4.4 Trigonometriska ekvationer

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 10 maj 2007 kl. 14.09

Innehåll:

Trigonometriska ekvationer

Lärandemål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Lösa ekvationer av typen $\,\cos x = a\,$, $\,\sin x = a\,$ och $\,\tan x = a\,$.
Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationstyp.

Övningar

Teori

Grundekvationer

Trigonometriska ekvationer kan vara mycket komplicerade, men det finns också många typer av trigonometriska ekvationer som man kan lösa med ganska enkla metoder. Här skall vi börja med att titta på de mest grundläggande trigonometriska ekvationerna, av typerna $\,\sin x = a\,$, $\,\cos x = a\,$ och $\,\tan x = a\,$.

Dessa ekvationer har oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t ex att man söker en spetsig vinkel).

Exempel 1

Lös ekvationen $\ \sin x = \frac{1}{2}\,$.

Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.

Bild: figur 3.5.1

I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med y-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa x-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.

Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde $\,\frac{1}{2}\,$ är alltså $$\left\{ \matrix{x=\displaystyle \frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ x=\displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2n\pi}\right.$$ där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal. Detta kallas för den fullständiga lösningen till ekvationen.

Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till $\,y = \sin x\,$ skär linjen $\,y=\frac{1}{2}\,$.

Exempel 2

Lös ekvationen $\ \cos x = \frac{1}{2}\,$.

Vi tar återigen hjälp av enhetscirkeln.

Vi vet att cosinus blir $\,\frac{1}{2}\,$ för vinkeln $\,\pi/3\,$. Den enda andra riktning i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln $\,-\pi/3\,$. Lägger vi till ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen

$$x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}$$

där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal.

Exempel 3

Lös ekvationen $\ \tan x = \sqrt{3}\,$.

En lösning till ekvationen är standardvinkeln $\,x=\pi/3\,$.

Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva x-axeln.

Bild: figur 3.5.2

Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv. Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$, $$x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}$$

där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal.

Några mer komplicerade ekvationer

Trigonometriska ekvationer kan se ut på många olika sätt, och det är omöjligt att här ge en fullständig genomgång av alla tänkbara ekvationer. Men låt oss studera några exempel, där vi kan ha nytta av att vi kan lösa grundekvationerna.

Vissa trigonometriska ekvationer kan förenklas genom att de skrivs om med hjälp av trigonometriska samband. Detta kan t ex leda till en andragradsekvation, som i nedanstående exempel där man använder att $\,\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1\,$.

Exempel 4

Lös ekvationen $\ \cos 2x – 4\cos x + 3= 0\,$.

Omskrivning med hjälp av formeln $\,\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1\,$ ger $$(2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}$$

vilket kan förenklas till ekvationen (efter division med 2)

$$\cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}$$

Vänsterledet kan faktoriseras med kvadreringsregeln till

$$(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}$$

Denna ekvation kan bara vara uppfylld om $\,\cos x = 1\,$. Grundekvationen $\,\cos x=1\,$ kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är

$$x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ godtyckligt heltal).}$$

Exempel 5

Lös ekvationen $\ \frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0\,$.

Enligt den trigonometriska ettan är $\,\sin^2\!x + \cos^2\!x = 1\,$, dvs. $\,1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x\,$. Ekvationen kan alltså skrivas $$\textstyle\frac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}$$

Genom att nu bryta ut en faktor $\,\sin x\,$ får vi $$\sin x\,\cdot\,\bigl(\textstyle\frac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}$$

Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla $\,\sin x = 0\,$ eller $\,\sin x = -\frac{1}{2}\,$, vilka är två vanliga grundekvationer på formen $\,\sin x = a\,$ och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut $$\left\{\eqalign{x&=n\pi\cr x&=-\pi/6+2n\pi\cr x&=7\pi/6+2n\pi\cr}\right.\qquad (\,n\ \text{godtyckligt heltal})\mbox{.}$$

Exempel 6

Lös ekvationen $\ \sin 2x =4 \cos x\,$.

Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen $$2\sin x \cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}$$

Vi delar båda led med 2 och bryter ut en faktor $\,\cos x\,$, vilket ger $$\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}$$

Eftersom produkten bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna

$\cos x = 0\,$,
$\sin x = 2\,$.

Men $\,\sin x\,$ kan aldrig bli större än 1, så ekvationen $\,\sin x = 2\,$ saknar lösningar. Då återstår bara $\,\cos x = 0\,$, vilken med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen $\,x = \pi / 2 + n \cdot \pi\,$.

Exempel 7

Lös ekvationen $\ 4 \sin^2\!x – 4 \cos x = 1\,$.

Med den trigonometriska ettan kan $\,\sin^2\!x\,$ bytas ut mot $\,1 – \cos^2\!x\,$. Då får vi $$\eqalign{4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\cr 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\cr – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\cr \cos^2\!x + \cos x – \textstyle\frac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\cr}$$

Detta är en andragradsekvation i $\,\cos x\,$, som har lösningarna $$\textstyle\cos x = -\frac{3}{2} \quad \mbox{och} \quad \cos x= \frac{1}{2}\,\mbox{.}$$

Eftersom värdet av $\,\cos x\,$ ligger mellan $–1$ och $1$ kan ekvationen $\,\cos x=-\frac{3}{2}$ inte ha några lösningar. Då återstår bara grundekvationen $$\cos x = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{,}$$

som löses enligt exempel 2.

Övningar

Råd för inläsning

Tänk på att:

Det är bra om man lär sig de vanliga trigonometriska formlerna (identiteterna) och övar upp en viss vana på att förenkla och manipulera trigonometriska uttryck.

Det är viktigt att man lär sig de grundläggande ekvationerna, av typen $\,\sin x = a\,$, $\,\cos x = a\,$ eller $\,\tan x = a\,$ (där $\,a\,$ är ett reellt tal). Det är också viktigt att man vet att dessa ekvationer har oändligt många lösningar.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller behöver en längre förklaring vill vi tipsa om:

Läs mer om trigonometriska ekvationer i Theducations gymnasielexikon

Träna på trigonometriska räkneexempel i Theducations gymnasielexikon

Länktips

Experimentera med grafen y=a sin b(x-c)

Experimentera med derivatan av sin x

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/4.4_Trigonometriska_ekvationer

4.4 Trigonometriska ekvationer

Sommarmatte 1

Versionen från 10 maj 2007 kl. 14.09

Teori

Grundekvationer

Några mer komplicerade ekvationer

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

+__NOTOC__
 <table><tr><td width="600">
-=4.4 Trigonometriska ekvationer=
 <div class="inforuta">
 <div class="inforuta">
-'''Läromål:'''
+'''Lärandemål:'''
 Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:
-*Lösa ekvationer av typen $ \cos x = a  $, $\sin x = a  \;$ och $ \tan x = a  $
+*Lösa ekvationer av typen $\,\cos x = a\,$, $\,\sin x = a\,$ och $\,\tan x = a\,$.
-*Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationer
+*Lösa trigonometriska ekvationer som kan återföras till ovanstående ekvationstyp.
 </div>
 =Teori=
 ==Grundekvationer==
-Trigonometriska ekvationer kan vara mycket komplicerade, men det finns också många typer av trigonometriska ekvationer som man kan lösa med ganska enkla metoder. Här skall vi börja med att titta på de mest grundläggande trigonometriska ekvationerna, av typerna $\sin x = a, \cos x = a $ och $\tan x = a$.
+Trigonometriska ekvationer kan vara mycket komplicerade, men det finns också många typer av trigonometriska ekvationer som man kan lösa med ganska enkla metoder. Här skall vi börja med att titta på de mest grundläggande trigonometriska ekvationerna, av typerna $\,\sin x = a\,$, $\,\cos x = a\,$ och $\,\tan x = a\,$.
 Dessa ekvationer har oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t ex att man söker en spetsig vinkel).
 '''Exempel 1'''
-Lös ekvationen $\sin x = 1/2$.
+Lös ekvationen $\ \sin x = \frac{1}{2}\,$.
+<br>
+<br>
-'''Lösning:'''
+Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $\,\frac{1}{2}\,$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinkeln här kallas $\,x\,$.
-Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $1/2$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinklen här kallas $x$.
 Bild: figur 3.5.1
-I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med $y$-koordinat $1/2$ i enhetscirkeln, d.v.s. vinklar med sinusvärdet $\frac{1}{2}$. Den första är standardvinkeln $30^\circ = \pi / 6 $ och symmetriskäl bildar den andra vinkeln $30^\circ$ mot den negativa $x$-axeln, vilket gör at den vinkeln är $180^\circ – 30^\circ = 150^\circ$ eller i radianer $\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\sin x = \frac{1}{2}$ mellan $0$ och $2\pi$.
+I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med ''y''-koordinat $\,\frac{1}{2}\,$ i enhetscirkeln, dvs. vinklar med sinusvärdet $\,\frac{1}{2}\,$. Den första är standardvinkeln $\,30^\circ = \pi / 6\,$ och av symmetriskäl bildar den andra vinkeln $\,30^\circ\,$ mot den negativa ''x''-axeln, vilket gör att den vinkeln är $\,180^\circ – 30^\circ = 150^\circ\,$ eller i radianer $\,\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6\,$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\,\sin x = \frac{1}{2}\,$ mellan $\,0\,$ och $\,2\pi\,$.
-Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde $\frac{1}{2}$ är alltså
+Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde $\,\frac{1}{2}\,$ är alltså
 $$\left\{ \matrix{x=\displaystyle \frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ x=\displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2n\pi}\right.$$
-där $n$ är ett godtyckligt heltal. Detta kallas den fullständiga lösningen till ekvationen.
+där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal. Detta kallas för den fullständiga lösningen till ekvationen.
-Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till $y = \sin x$ skär linjen $y=\frac{1}{2}$.
+Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till $\,y = \sin x\,$ skär linjen $\,y=\frac{1}{2}\,$.
-[[Bild:3_5_02.gif‎]]
+[[Bild:3_5_02.gif‎||center]]
 </div>
 '''Exempel 2'''
-Lös ekvationen $\cos x = 1/2$.
+Lös ekvationen $\ \cos x = \frac{1}{2}\,$.
+<br>
+<br>
+Vi tar återigen hjälp av enhetscirkeln.
+[[Bild:3_5_03.gif‎||center]]
-'''Lösning:'''
+Vi vet att cosinus blir $\,\frac{1}{2}\,$ för vinkeln $\,\pi/3\,$. Den enda andra riktning i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln $\,-\pi/3\,$. Lägger vi till ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen
-Vi tar igen hjälp av enhetscirkeln.
+$$x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi\,\mbox{,}$$
-[[Bild:3_5_03.gif‎]]
+där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal.
-Vi vet att cosinus blir $\frac{1}{2}$ för vinkeln $\pi/3$. Den enda andra riktningen i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln $-\pi/3$. Lägger vi til ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen
-$$x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi $$
-där $n$ är ett godtyckligt heltal.
 </div>
 '''Exempel 3'''
-Lös ekvationen $\tan x = \sqrt{3}$.
+Lös ekvationen $\ \tan x = \sqrt{3}\,$.
+<br>
+<br>
+En lösning till ekvationen är standardvinkeln $\,x=\pi/3\,$.
-'''Lösning:'''
+Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $\,x\,$ med den positiva ''x''-axeln.
-Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $x$ med den postiva $x$-axeln.
 Bild: figur 3.5.2
-Därför ser vi att lösningarna till $\tan x = \sqrt{3}$ upprepar sig varje halvt varv $\pi/3, \pi/3 +\pi , \pi/3+ \pi +\pi, \ldots$ Den fullständiga lösningen kan vi få fram genom att utgå från lösningen $\pi/3$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\pi$,
+Därför ser vi att lösningarna till $\,\tan x = \sqrt{3}\,$ upprepar sig varje halvt varv $\,\pi/3\,$, $\,\pi/3 +\pi\,$, $\,\pi/3+ \pi +\pi\,$ osv.  Den fullständiga lösningen kan vi därmed få fram genom att utgå från lösningen $\,\pi/3\,$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\,\pi\,$,
-$$x = \pi/3 + n \cdot \pi $$
+$$x = \pi/3 + n \cdot \pi\,\mbox{,}$$
-där $n$ är ett godtyckligt heltal.
+där $\,n\,$ är ett godtyckligt heltal.
 </div>
 Trigonometriska ekvationer kan se ut på många olika sätt, och det är omöjligt att här ge en fullständig genomgång av alla tänkbara ekvationer. Men låt oss studera några exempel, där vi kan ha nytta av att vi kan lösa grundekvationerna.
-Vissa trigonometriska ekvationer kan förenklas genom att de skrivs om med hjälp av trigonometriska samband. Detta kan t ex leda till en andragradsekvation, som i nedanstående exempel där man använder att $\cos 2x = 2 \cos^2 x – 1$:
+Vissa trigonometriska ekvationer kan förenklas genom att de skrivs om med hjälp av trigonometriska samband. Detta kan t ex leda till en andragradsekvation, som i nedanstående exempel där man använder att $\,\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1\,$.
 <div class="exempel">
 '''Exempel 4'''
-Lös ekvationen $\cos 2x – 4\cos x + 3= 0$.
+Lös ekvationen $\ \cos 2x – 4\cos x + 3= 0\,$.
+<br>
+<br>
+Omskrivning med hjälp av formeln $\,\cos 2x = 2 \cos^2\!x – 1\,$ ger
+$$(2 \cos^2\!x – 1) – 4\cos x + 3 = 0\,\mbox{,}$$
-'''Lösning:'''
+vilket kan förenklas till ekvationen (efter division med 2)
-Omskrivning med hjälp av formeln $\cos 2x = 2 \cos^2 x – 1$ ger
+$$\cos^2\!x - 2 \cos x +1 =0\,\mbox{.}$$
-$$(2 \cos^2 x – 1) – 4\cos x + 3 = 0$$
-vilket kan förenklas till ekvationen
+Vänsterledet kan faktoriseras med kvadreringsregeln till
-$$\cos^2 x - 2 \cos x +1 =0\; \mbox{.}$$
+$$(\cos x-1)^2 = 0\,\mbox{.}$$
-Vänsterledet kan faktoriseras med kvaderingsreglerna till
+Denna ekvation kan bara vara uppfylld om $\,\cos x = 1\,$. Grundekvationen $\,\cos x=1\,$ kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är
-$$(\cos x-1)^2 = 0$$
+$$x = 2n\pi \qquad (\,n \mbox{ godtyckligt heltal).}$$
-Denna ekvation kan bara vara uppfylld om $\cos x = 1$. Grundekvationen $\cos x=1$ kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är
-$$x = 2n\pi \quad \quad(n \mbox{ godtyckligt heltal).}$$
 </div>
-Vi har nu en ekvation på formen $\cos x = a$ där'' a'' är ett tal, och där vi kan hitta lösningsmängden på vanligt sätt.
-Andra ekvationer kan efter omskrivning faktoriseras, så att man får en ekvation av formen (Uttryck 1)•(Uttryck 2) = 0. De lösningsmöjligheter som då finns är att Uttryck 1 = 0 eller Uttryck 2 = 0
 <div class="exempel">
 '''Exempel 5'''
-Lös ekvationen $\displaystyle\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0$.
+Lös ekvationen $\ \frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0\,$.
+<br>
+<br>
-'''Lösning:'''
+Enligt den trigonometriska ettan är $\,\sin^2\!x + \cos^2\!x = 1\,$, dvs. $\,1 – \cos^2\!x = \sin^2\!x\,$.
-Enligt trigonometriska ettan är $\sin ^2 x + \cos^2 x = 1$, dvs $1 – \cos^2 x = \sin^2 x$.
 Ekvationen kan alltså skrivas
-$$\displaystyle\frac{1}{2}\sin x + \sin^2 x = 0\; \mbox{.}$$
+$$\textstyle\frac{1}{2}\sin x + \sin^2\!x = 0\,\mbox{.}$$
-Genom att nu bryta ut en faktor $\sin x$ får vi
-$$(\sin x )\left(\displaystyle\frac{1}{2} + \sin x\right) = 0 \; \mbox{.}$$
-Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla $\sin x = 0$ och $\sin x = -1/2$,
+Genom att nu bryta ut en faktor $\,\sin x\,$ får vi
-vilka är två vanliga grundekvationer på formen $\sin x = a$ och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut
+$$\sin x\,\cdot\,\bigl(\textstyle\frac{1}{2} + \sin x\bigr) = 0 \, \mbox{.}$$
-$$\left\{\matrix{ x=n\pi \\ x=-\frac{\pi}{6} + 2n\pi & \quad \quad (n \mbox{ godtyckligt heltal).} \\ x=\frac{7\pi}{6} + 2n\pi} \right.$$
+Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla $\,\sin x = 0\,$ eller $\,\sin x = -\frac{1}{2}\,$, vilka är två vanliga grundekvationer på formen $\,\sin x = a\,$ och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut
+$$\left\{\eqalign{x&=n\pi\cr x&=-\pi/6+2n\pi\cr x&=7\pi/6+2n\pi\cr}\right.\qquad (\,n\ \text{godtyckligt heltal})\mbox{.}$$
 </div>
 '''Exempel 6'''
-Lös ekvationen $\sin 2x =4 \cos x$.
+Lös ekvationen $\ \sin 2x =4 \cos x\,$.
+<br>
+<br>
-'''Lösning:'''
 Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen
+$$2\sin x \cos x – 4 \cos x = 0\,\mbox{.}$$
-$2\sin x \cos x – 4 \cos x = 0$.
+Vi delar båda led med 2 och bryter ut en faktor $\,\cos x\,$, vilket ger
+$$\cos x\,\cdot\,( \sin x – 2) = 0\,\mbox{.}$$
-Vi delar med 2 och bryter ut en faktor $\cos x$, vilket ger
-$(\cos x)( \sin x – 2) = 0$.
 Eftersom produkten bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna
+* $\cos x = 0\,$,
+* $\sin x = 2\,$.
-$\cos x = 0$ och $\sin x = 2$.
+Men $\,\sin x\,$ kan aldrig bli större än 1, så ekvationen $\,\sin x = 2\,$ saknar lösningar. Då återstår bara
+$\,\cos x = 0\,$, vilken med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen $\,x = \pi / 2 + n \cdot \pi\,$.
-Men $\sin x$ kan aldrig bli större än 1, så ekvationen $\sin x = 2$ saknar lösningar. Då återstår bara
-$\cos x = 0$,
-vilket med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen
-$x = \pi / 2 + n \cdot \pi$.
 </div>
 '''Exempel 7'''
-Lös ekvationen $4 \sin^2 x – 4 \cos x = 1$.
+Lös ekvationen $\ 4 \sin^2\!x – 4 \cos x = 1\,$.
+<br>
+<br>
-'''Lösning:'''
+Med den trigonometriska ettan kan $\,\sin^2\!x\,$ bytas ut mot $\,1 – \cos^2\!x\,$. Då får vi
+$$\eqalign{4 (1 – \cos^2\!x) – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\cr 4 – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x &= 1\,\mbox{,}\cr – 4 \cos^2\!x – 4 \cos x + 4 – 1 &= 0\,\mbox{,}\cr \cos^2\!x + \cos x – \textstyle\frac{3}{4} &= 0\,\mbox{.}\cr}$$
-Med trigonometriska ettan kan $\sin^2 x$ bytas ut mot $1 – \cos^2 x$. Då får vi
-$4 (1 – \cos^2 x) – 4 \cos x = 1$
-$4 – 4 \cos^2 x – 4 \cos x = 1$
-$– 4 \cos^2 x – 4 \cos x + 4 – 1 = 0$
-$\cos^2 x + \cos x – 3/4 = 0$
-Detta är en andragradsekvation i $\cos x$, som har lösningarna
-$\cos x = -\frac{3}{2} \quad \mbox{och} \quad  \cos x= \frac{1}{2},$
-Eftersom värdet av $\cos x $ ligger mellan – 1 och 1 kan vi förkasta alla lösningar utanför detta intervall. Då återstår bara grundekvationen
+Detta är en andragradsekvation i $\,\cos x\,$, som har lösningarna
+$$\textstyle\cos x = -\frac{3}{2} \quad \mbox{och} \quad  \cos x= \frac{1}{2}\,\mbox{.}$$
-$\cos x = 1/2$,
+Eftersom värdet av $\,\cos x\,$ ligger mellan $–1$ och $1$ kan ekvationen $\,\cos x=-\frac{3}{2}$ inte ha några lösningar. Då återstår bara grundekvationen
+$$\cos x = \textstyle\frac{1}{2}\,\mbox{,}$$
 som löses enligt exempel 2.
 Det är bra om man lär sig de vanliga trigonometriska formlerna (identiteterna) och övar upp en viss vana på att förenkla och manipulera trigonometriska uttryck.
-Det är viktigt att man lär sig de grundläggande ekvationerna, av typen sin x = a, cos x = a eller tan x = a (där a är ett reellt tal). Det är också viktigt att man vet att dessa ekvationer har oändligt många lösningar, såvida inte omständigheterna begränsar antalet möjliga lösningar (t ex att man söker en spetsig vinkel).
+Det är viktigt att man lär sig de grundläggande ekvationerna, av typen $\,\sin x = a\,$, $\,\cos x = a\,$ eller $\,\tan x = a\,$ (där $\,a\,$ är ett reellt tal). Det är också viktigt att man vet att dessa ekvationer har oändligt många lösningar.
-''' © Copyright 2007, math.se'''
+<small>© Copyright 2007, math.se</small>