1.3 Potenser

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Nuvarande version

Innehåll:

Positiv heltalsexponent
Negativ heltalsexponent
Rationell exponent
Potenslagar

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Känna till begreppen bas och exponent.
Beräkna uttryck med heltalsexponent.
Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck.
Veta när potenslagarna är giltiga (positiv bas).
Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent.

Övningar

[redigera] Teori

[redigera] Potenser

Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.ex. $$ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.} $$

På ett liknande sätt används potenser som ett kortare skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal: $$ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.} $$

Siffran 4 kallas för potensens bas och siffran 5 dess exponent.

Exempel 1

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000$
$0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16$, men $ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$
$ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$, men $ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$

Exempel 2

$ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27} $
$(2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)=$ $ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296 $

Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:

$$\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m$$

[redigera] Potenslagar

Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att $$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8$$

vilket generellt kan skrivas

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}$$

Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas $$ \frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4\mbox{.} $$

Den allmänna regeln blir

$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}$$

När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare en användbar räkneregel. Vi ser att $$ (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm gånger}\ 2\ {\rm st}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{.} $$

och $$ (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{2\cdot3}=5^6\mbox{.} $$

Allmänt kan detta skrivas

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} $$

Exempel 3

$ 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23} $
$ 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4 $
$ 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9 $
$ 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8 $

Exempel 4

$\displaystyle\frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2 $
$\displaystyle\frac{7^{10}}{7} = \displaystyle\frac{7^{10}}{7^1} =7^{10-1} = 7^9 $

Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande: $$ \frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{samtidigt som}\quad \frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.} $$

För att räknereglerna för potenser ska stämma gör man alltså den naturliga definitionen att för alla a som inte är 0 gäller att

$$ a^0 = 1\mbox{.} $$

Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex. $$ \frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{och}\quad \frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} $$

Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa exponenten betyda att $$ 3^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.} $$

Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att

$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}$$

Exempel 5

$ \displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1 $
$ 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2 $
$ 0{,}001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3} $
$ 0{,}008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3} $
$ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2} $
$ \left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6 $
$ 0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10} $

Om basen i ett potensuttryck är $-1$ så blir uttrycket alternerande $-1$ eller $+1$ beroende på exponentens värde $$ \eqalign{(-1)^1 &= -1\cr (-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr (-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr (-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = 1\cr \quad\hbox{o.s.v.}} $$

Regeln är att $(-1)^n$ är lika med $-1$ om $n$ är udda och lika med $+1$ om $n$ är jämn.

Exempel 6

$ (-1)^{56} = 1\quad$ eftersom $56$ är ett jämnt tal
$ \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1\quad$ eftersom 11 är ett udda tal
$ \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$

[redigera] Byte av bas

Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis

$$4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots$$

$$9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots$$

$$25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots$$

Men även

$$ \frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots $$

$$ \frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots $$

$$ \frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots $$

o.s.v.

Exempel 7

Skriv $8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16$ som en potens med basen 2.

$8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4

= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$
Skriv $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$ som en potens av basen 3.

$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$

$\displaystyle\qquad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2$
Skriv $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$ så enkelt som möjligt:

$\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$

$\displaystyle\qquad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8$

[redigera] Rationell exponent

Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan?

Eftersom exempelvis $$2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$$ så måste $ 2^{1/2} $ vara samma sak som $\,\sqrt{2}\,$ i och med att $\,\sqrt2\,$ definieras som det tal som uppfyller $\,\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2\,$ .

Allmänt kan vi göra definitionen

$$a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}$$

Vi måste då förutsätta att $a\ge 0$, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal.

Man ser också att exempelvis $$5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5$$

som innebär att $\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,$ vilket kan generaliseras till att

$$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}$$

Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ får vi att, för alla $a\ge0$ gäller att

$$a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$

eller

$$a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} $$

Exempel 8

$27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$
$ 1000^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{1000^{1/3}}= \displaystyle \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \displaystyle \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} =\displaystyle\frac{1}{10^1} = \displaystyle\frac{1}{10} $
$ \displaystyle\frac{1}{\sqrt{8}}= \displaystyle\frac{1}{8^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{(2^3)^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2} $
$ \displaystyle\frac{1}{16^{-1/3}}= \displaystyle\frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3} $

[redigera] Jämförelse av potenser

Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten.

Om basen i en potens är större är än $1$ så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan $0$ och $1$ så blir potensen mindre istället när exponenten växer.

Exempel 9

$\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad$ eftersom basen $3$ är större än $1$ och den första exponenten $5/6$ är större än den andra exponenten $3/4$.
$ \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad$ eftersom basen är större än $1$ och exponenterna uppfyller $ -3/4 > - 5/6$.
$ \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad$ eftersom basen $ 0{,}3$ är mellan $0$ och $1$ och $5 > 4$.

Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större.

Exempel 10

$\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad$ eftersom basen $5$ är större än basen $4$ och båda potenserna har samma positiva exponenten $3/2$.
$ \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad$ eftersom baserna uppfyller $2<3$ och potenserna har den negativa exponenten $-5/3$.

Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra storleksförhållandet. Vill man t.ex. jämföra $125^2$ med $36^3$ kan man göra omskrivningarna $$ 125^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{och}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6 $$

varefter man kan konstatera att $36^3 > 125^2$.

Exempel 11

Avgör vilket tal som är störst av

$ 25^{1/3} $ och $ 5^{3/4} $

Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen $5$ genom att $25= 5\cdot 5= 5^2$. Därför är
$25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}$

och då ser vi att
$5^{3/4} > 25^{1/3} $

eftersom $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ och basen $5$ är större än $1$.
$(\sqrt{8}\,)^5 $ och $128$

Både $8$ och $128$ kan skrivas som potenser av $2$
$ 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}$

$ 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}$

Detta betyder att
$(\sqrt{8}\,)^5 = (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}$

$128 = 2^7 = 2^{14/2}$

och därför är
$(\sqrt{8}\,)^5 > 128 $

i och med att $\frac{15}{2} > \frac{14}{2}$ och basen $2$ är större än $1$.
$ (8^2)^{1/5} $ och $ (\sqrt{27}\,)^{4/5}$

Eftersom $8=2^3$ och $27=3^3$ så kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av $2$ respektive $3$,
$(8^2)^{1/5} = (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}$

$(\sqrt{27}\,)^{4/5} = (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}} = 3^{6/5}\mbox{.}$

Nu ser vi att
$(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} $

eftersom $ 3>2$ och exponenten $\frac{6}{5}$ är positiv.
$ 3^{1/3} $ och $ 2^{1/2}$

Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare
$\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad$ och $\quad \displaystyle\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .

Då har vi att
$3^{1/3} = 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}$

$2^{1/2} = 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}$

och vi ser att
$ 3^{1/3} > 2^{1/2} $

eftersom $ 9>8$ och exponenten $1/6$ är positiv.

Övningar

Råd för inläsning

Grund- och slutprov

Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.

Tänk på att:

Ett tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skild från 0.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring

Läs mer om potenser på engelska Wikipedia

Vilket är det största primtalet? Läs mer på The Prime Pages

Länktips

Här kan du träna på potenslagarna

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/1.3_Potenser

1.3 Potenser

Sommarmatte 1

Nuvarande version

[redigera] Teori

[redigera] Potenser

[redigera] Potenslagar

[redigera] Byte av bas

[redigera] Rationell exponent

[redigera] Jämförelse av potenser

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-=x.x styckerubrik=
 <div class="inforuta">
 <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''
+'''Lärandemål:'''
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Känna till begreppen bas och exponent
+*Känna till begreppen bas och exponent.
-*Beräkna uttryck med heltalsexponent
+*Beräkna uttryck med heltalsexponent.
-*Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck
+*Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck.
-*Potenslagarna bara gäller för positiv bas
+*Veta när potenslagarna är giltiga (positiv bas).
-*Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent
+*Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent.
 </div>
-[[agjöeijö|Övningar]]
+[[1.3 Övningar|Övningar]]
 </td>
 Vi anv&auml;nder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivs&auml;tt
 f&ouml;r upprepad addition av samma tal, t.ex.
+$$
++ 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5\mbox{.}
-$
+$$
-+ 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5
-$
 P&aring; ett liknande s&auml;tt anv&auml;nds potenser som ett kortare
 skrivs&auml;tt f&ouml;r upprepad multiplikation av samma tal:
+$$
+\cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5\mbox{.}
-$
+$$
-\cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5
-$
 <br>
 <br>
-<li>$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16 $ , men
+<li>$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16$,  men
 $ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$
 <br>
 <br>
-<li>$ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 $ , men
+<li>$ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18$,  men
 $ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$
 Med definitionen av potens f&ouml;ljer ytterligare n&aring;gra r&auml;kneregler som f&ouml;renklar
 ber&auml;kningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att
+$$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 3\ {\rm  st }} \cdot \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 5\ {\rm st }} = \underbrace{\,2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ (3 + 5)\ {\rm st}} = 2^{3+5} = 2^8$$
-$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 3 \mbox{  st }} \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 5 \mbox{ st }} = \underbrace{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ (3 + 5) \mbox{st}} = 2^{3+5} = 2^8$
 vilket generellt kan skrivas
 <div class="regel">
-$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
+$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}\mbox{.}$$
 </div>
-Vid division av potenser kan ocks&aring; ber&auml;kningarna f&ouml;renklas om potenserna har samma bas:
+Vid division av potenser kan ocks&aring; ber&auml;kningarna f&ouml;renklas om potenserna har samma bas
+$$
-$
+\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} =
-\displaystyle\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} =
+^{7-3}=2^4\mbox{.}
-^{7-3}=2^4
+$$
-$
 Den allm&auml;nna regeln blir
 <div class="regel">
-$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$$
+$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}\mbox{.}$$
 </div>
 N&auml;r man r&aring;kar ut f&ouml;r en potens av en potens finns ytterligare
 en anv&auml;ndbar r&auml;kneregel. Vi ser att
+$$
+(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm  st}} \cdot  \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{ 2\ {\rm  st}} \cdot  \underbrace{\,5\cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm gånger}\ 2\ {\rm  st}} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6\mbox{.}
-$
+$$
-(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{  st }} \cdot  \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{  st }} \cdot  \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{  st }} = \underbrace{5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\,}_{ 3 \mbox{ gånger } 2 \mbox{  st }} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6
-$
 och
+$$
-$
+(5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} \cdot \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{3\ {\rm st}} = \underbrace{\,5\cdot 5 \cdot 5\,\cdot\,5\cdot 5 \cdot 5\vphantom{{}_{\scriptscriptstyle 1}}\,}_{2\ {\rm gånger}\ 3\ {\rm st}}=5^{2\cdot3}=5^6\mbox{.}
-(5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{  st }} \cdot \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{  st }} = \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,\cdot\,(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 2 \mbox{ gånger }  3 \mbox{  st }}=5^{2\cdot3}=5^6
+$$
-$
 Allm&auml;nt kan detta skrivas
 <div class="regel">
-$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} $$
+$$(a^m)^n = a^{m \cdot n}\mbox{.} $$
 </div>
 Om ett br&aring;k har samma potensuttryck i både t&auml;ljare och n&auml;mnare s&aring; intr&auml;ffar f&ouml;ljande:
+$$
+\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0\quad\text{samtidigt som}\quad
-$
+\frac{5^3}{5^3} = \frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \frac{125}{125} = 1\mbox{.}
-\displaystyle\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0 $&nbsp;
+$$
-samtidigt som
-&nbsp;$ \displaystyle\frac{5^3}{5^3} = \displaystyle\frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \displaystyle\frac{125}{125} = 1$.
 <div class="regel">
-$$ a^0 = 1 $$
+$$ a^0 = 1\mbox{.} $$
 </div>
 Vi kan ocks&aring; r&aring;ka ut f&ouml;r att exponenten i n&auml;mnaren &auml;r
 st&ouml;rre &auml;n den i t&auml;ljaren. Vi f&aring;r t.ex.
+$$
+\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2}\quad\text{och}\quad
-$
+\frac{3^4}{3^6} = \frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} =
-\displaystyle\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} $&nbsp; och
+\frac{1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
+$$
-&nbsp;$  \displaystyle\frac{3^4}{3^6} =
-\displaystyle\frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} =
-\displaystyle\frac{1}{3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3^2}
-$
 Vi ser h&auml;r att enligt v&aring;ra r&auml;kneregler m&aring;ste den negativa
 exponenten betyda att
+$$
+^{-2} = \frac{1}{3^2}\mbox{.}
-$
+$$
-^{-2} = \displaystyle\frac{1}{3^2}
-$
 Den allm&auml;nna definitionen av negativa exponenter &auml;r att, f&ouml;r alla
 <div class="regel">
-$$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}$$
+$$a^{-n} = \frac{1}{a^n}\mbox{.}$$
 </div>
 <div class="exempel">
 <ol type="a">
 <li>$
-(-1)^{56} = 1$ eftersom $56$ är ett jämnt tal
+\displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
+$
 <br>
 <br>
 <li>$
-\displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1$ eftersom 11 är ett udda tal
+^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
+$
 <br>
 <br>
 <li>$
-\displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} =  \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$
+{,}001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3}
-</ol>
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 6'''
-<br>
-<br>
-<ol type="a">
-<li>$
-\displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
 $
 <br>
 <br>
 <li>$
-^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
+{,}008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3}
 $
 <br>
 <br>
 <li>$
-(-1)^{-999} = \displaystyle\frac{1}{(-1)^{999}} = \displaystyle\frac{1}{-1} = -1
+\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}
 $
 <br>
 <br>
 <li>$
-,001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3}
+\left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
 $
 <br>
 <br>
 <li>$
-,008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3}
+.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
 $
+</ol>
+</div>
+Om basen i ett potensuttryck är $-1$ så blir uttrycket alternerande $-1$ eller $+1$ beroende på exponentens värde
+$$
+\eqalign{(-1)^1 &= -1\cr
+(-1)^2 &= (-1)\cdot(-1) = +1\cr
+(-1)^3 &= (-1)\cdot(-1)^2 = (-1)\cdot 1 = -1\cr
+(-1)^4 &= (-1)\cdot(-1)^3 = (-1)\cdot (-1) = 1\cr
+\quad\hbox{o.s.v.}}
+$$
+Regeln är att $(-1)^n$ är lika med $-1$ om $n$ är udda och lika med $+1$ om $n$ är jämn.
+<div class="exempel">
+'''Exempel 6'''
 <br>
 <br>
+<ol type="a">
 <li>$
-\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}
+(-1)^{56} = 1\quad$ eftersom $56$ är ett jämnt tal
-$
 <br>
 <br>
 <li>$
-\left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
+\displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1\quad$ eftersom 11 är ett udda tal
-$
 <br>
 <br>
 <li>$
-.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
+\displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} =  \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$
-$
 </ol>
 </div>
-==Byte av bas==
+==Byte av bas==
 Man b&ouml;r vara uppm&auml;rksam p&aring; att vid f&ouml;renkling av uttryck om m&ouml;jligt
 f&ouml;rs&ouml;ka skriva ihop potenser genom att v&auml;lja samma bas. Det handlar ofta om att
 igen potenser av dessa tal, exempelvis
+$$4=2^2,\;\; 8=2^3,\;\; 16=2^4,\;\; 32=2^5,\;\; 64=2^6,\;\; 128=2^7,\;\ldots$$
+$$9=3^2,\;\; 27=3^3,\;\; 81=3^4,\;\; 243=3^5,\;\ldots$$
+$$25=5^2,\;\; 125=5^3,\;\; 625=5^4,\;\ldots$$
-$
+Men &auml;ven
-=2^2 \;,\; 8=2^3 \;,\; 16=2^4 \;,\; 32=2^5 \;,\; 64=2^6 \;,\; 128=2^7 \;,\ldots
-$
+$$
+\frac{1}{4}=\frac{1}{2^2} = 2^{-2},\;\; \frac{1}{8}=\frac{1}{2^3}=2^{-3},\;\; \frac{1}{16}=\frac{1}{2^4}=2^{-4},\;\ldots
+$$
+$$
+\frac{1}{9}=\frac{1}{3^2}=3^{-2},\;\; \frac{1}{27}=\frac{1}{3^3}=3^{-3},\;\ldots
+$$
+$$
+\frac{1}{25}=\frac{1}{5^2}=5^{-2},\;\; \frac{1}{125}=\frac{1}{5^3}=5^{-3},\;\ldots
+$$
-$
+o.s.v.
-=3^2 \;,\; 27=3^3 \;,\; 81=3^4 \;,\; 243=3^5 \;,\ldots
-$
+<div class="exempel">
+'''Exempel 7'''
+<br>
+<br>
+<ol type="a">
+<li>Skriv $8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16$ som en potens med basen 2.
+<br/>
+<br/>
+:$8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 =  2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4  <br><br>= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$
+<br/>
+<br/>
+<li>Skriv $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$ som en potens av basen 3.
+<br/>
+<br/>
+:$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2}  = \frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$
+<br/>
+:$\displaystyle\qquad{} = \frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2$
+<br/>
+<br/>
+<li>Skriv $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$ så enkelt som möjligt:
+<br/>
+<br/>
+:$\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4} = \frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} =  \frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$
+<br/>
+:$\displaystyle\qquad{} = \frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4} = 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8$
+<br/>
+</ol>
+</div>
+==Rationell exponent==
-$
+Vad h&auml;nder om ett tal h&ouml;js upp till en rationell exponent? G&auml;ller fortfarande
-=5^2 \;,\; 125=5^3 \;,\; 625=5^4 \;,\ldots
+de definitioner och r&auml;kneregler vi har anv&auml;nt oss av ovan?
-$
+Eftersom exempelvis
+$$2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$$
+så måste &nbsp;$ 2^{1/2} $&nbsp; vara samma sak som $\,\sqrt{2}\,$ i och med att $\,\sqrt2\,$ definieras som det tal som uppfyller $\,\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2\,$&nbsp;.
-Men &auml;ven
+Allm&auml;nt kan vi g&ouml;ra definitionen
+<div class="regel">
+$$a^{1/2} = \sqrt{a}\mbox{.}$$
+</div>
+Vi m&aring;ste d&aring; f&ouml;ruts&auml;tta att $a\ge 0$, eftersom inget reellt tal multiplicerat med sig själv kan ge ett negativt tal.
+Man ser ocks&aring; att exempelvis
+$$5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5$$
-$
+som inneb&auml;r att $\,5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5}\mbox{,}\,$ vilket kan generaliseras till att
-\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2^2} = 2^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{2^3}=2^{-3} \;,\; \displaystyle\frac{1}{16}=\displaystyle\frac{1}{2^4}=2^{-4}  \;,\ldots
-$
+<div class="regel">
+$$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}\mbox{.}$$
+</div>
+Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ f&aring;r vi att, f&ouml;r alla $a\ge0$ g&auml;ller att
+<div class="regel">
+$$a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$
-$
+eller
-\displaystyle \frac{1}{9}=\displaystyle \frac{1}{3^2}=3^{-2} \;,\; \displaystyle \frac{1}{27}=\displaystyle \frac{1}{3^3}=3^{-3} \;,\ldots
-$
+$$a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a}\,)^m\mbox{.} $$
+</div>
+<div class="exempel">
+'''Exempel 8'''
+<br>
+<br>
+<ol type="a">
+<li>$27^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3\quad$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$
+<br>
+<br>
+<li>$
+^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{1000^{1/3}}= \displaystyle \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \displaystyle \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} =\displaystyle\frac{1}{10^1} = \displaystyle\frac{1}{10}
 $
-\displaystyle\frac{1}{25}=\displaystyle\frac{1}{5^2}=5^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{125}=\displaystyle\frac{1}{5^3}=5^{-3} \;,\ldots
+<br>
+<br>
+<li>$
+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{8}}= \displaystyle\frac{1}{8^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{(2^3)^{1/2}}
+= \displaystyle\frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
+$
+<br>
+<br>
+<li>$
+\displaystyle\frac{1}{16^{-1/3}}= \displaystyle\frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}
 $
+</ol>
+</div>
-o.s.v.
+==J&auml;mf&ouml;relse av potenser==
+Om man utan tillg&aring;ng till minir&auml;knare vill j&auml;mf&ouml;ra storleken av potenser,
+kan man i vissa fall avg&ouml;ra detta genom att j&auml;mf&ouml;ra basen eller exponenten.
+Om basen i en potens är större är än $1$ så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan $0$ och $1$ så blir potensen mindre istället när exponenten växer.
 <div class="exempel">
-'''Exempel 7'''
+'''Exempel 9'''
 <br>
 <br>
 <ol type="a">
+<li>$\quad 3^{5/6} > 3^{3/4}\quad$  eftersom basen $3$ är större än $1$ och den första exponenten $5/6$ är större än den andra exponenten $3/4$.
+<br>
+<br>
+<li>$ \quad 3^{-3/4} > 3^{-5/6}\quad$ eftersom basen är större än $1$ och exponenterna uppfyller $ -3/4 > - 5/6$.
+<br>
+<br>
+<li>$ \quad 0{,}3^5 < 0{,}3^4 \quad$ eftersom basen $ 0{,}3$ är mellan $0$ och $1$ och $5 > 4$.
-<li>Skriv som en potens med basen 2:
+</ol>
+</div>
-$ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 $
+Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ: då blir potensen mindre när basen blir större.
+<div class="exempel">
+'''Exempel 10'''
 <br>
 <br>
-'''L&ouml;sning:'''
+<ol type="a">
+<li>$\quad 5^{3/2} > 4^{3/2}\quad$  eftersom basen $5$ är större än basen $4$ och båda potenserna har samma positiva exponenten $3/2$.
 <br>
 <br>
-$ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 =  2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4  <br><br>= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$
+<li>$ \quad 2^{-5/3} > 3^{-5/3}\quad$ eftersom baserna uppfyller $2<3$ och potenserna har den negativa exponenten $-5/3$.
+</ol>
+</div>
+Ibland kr&auml;vs det en omskrivning av potenserna f&ouml;r att kunna avg&ouml;ra
+storleksf&ouml;rh&aring;llandet. Vill man t.ex. j&auml;mf&ouml;ra
+$125^2$ med $36^3$
+kan man g&ouml;ra omskrivningarna
+$$
+^2 = (5^3)^2 = 5^6\quad \text{och}\quad 36^3 = (6^2)^3 = 6^6
+$$
+varefter man kan konstatera att $36^3 > 125^2$.
+<div class="exempel">
+'''Exempel 11'''
 <br>
 <br>
-<li>Skriv som en potens av basen 3:
+Avg&ouml;r vilket tal som &auml;r st&ouml;rst av
 <br>
 <br>
-$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$
+<ol type="a">
+<li>$ 25^{1/3} $&nbsp; och &nbsp;$ 5^{3/4} $
 <br>
 <br>
+Basen 25 kan skrivas om i termer av den andra basen $5$ genom att $25= 5\cdot 5= 5^2$. Därför är
-'''L&ouml;sning:'''
+::$25^{1/3} = (5^2)^{1/3} = 5^{2 \cdot \frac{1}{3}}= 5^{2/3}$
-<br>
-<br>
-$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} =
+och då ser vi att
-\displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2}  =
-\displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$<br><br>$ =
+::$5^{3/4} > 25^{1/3} $
-\displaystyle\frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} =
-\displaystyle\frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \displaystyle\frac{3^{6 + 4}}{3^8}=
+eftersom $\frac{3}{4} > \frac{2}{3}$ och basen $5$ är större än $1$.
-\displaystyle\frac{3^{10}}{3^8} =
-^{10-8}= 3^2$
 <br>
 <br>
-<li>Skriv så enkelt som möjligt:
+<li>$(\sqrt{8}\,)^5 $&nbsp; och $128$
 <br>
 <br>
-$\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$
+Både $8$ och $128$ kan skrivas som potenser av $2$
-<br>
-<br>
-'''L&ouml;sning:'''
-<br>
-<br>
-$
-\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}=
-\displaystyle\frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} =
-\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} =
-\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$<br><br>$ =
-\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} =
-\displaystyle\frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } =
-^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4}=
-^1 \cdot 2^8=
-\cdot 2^8
-$
-</ol>
+::$ 8 = 2\cdot 4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3\mbox{,}$
-</div>
-==Rationell exponent==
+::$ 128 = 2\cdot 64 = 2\cdot 2\cdot 32 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 8 =  2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2^3 = 2^7\mbox{.}$
+Detta betyder att
-Vad h&auml;nder om ett tal h&ouml;js upp till en rationell exponent? G&auml;ller fortfarande
+::$(\sqrt{8}\,)^5  = (8^{1/2})^5 = (8)^{5/2} = (2^3)^{5/2} = 2^{3\cdot\frac{5}{2}}= 2^{15/2}$
-de definitioner och r&auml;kneregler vi har anv&auml;nt oss av ovan?
-Eftersom exempelvis
+::$128 = 2^7 = 2^{14/2}$
-$\quad 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$&nbsp;, så måste &nbsp;$ 2^{1/2} $&nbsp; vara samma sak som &nbsp;$ \sqrt{2} $&nbsp; eftersom
+och därför är
-$\quad \sqrt2
+::$(\sqrt{8}\,)^5 > 128 $
-$&nbsp; är det tal som uppfyller &nbsp;
-$\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$&nbsp;
-Allm&auml;nt kan vi g&ouml;ra definitionen:
-$
+i och med att $\frac{15}{2} > \frac{14}{2}$ och basen $2$ är större än $1$.
-a^{1/2} = \sqrt{a}
+<br>
-$
+<br>
+<li>$ (8^2)^{1/5} $ och $ (\sqrt{27}\,)^{4/5}$
+<br>
+<br>
+Eftersom $8=2^3$ och $27=3^3$ så kan ett första steg vara att förenkla och skriva talen som potenser av $2$ respektive $3$,
-Vi ser d&aring; att vi m&aring;ste f&ouml;ruts&auml;tta att $a\ge 0$, eftersom t.ex.
+::$(8^2)^{1/5} = (8)^{2/5} = (2^3)^{2/5} = 2^{3\cdot \frac{2}{5}} = 2^{6/5}\mbox{,}$
-$
+::$(\sqrt{27}\,)^{4/5} = (27^{1/2})^{4/5} = 27^{ \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{5}} = 27^{2/5} = (3^3)^{2/5} = 3^{3 \cdot \frac{2}{5}}  = 3^{6/5}\mbox{.}$
-(-2)^{1/2} = \sqrt{-2}
-$
-inte &auml;r m&ouml;jligt. Man ser ocks&aring; att exempelvis
+Nu ser vi att
-$
+::$(\sqrt{27}\,)^{4/5} > (8^2)^{1/5} $
-^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} =
-^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5
-$
-som inneb&auml;r att
+eftersom $ 3>2$ och exponenten $\frac{6}{5}$ är positiv.
+<br>
+<br>
+<li>$ 3^{1/3} $&nbsp; och
+&nbsp;$ 2^{1/2}$
+<br>
+<br>
+Vi skriver exponenterna med gemensam nämnare
-$ 5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5} $, vilket kan generaliseras till att
+::$\displaystyle \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \quad$    och    $\quad \displaystyle\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ .
-<div class="regel">
+Då har vi att
-$$a^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a}$$
-</div>
-Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ f&aring;r vi att, f&ouml;r alla $a\ge0$ g&auml;ller att
+::$3^{1/3} = 3^{2/6} = (3^2)^{1/6} = 9^{1/6}$
-<div class="regel">
+::$2^{1/2} = 2^{3/6} = (2^3)^{1/6} = 8^{1/6}$
-$$
-a^{m/n} = (a^m)^{1/n} = \sqrt[\scriptstyle n]{a^m}$$
-</div>
-eller
+och vi ser att
-<div class="regel">
+::$ 3^{1/3} > 2^{1/2} $
-$$
-a^{m/n} = (a^{1/n})^m = (\sqrt[\scriptstyle n]{a})^m $$
-</div>
-<div class="exempel">
-'''Exempel 8'''
-<br>
-<br>
-<ol type="a">
-<li>$
-^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle 3]{27} = 3$ eftersom $3 \cdot 3 \cdot 3 =27$
-$
-<br>
-<br>
-<li>$
-^{-1/3} = \displaystyle \frac{1}{1000^{1/3}}= \displaystyle \frac{1}{(10^3)^{1/3}} = \displaystyle \frac{1}{10^{3 \cdot \frac{1}{3}}} =\displaystyle\frac{1}{10^1} = \displaystyle\frac{1}{10}
-$
-<br>
-<br>
-<li>$
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{8}}= \displaystyle\frac{1}{8^{1/2}} = \displaystyle\frac{1}{(2^3)^{1/2}}
-= \displaystyle\frac{1}{2^{3/2}} = 2^{-3/2}
-$
-<br>
-<br>
-<li>$
-\displaystyle\frac{1}{16^{-1/3}}= \displaystyle\frac{1}{(2^4)^{-1/3}} = \frac{1}{2^{-4/3}} = 2^{-(-4/3)}= 2^{4/3}
-$
+eftersom $ 9>8$ och exponenten $1/6$ är positiv.
 </ol>
 </div>
+[[1.3 Övningar|Övningar]]
 <div class="inforuta">
 '''Råd för inläsning'''
+'''Grund- och slutprov'''
+Efter att du har läst texten och arbetat med övningarna ska du göra grund- och slutprovet för att bli godkänd på detta avsnitt. Du hittar länken till proven i din student lounge.
 '''Tänk på att:'''
-text
+Ett  tal upphöjt till 0 är 1, om talet (basen) är skild från 0.
 '''Lästips'''
-stående
+för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring
-'''Länktips'''
+[http://en.wikipedia.org/wiki/Exponent Läs mer om potenser på engelska Wikipedia]
-stående
+[http://primes.utm.edu/ Vilket är det största primtalet? Läs mer på The Prime Pages]
-</div>
+'''Länktips'''
-'''© Copyright 2006, KTH Matematik'''
+[http://www.ltcconline.net/greenl/java/BasicAlgebra/ExponentRules/ExponentRules.html Här kan du träna på potenslagarna]
+</div>