2.2 Linjära uttryck

Övningar

Teori

Förstagradsekvationer

För att lösa ekvationer utför vi räkneoperationer på båda leden samtidigt, som successivt förenklar ekvationen och till slut gör att vi får $x$ ensamt i ena ledet.

Förstagradsekvationer kallas även linjära ekvationer. En förstagradsekvation skrivs på normalform ax=b. Lösningen är helt enkelt x=b/a. Man måste anta att a ≠ 0. (Om a vore noll skulle ekvationen se annorlunda ut, och sakna x.)

De eventuella svårigheter som kan uppstå gäller alltså inte själva lösningsformeln utan snarare de förenklingar som kan behövas för att komma till normalformen. Här nedan visas några exempel som har det gemensamt att en ekvation förenklas till linjär normalform och därmed får en unik lösning.

Det är inte alltid uppenbart att man har att göra med en förstagradsekvation. I följande två exempel förvandlas den ursprungliga ekvationen genom förenklingar till en förstagradsekvation.

Räta linjer

Funktioner av typen $$y=2x+1$$ $$y=-x+3$$ $$y=\displaystyle \frac{1}{2} x -5 $$

är exempel på linjära funktioner och de kan allmänt skrivas i formen

där $k$ och $m$ är konstanter.

Grafen till en linjär funktion är alltid en rät linje och konstanten $k$ anger linjens lutning mot $x$-axeln och $m$ anger $y$-koordinaten för den punkt där linjen skär $y$-axeln.

Bild: figur 3.1.1a och 3.1.2a

Konstanten $k$ kallad för linjens riktningskoefficient och innebär att en enhetsförändring i positiv $x$-led på linjen ger $k$ enheters förändring i positiv $y$-led. Detta gäller därmed att om

• $k>0$ så lutar linjen uppåt
• $k<0$ så lutar linjen nedåt

För en horisontell linje (parallell med $x$-axeln) är $k=0$ medan en vertikal linje (parallell med $y$-axeln) inte har något $k$-värde (en sådan linje kan inte skrivas i formen $y=kx+m$).

Två räta linjer som är parallella har uppenbarligen samma riktningskoefficient. Det går också att se (t.ex i figuren nedan) att två linjer som är vinkelräta har riktningskoefficienter $k_1$ respektive $k_2$ som uppfyller $k_2 = \frac{1}{k_1}$ , vilket också kan skrivas som $k_1 k_2 = -1$.

Bild: figur 3.1.7a och 3.1.8a

Bildtext: Den räta linjen i figuren till vänster har riktningskoefficienter $k$, d.v.s. $1$ steg i $x$-led motsvaras av $k$-steg i $y$-led. Om linjen vrids $90^\circ$ motsols får vi linjen i figuren till höger, och den linjen har riktningskoefficient $-\frac{1}{k}$ eftersom nu motsvaras $-k$ steg i $x$-led av $1$ steg i $y$-led.

Alla räta linjer (även den vertikala linjen) kan skrivas i den allmänna formen

där $a$, $b$ och $c$ är konstanter.

De punkter i ett plan som ligger på en kurva uppfyller ett samband, man kan säga att de har en relation till varandra. Man kan också sammanfatta detta samband som en ekvation. Ofta är det dock inte helt enkelt att få fram detta samband utifrån utseenedet på denna kurva. Dock finns det några exempel där det inte är lika besvärligt. Vi skall här gå igenom två viktiga exempel, räta linjen och andragradskurvan.

<img src="ppStdFiles2261/762723.gif" align="left" hspace='0' vspace='0' />

En kurva kan naturligvis även vara en rät linje. För att definiera en rät linje behöver du två punkter. Den kurva som sammanbinder dessa två punkter, så att avståndet mellan dessa punkter längs kurvan blir så litet som möjligt, är den räta linjen mellan de två punkterna. En rät linje kan beskrivas som alla punkter (x,y) som uppfyller räta linjens ekvation:

$y = kx + m $ där $k, m$ är konstanter och där $ k $ anger linjens lutning och

$ m $ anger för vilken y-koordinat som linjen skär y-axeln.

I figuren nedan gäller att $k=\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$ Lutningen $k$ kan vi bestämma om vi har två kända punkter på linjen, $(x_1,y_1)$ och $(x_0,y_0)$.

<img src="ppStdFiles2261/783053.gif" hspace='0' vspace='0' />
Att en punkt $\;(x,y)\;$ ligger på linjen mellan de två punkterna betyder att lutningen mellan $\;(x,y);$ och $\;(x_0, y_0);$ är densamma som lutningen mellan $\;(x_1, y_1);$ och $\;(x_0,y_0);$ Formeln $\; k=\displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}\; $ kan vi härleda på följande sätt: Enligt räta linjens ekvation är (i) $y_1=kx_1+m$ och (ii) $y_0=kx_0+m$. (i) ger oss $m = y_1-kx_1$ och(ii) ger oss $m = y_0-kx_0$. Vi har nu två uttryck för $m$ som vi kan sätta lika med varandra. $ \left\{ \matrix { m=y_1-kx_1 \cr m=y_0-kx_0 } \right.\Rightarrow y_1-kx_1=y_0-kx_0\Leftrightarrow$ $ kx_1-kx_0=y_1-y_0\Leftrightarrow k(x_1-x_0)=y_1-y_0\Leftrightarrow$ $ k = \displaystyle\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}$ . Ofta skrivs $y_1-y_0=\Delta y$ och $x_1-x_0=\Delta x$ vilket betyder förflyttning i y-led respektive x-led. Då kan vi skriva $ k = \displaystyle\frac{\Delta y}{\Delta x}$ På en rät linje är $\Delta y$ proportionell mot $\Delta x$. Anmärkning: Om man har två givna punkter på en rät linje och ska bestämma $k$ så kan man själv välja vilken punkt man vill kalla $(x_1,y_1)$ respektive $(x_0,y_0)$. Notera också att man inte behöver konstanten $m$ för att bestämma $k$. Konstanten $m$ bestäms ofta genom att sätta $x=0$. Då gäller $y = m$, d.v.s. punkten $\;(0,m)\;$ på y-axeln är den punkt där linjen skär y-axeln.

Här kan du flytta på punkter på en linje och undersöka hur k och m ändras i linjens ekvation $y = kx + m$ beroende på hur linjen lutar och var linjen skär y-axeln. Här kan du se hur linjens ekvation kan skrivas utifrån att man vet koordinaterna för två punkter på linjen.

Här kan du ändra på k och m och se hur detta påverkar linjens egenskaper.

Områden i koordinatsystem

Geometriskt kan man tolka påståendet att $ y \ge 2 $ som att för alla värden på $ x $ så skall $y$ vara större än eller lika med 2.

Om vi ritar upp linjen $y=2$ i ett kordinatsystem så ser vi att olikheten gäller för alla punkter $(x,y)$ så att $y \ge 2$ dvs alla punkter som ligger på eller ovanför linjen.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766665.gif" hspace='0' vspace='0' />

På samma sätt kan vi välja att tolka sambandet $ y \le x $ geometriskt genom att först rita upp linjen $\;y=x\;$ i ett koordinatsystem. Vilka punkter $\;(x,y)\;$ uppfyller sambandet $\;y\le x\;$. Vi kan tolka detta samband som ett villkor som är uppfyllt för alla punkter $(x,y)$ som har större än eller lika stor x-koordinat som y-koordinat. Vi upptäcker att det är de punkter som ligger till höger om denna linje som uppfyller villkoret.<p align="center"><img src="ppStdFiles2261/766666.gif" hspace='0' vspace='0' />

Linjära ekvationer uppstår alltid när man vill bestämma skärningspunkten mellan två linjer:

© Copyright 2006, KTH Matematik