Övn 4

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.12

Övning 4.1:1

Skriv i grader och radianer

a)	$\displaystyle \frac{1}{4} \textrm{ varv} $	b)	$\displaystyle \frac{3}{8} \textrm{ varv}$
c)	$-\displaystyle \frac{2}{3}\textrm{ varv}$	d)	$\displaystyle \frac{97}{12} \textrm{ varv} $

a)	$90^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{\pi}{2} \textrm{ rad} $	b)	$135^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{4} \textrm{ rad}$
c)	$-240^\circ\ $ och $\ \displaystyle -\frac{4\pi}{3} \textrm{ rad}$	d)	$2910^\circ\ $ och $\ \displaystyle \frac{97\pi}{6} \textrm{ rad}$

Övning 4.1:2

Omvandla till radianer

a)	$45^\circ$	b)	$135^\circ$	c)	$-63^\circ$	d)	$270^\circ$

a)	$\displaystyle \frac{\pi}{4}\textrm{ rad}$	b)	$\displaystyle \frac{3\pi}{4}\textrm{ rad}$	c)	$-\displaystyle \frac{7\pi}{20}\textrm{ rad}$	d)	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}\textrm{ rad}$

Övning 4.1:3

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x$

a)		b)		c)

a)	$x=50$	b)	$x=5$	c)	$x=15$

Övning 4.1:4

a)	Bestäm avståndet mellan punkterna (1,1) och (5,4).
b)	Bestäm avståndet mellan punkterna (-2,5) och (3,-1).
c)	Hitta den punkt på x-axeln som ligger lika långt från punkterna (3,3) och (5,1).

a)	$5 \textrm{ l.e.}$
b)	$\sqrt{61} \textrm{ l.e.}$
c)	$(2,0)$

Övning 4.1:5

a)	Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1,2) och radie 2.
b)	Bestäm ekvationen för den cirkel som har medelpunkt i (2,-1) och innehåller punkten (-1,1).

a)	$(x-1)^2+(y-2)^2=4$
b)	$(x-2)^2+(y+1)^2=13$

Övning 4.1:6

Skissera följande cirklar

a)	$x^2+y^2=9$	b)	$(x-1)^2+(y-2)^2=3$
c)	$(3x-1)^2+(3y+7)^2=10$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	BILD	b)	BILD
c)	BILD

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Övning 4.1:7

Skissera följande cirklar

a)	$x^2+2x+y^2-2y=1$	b)	$x^2+y^2+4y=0$
c)	$x^2-2x+y^2+6y=-3$	d)	$x^2-2x+y^2+2y=-2$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	BILD	b)	BILD
c)	BILD	d)	BILD

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Övning 4.1:8

Hur många varv snurrar ett hjul med radie 50 cm när det rullar 10m?

$\displaystyle \frac{10}{\pi}\textrm{ varv }\approx 3,2 \textrm{ varv} $

Övning 4.1:9

På en klocka är sekundvisaren 8 cm lång. Hur stor area sveper den över på 10 sekunder?

$\displaystyle \frac{32\pi}{3} \textrm{ cm}^2 \approx 33,5 \textrm{ cm}^2$

Övning 4.1:10

En 5,4 m lång tvättlina hänger mellan två vertikala träd på 4,8 m avstånd från varandra. Linans ena ände är fäst 0,6 m högre än den andra änden, och 1,2 m från trädet där linan har sin lägre infästning hänger en kavaj på en galge. Bestäm hur mycket under den nedre infästningspunkten som galgen hänger (dvs. avståndet $\,x\,$ i figuren).

BILD

$x=9$ dm

Övning 4.2:1

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$ uttryckt med hjälp av de trigonometriska funktionerna.

a)		b)
c)		d)
e)		f)

Facit till alla delfrågor

a)	$x=13\cdot\tan {27 ^\circ} \approx 6{,}62$	b)	$x=25\cdot\cos {32 ^\circ} \approx 21{,}2$
c)	$x=\displaystyle\frac{14}{\tan {40 ^\circ}} \approx 16{,}7$	d)	$x=\displaystyle\frac{16}{\cos {20 ^\circ}} \approx 17{,}0$
e)	$x=\displaystyle\frac{11}{\sin {35 ^\circ}} \approx 19{,}2$	f)	$x=\displaystyle\frac{19}{\tan {50 ^\circ}} \approx 15{,}9$

Övning 4.2:2

Bestäm en trigonometrisk ekvation som vinkeln $\,v\,$ uppfyller.

a)		b)
c)		d)
e)		f)

a)	$\tan v=\displaystyle\frac{2}{5}$	b)	$\sin v=\displaystyle\frac{7}{11}$
c)	$\cos v=\displaystyle\frac{5}{7}$	d)	$\sin v=\displaystyle\frac{3}{5}$
e)	$v=30 ^\circ$	f)	$\sin \displaystyle\frac{v}{2}=\displaystyle\frac{1}{3}$

Övning 4.2:3

Bestäm

a)	$\sin{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{2}\right)}$	b)	$\cos{2\pi}$	c)	$\sin{9\pi}$
d)	$\cos{\displaystyle \frac{7\pi}{2}}$	e)	$\sin{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$	f)	$\cos{\left(-\displaystyle \frac{\pi}{6}\right)}$

a)	$-1$	b)	$1$	c)	$0$
d)	$0$	e)	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	f)	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

Övning 4.2:4

Bestäm

a)	$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{6}}$	b)	$\cos{\displaystyle \frac{11\pi}{3}}$	c)	$\tan{\displaystyle \frac{3\pi}{4}}$
d)	$\tan{\pi}$	e)	$\tan{\displaystyle \frac{7\pi}{6}}$	f)	$\tan{\left(-\displaystyle \frac{5\pi}{3}\right)}$

a)	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	b)	$\displaystyle \frac{1}{2}$	c)	$-1$
d)	$0$	e)	$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$	f)	$\sqrt{3}$

Övning 4.2:5

Bestäm

a)	$\cos{135^\circ}$	b)	$\tan{225^\circ}$	c)	$\cos{330^\circ}$	d)	$\tan{495^\circ}$

a)	$-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$	b)	$1$	c)	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	d)	$-1$

Övning 4.2:6

Bestäm längden av sidan som är markerad med $\,x\,$.

$x= \sqrt{3}-1$

Övning 4.2:7

För att mäta upp bredden av en älv mäter vi från två punkter A och B längs den ena raka stranden vinkeln till ett träd C på motsatt sida älven. Hur bred är älven om måtten i figuren gäller?

Älvens bredd är $\ \displaystyle\frac{100}{\sqrt{3}-1}$ m $\approx 136{,}6$ m.

Övning 4.2:8

En stång med längd $\,\ell\,$ är upphängd i två linor med längd $\,a\,$ resp. $\,b\,$ enligt figuren. Linorna bildar vinklar $\,\alpha\,$ resp. $\,\beta\,$ med vertikalen. Bestäm en trigonometrisk ekvation för vinkeln $\,\gamma\,$ som stången bildar med vertikalen.

$\ell\cos \gamma=a \cos \alpha - b\cos \beta $

Övning 4.2:9

Bilvägen från A till B består av tre rätlinjiga delar AP, PQ och QB, vilka är 4,0 km, 12,0 km respektive 5,0 km. De i figuren markerade vinklarna vid P och Q är 30° respektive 90°. Beräkna avståndet fågelvägen från A till B. (Uppgiften är hämtad ur Centrala provet i matematik, november 1976, men aningen modifierad.)

Avståndet är $\ \sqrt{205-48\sqrt{3}} \approx 11{,}0$ km.

Övning 4.3:1

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller

$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$

$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$

$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$

Facit

Facit till alla delfrågor

$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$

$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$

$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Övning 4.3:2

Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller

a)	$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$	b)	$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$	b)	$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Övning 4.3:3

Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$

a)	$\sin{(-v)}$	b)	$\sin{(\pi-v)}$
c)	$\cos{v}$	d)	$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$
e)	$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$	f)	$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$-a$	b)	$a$
c)	$\sqrt{1-a^2}$	d)	$\sqrt{1-a^2}$
e)	$-a$	f)	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Lösning e)

Lösning till delfråga e)

Lösning f)

Lösning till delfråga f)

Övning 4.3:4

Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$

a)	$\sin^2{v}$	b)	$\sin{v}$
c)	$\sin{2v}$	d)	$\cos{2v}$
e)	$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$	f)	$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$1-b^2$	b)	$\sqrt{1-b^2}$
c)	$2b\sqrt{1-b^2}$	d)	$2b^2-1$
e)	$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $	f)	$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Lösning e)

Lösning till delfråga e)

Lösning f)

Lösning till delfråga f)

Övning 4.3:5

För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.

Facit

$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.

Lösning

Övning 4.3:6

a)	Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.
b)	Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.
c)	Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.

b)	$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.

c)	$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Övning 4.3:7

Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om

a)	$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.
b)	$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$
b)	$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Övning 4.3:8

Visa följande trigonometriska samband

a)	$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$
b)	$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$
c)	$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$
d)	$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga a)

Övning 4.3:9

Visa "Feynmans likhet" $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$ (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)

Lösning

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/%C3%96vn_4

Övn 4

Sommarmatte 1

Versionen från 25 juni 2007 kl. 08.12

Övning 4.1:1

Övning 4.1:2

Övning 4.1:3

Övning 4.1:4

Övning 4.1:5

Övning 4.1:6

Övning 4.1:7

Övning 4.1:8

Övning 4.1:9

Övning 4.1:10

Övning 4.2:1

Övning 4.2:2

Övning 4.2:3

Övning 4.2:4

Övning 4.2:5

Övning 4.2:6

Övning 4.2:7

Övning 4.2:8

Övning 4.2:9

Övning 4.3:1

Övning 4.3:2

Övning 4.3:3

Övning 4.3:4

Övning 4.3:5

Övning 4.3:6

Övning 4.3:7

Övning 4.3:8

Övning 4.3:9

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
+</div>
+==Övning 4.3:1==
+<div class="ovning">
+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{5}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{6\pi}{7}$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$v = \displaystyle \frac{9\pi}{7}$</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_1a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_1b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_1c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:2==
+<div class="ovning">
+Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{\pi}{2}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$v=\displaystyle \frac{3\pi}{5}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_2a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_2b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:3==
+<div class="ovning">
+Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$a$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-a^2}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$-a$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{1-a^2}+\displaystyle \frac{1}{2}\cdot a $</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</DIV>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga e)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3e.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</DIV>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga f)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_3f.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:4==
+<div class="ovning">
+Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$1-b^2$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$2b\sqrt{1-b^2}$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$2b^2-1$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} + b\cdot \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} $</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$b\cdot\displaystyle \frac{1}{2}+\sqrt{1-b^2}\cdot\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</DIV>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</DIV>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga e)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4e.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</DIV>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga f)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_4f.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:5==
+<div class="ovning">
+För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{7}\quad$ och $\quad\tan{v}=\displaystyle \frac{5}{2\sqrt{6}}\,$.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_5-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_5-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:6==
+<div class="ovning">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left" valign="top">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td>
+</tr>
+<tr align="left" valign="top">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td>
+</tr>
+<tr align="left" valign="top">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{4}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{7}}{3}\,$.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\cos{v}=-\displaystyle \frac{\sqrt{91}}{10}\quad$ och $\quad\tan{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{91}}\,$.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\sin{v}=-\displaystyle \frac{3}{\sqrt{10}}\quad$ och $\quad\cos{v}=-\displaystyle \frac{1}{\sqrt{10}}\,$.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6a-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6a-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6b-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6b-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6c-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_6c-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:7==
+<div class="ovning">
+Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$\sin{(x+y)}=\displaystyle \frac{3\sqrt{21}+8}{25}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_7a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_7b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:8==
+<div class="ovning">
+Visa f&ouml;ljande trigonometriska samband
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext>a)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext>b)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext>c)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext>d)</td>
+<td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8c-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8c-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_8d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==Övning 4.3:9==
+<div class="ovning">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext>
+Visa "Feynmans likhet"
+$$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$
+(Ledtr&aring;d: Anv&auml;nd formeln f&ouml;r dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.)
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+<table width="100%">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_9-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:4_3_9-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
 </div>