3.2 Rotekvationer

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 23 april 2007 kl. 14.54

3.2 Rotekvationer

Innehåll:

Rotekvationer av typen $ \sqrt{ax+b}= cx +d $
Falska rötter

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Lösa enkla rotekvationer med kvadrering och veta att lösningarna måste prövas

Övningar

Teori

Rotekvationer är ekvationer där variabeln förekommer under ett rottecken. Det kan handla om både kvadratrötter, kubikrötter ellar andra rötter.

Först något om beteckningar (se även avsnitt 1.4). Kvadratroten ur x betecknas:

$ \sqrt{x} \; $ eller $ \; x^{1/2} $

och är beteckningen för det positiva tal (om x > 0) som kvadrerat blir x. Kubikroten ur x betecknas: $ \sqrt[\scriptstyle3]{x} \; $ eller $ \; x^{1/3}$

och är det tal som upphöjt i 3 blir x. Förväxla inte kubikroten med $3 \sqrt{x}$ som är tre gånger kvadratroten ur x. Kubikrötter kan dras ur negativa tal, och de kan vara negativa.

Ett exempel är: $ \sqrt[\scriptstyle3]{-1} = -1, \; $ eftersom $ \; (-1)^3 = -1.$

Det finns många olika varianter av rotekvationer, t.ex.

$$\sqrt{x} + 3x = 2$$

$$\sqrt{x - 1} - 2x = x^2$$

$$\sqrt[\scriptstyle3]{x + 2} = x$$

För att lösa rotekvationer vill man bli av med rottecknet. Strategin för att uppnå detta är att skriva ekvationen så att rottecknet blir ensamt kvar på ena sidan av likhetstecknet. Sedan kvadrerar man ekvationen (om det handlar om en kvadratrot), så att rottecknet försvinner. När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Oavsett om man hade något positivt eller negativt så har man alltid något positivt efter en kvadrering. Därför måste man pröva de lösningar som man får fram. Man behöver verifiera att de inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också till den ursprungliga ekvationen.

Exempel 1

Minustecken försvinner vid kvadrering. Betrakta en enkel (trivial) ekvation:

$$x = 2,$$

Om vi kvadrerar båda led i denna ekvation får vi

$$x^2 = 4 $$

Denna nya ekvation har två lösningar $x = 2$ eller $x = -2$. Lösningen $x = 2$ uppfyller den ursprungliga ekvationen medan $x = -2$ är en lösning dom uppstod i den kvaderade ekvationen.

Exempel 2

Lös ekvationen:$2\sqrt{x - 1} = 1 - x$

Lösning:

Tvåan framför rottecknet är en faktor. Vi kan dividera vänster- och högerled med två, men vi kan också låta tvåan stå kvar. Den stör oss inte. Om vi kvadrerar ekvationen som den är får vi

$4(x - 1) = (1 - x)^2 $

och utvecklar vi kvadraten fås

$4(x - 1)= 1 - 2x + x^2$

Detta är en andragradsekvation, som kan skrivas

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Denna kan lösas med kvadratkomplettering eller allmänna lösningsformeln. Lösningarna blir:

$x = 3 \pm 2, $ dvs $ x = 1 $ eller $ x = 5. $

Eftersom vi kvaderar ekvationen finns risk att detta introducerar falska rötter och därför behöver vi pröva om $x=1$ och $x=5$ också är lösningarna i den ursprungliga rotekvationen:

Testa $x = 1 \;$

$x = 1 \;$

medför

$\mbox{VL} = 2\sqrt{1 - 1} = 0 \; $

och

$\mbox{HL} = 1 - 1 = 0. $

$\mbox{VL} = \mbox{HL.}$ Ekvationen är uppfylld!

Testa $x = 5 \;$

$x = 5 \; $ medför

$ \mbox{VL} = 2\sqrt{5 - 1} = 2\cdot2 = 4 \; $

och

$ \mbox{HL} = 1 - 5 = -4.$

$\mbox{VL} \ne \mbox{HL.}$ Ekvationen är inte uppfylld!

Ekvationen har alltså bara en lösning, $x = 1 \; \mbox{.}$

De två funktionerna visas i kurvan nedan.

Råd för inläsning

Tänk på att:

När man kvadrerar en ekvation måste man tänka på att de lösningar som man får fram kanske inte är lösningar till den ursprungliga ekvationen, s. k. falska rötter. Detta beror på att eventuella minustecken försvinner. Man tappar information när man kvadrerar. Därför måste man verifiera att de lösningar man får fram, inte bara är lösningar till den kvadrerade ekvationen, utan också är lösningar till den ursprungliga ekvationen.

Du ska alltid pröva lösningen i rotekvationer.

Lästips

för dig som vill fördjupa dig ytterligare eller skulle vilja ha en längre förklaring

Läs mer om Algebra i Theducations Gymnasielexikon

Understanding Algebra - engelsk bok på nätet för högskoleförberedande studier

Länktips

Vad är roten ur -- ? Webmath.com hjälper dig att förenkla rotuttryck

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/3.2_Rotekvationer