Övningar 4.3
Sommarmatte 1
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 16 juli 2007 kl. 08.16 (redigera) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) (Ny sida: __NOTOC__ ==Övning 4.3:1== <div class="ovning"> Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller <table width="100%" cellspacing="10px"> <tr...) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 16 juli 2007 kl. 11.42 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| __NOTOC__ | __NOTOC__ | ||
| - | ==Övning 4.3:1== | + | '''Övning 4.3:1''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller | Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td> | <td class="ntext" width="33%">$\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$</td> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td> | <td class="ntext" width="33%">$\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$</td> | ||
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c) </td> |
| <td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td> | <td class="ntext" width="33%">$\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 15: | Rad 15: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:2== | + | '''Övning 4.3:2''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller | Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$</td> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 29: | Rad 29: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:3== | + | '''Övning 4.3:3''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$ | Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$ | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\sin{(-v)}$</td> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\sin{(\pi-v)}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\cos{v}$</td> | ||
| - | <td class="ntext">d)</td> | + | <td class="ntext">d) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">e)</td> | + | <td class="ntext">e) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$</td> | ||
| - | <td class="ntext">f)</td> | + | <td class="ntext">f) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 55: | Rad 55: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:4== | + | '''Övning 4.3:4''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$ | Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$ | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\sin^2{v}$</td> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\sin{v}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\sin{2v}$</td> | ||
| - | <td class="ntext">d)</td> | + | <td class="ntext">d) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\cos{2v}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">e)</td> | + | <td class="ntext">e) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$</td> | ||
| - | <td class="ntext">f)</td> | + | <td class="ntext">f) </td> |
| <td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td> | <td class="ntext" width="50%">$\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 81: | Rad 81: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:5== | + | '''Övning 4.3:5''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$. | För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$. | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:6== | + | '''Övning 4.3:6''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td> | <td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td> | <td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left" valign="top"> | <tr align="left" valign="top"> | ||
| - | <td class="ntext">c)</td> | + | <td class="ntext">c) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td> | <td class="ntext" width="100%">Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 105: | Rad 105: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:7== | + | '''Övning 4.3:7''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om | Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a)</td> | + | <td class="ntext">a) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td> | <td class="ntext" width="100%">$\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">b)</td> | + | <td class="ntext">b) </td> |
| <td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td> | <td class="ntext" width="100%">$\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten.</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 121: | Rad 121: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:8== | + | '''Övning 4.3:8''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| Visa följande trigonometriska samband | Visa följande trigonometriska samband | ||
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext>a)</td> | + | <td class="ntext>a) </td> |
| <td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td> | <td class="ntext width="100%">$\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext>b)</td> | + | <td class="ntext>b) </td> |
| <td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td> | <td class="ntext width="100%">$\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext>c)</td> | + | <td class="ntext>c) </td> |
| <td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td> | <td class="ntext width="100%">$\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext>d)</td> | + | <td class="ntext>d) </td> |
| <td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td> | <td class="ntext width="100%">$\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| Rad 144: | Rad 144: | ||
| </div> | </div> | ||
| - | ==Övning 4.3:9== | + | '''Övning 4.3:9''' |
| - | <div class="ovning"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> |
| - | <table width="100%" cellspacing="10px"> | + | <table width="100%"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| <td class="ntext> | <td class="ntext> | ||
Versionen från 16 juli 2007 kl. 11.42
Övning 4.3:1
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan $\,\displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och $\,2\pi\,$ som uppfyller
| a) | $\cos{v}=\cos{\displaystyle \frac{\pi}{5}}$ | b) | $\sin{v}=\sin{\displaystyle \frac{\pi}{7}}$ | c) | $\tan{v}=\tan{\displaystyle \frac{2\pi}{7}}$ |
Övning 4.3:2
Bestäm de vinklar $\,v\,$ mellan 0 och $\,\pi\,$ som uppfyller
| a) | $\cos{v} = \cos{\displaystyle \frac{3\pi}{2}}$ | b) | $\cos{v} = \cos{ \displaystyle \frac{7\pi}{5}}$ |
Övning 4.3:3
Antag att $\,-\displaystyle \frac{\pi}{2} \leq v \leq \displaystyle \frac{\pi}{2}\,$ och att $\,\sin{v} = a\,$. Uttryck med hjälp av $\,a$
| a) | $\sin{(-v)}$ | b) | $\sin{(\pi-v)}$ |
| c) | $\cos{v}$ | d) | $\sin{\left(\displaystyle \frac{\pi}{2}-v\right)}$ |
| e) | $\cos{\left( \displaystyle \frac{\pi}{2} + v\right)}$ | f) | $\sin{\left( \displaystyle \frac{\pi}{3} + v \right)}$ |
Övning 4.3:4
Antag att $\,0 \leq v \leq \pi\,$ och att $\,\cos{v}=b\,$. Uttryck med hjälp av $\,b\,$
| a) | $\sin^2{v}$ | b) | $\sin{v}$ |
| c) | $\sin{2v}$ | d) | $\cos{2v}$ |
| e) | $\sin{\left( v+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right)}$ | f) | $\cos{\left( v-\displaystyle \frac{\pi}{3} \right)}$ |
Övning 4.3:5
För en spetsig vinkel $\,v\,$ i en triangel gäller att $\,\sin{v}=\displaystyle \frac{5}{7}\,$. Bestäm $\,\cos{v}\,$ och $\,\tan{v}\,$.
Övning 4.3:6
| a) | Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \cos{v}=\displaystyle \frac{3}{4}\ $ och $\ \displaystyle \frac{3\pi}{2} \leq v \leq 2\pi\,$. |
| b) | Bestäm $\ \cos{v}\ $ och $\ \tan{v}\ $ om $\ \sin{v}=\displaystyle \frac{3}{10}\ $ och $\,v\,$ ligger i den andra kvadranten. |
| c) | Bestäm $\ \sin{v}\ $ och $\ \cos{v}\ $ om $\ \tan{v}=3\ $ och $\ \pi \leq v \leq \displaystyle \frac{3\pi}{2}\,$. |
Övning 4.3:7
Bestäm $\ \sin{(x+y)}\ $ om
| a) | $\sin{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\,$, $\ \sin{y}=\displaystyle \frac{1}{3}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten. |
| b) | $\cos{x}=\displaystyle \frac{2}{5}\,$, $\ \cos{y}=\displaystyle \frac{3}{5}\ $ och $\,x\,$, $\,y\,$ är vinklar i första kvadranten. |
Övning 4.3:8
Visa följande trigonometriska samband
| a) | $\tan^2v=\displaystyle\frac{\sin^2v}{1-\sin^2v}$ |
| b) | $\displaystyle \frac{1}{\cos v}-\tan v=\frac{\cos v}{1+\sin v}$ |
| c) | $\tan\displaystyle\frac{u}{2}=\frac{\sin u}{1+\cos u}$ |
| d) | $\displaystyle\frac{\cos (u+v)}{\cos u \cos v}= 1- \tan u \tan v$ |
Övning 4.3:9
|
Visa "Feynmans likhet" $$\cos 20^\circ \cdot \cos 40^\circ \cdot \cos 80^\circ = \displaystyle\frac{1}{8}\,\mbox{.}$$ (Ledtråd: Använd formeln för dubbla vinkeln på $\,\sin 160^\circ\,$.) |
