt heltal})\mbox{.}$$

Exempel 6

Lös ekvationen $\ \sin 2x =4 \cos x\,$.

Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen $$2\sin x \cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}$$

Vi delar båda led med 2 och bryter ut en faktor $\,\cos x\,$, vilket ger $$\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}$$

Eftersom produkten bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna

• $\cos x = 0\,$,
• $\sin x = 2\,$.

Men $\,\sin x\,$ kan aldrig bli större än 1, så ekvationen $\,\sin x = 2\,$ saknar lösningar. Då återstår bara $\,\cos x = 0\,$, vilken med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen $\,x = \pi / 2 + n \cdot \pi\,$.

Exempel 7

Lös ekvationen $\ 4 \sin^2\!x – 4 \cos x = 1\,$.

Med den trigonometriska ettan kan $\,\sin^2\!x\,$ bytas ut mot $\,1 – \cos^2\!x\,$. Då får vi $$\eqalign{4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\cr 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\cr – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\cr \cos^2\!x + \cos x – \textstyle\frac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\cr}$$

Detta är en andragradsekvation i $\,\cos x\,$, som har lösningarna $$\textstyle\cos x = -\frac{3}{2} \quad \mbox{och} \quad \cos x= \frac{1}{2}\,\mbox{.}$$

Eftersom värdet av $\,\cos x\,$ ligger mellan $–1$ och $1$ kan ekvationen $\,\cos x=-\frac{3}{2}$ inte ha några lösningar. Då återstår bara grundekvationen $$\cos x = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{,}$$

som löses enligt exempel 2.