1.3 Potenser

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Versionen från 20 april 2007 kl. 12.27 (redigera)
Safia (Diskussion | bidrag)
(Ny sida: <table><tr><td width="600"> =x.x styckerubrik= <div class="inforuta"> '''Innehåll:''' * Positiv heltalsexponent * Negativ heltalsexponent * Rationell exponent * Potenslagar </div> <div ...)
← Gå till föregående ändring		 Versionen från 20 april 2007 kl. 12.29 (redigera) (ogör)
Safia (Diskussion | bidrag)
(→Byte av bas)
Gå till nästa ändring →
Rad 416: Rad 416:
\displaystyle\frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \displaystyle\frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} =
\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} =
-\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$ $ = +\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$<br><br>$ =
\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} =
\displaystyle\frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = \displaystyle\frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } =

Versionen från 20 april 2007 kl. 12.29

Innehåll

x.x styckerubrik

Innehåll:

  • Positiv heltalsexponent
  • Negativ heltalsexponent
  • Rationell exponent
  • Potenslagar

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

  • Känna till begreppen bas och exponent
  • Beräkna uttryck med heltalsexponent
  • Hantera potenslagarna i förenkling av potensuttryck
  • Potenslagarna bara gäller för positiv bas
  • Avgöra vilket av två potensuttryck som är störst baserat på jämförelse av bas/exponent

Övningar

Teori

Potenser

Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.ex.


$ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5 $


På ett liknande sätt används potenser som ett kortare skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal:


$ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 $


Siffran 4 kallas för potensens bas och siffran 5 dess exponent.


Exempel 1

  1. $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

  2. $10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000$

  3. $0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$

  4. $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16 $ , men $ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$

  5. $ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 $ , men $ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$

Exempel 2

  1. $ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27} $

  2. $(2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)=$ $ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296 $

Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:

$$\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m$$

Potenslagar

Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att

$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 5 \mbox{ st }} = \underbrace{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ (3 + 5) \mbox{st}} = 2^{3+5} = 2^8$

vilket generellt kan skrivas

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$

Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas:

$ \displaystyle\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4 $

Den allmänna regeln blir

$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$$

När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare en användbar räkneregel. Vi ser att


$ (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} = \underbrace{5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\,}_{ 3 \mbox{ gånger } 2 \mbox{ st }} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 $

och

$ (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} = \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,\cdot\,(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 2 \mbox{ gånger } 3 \mbox{ st }}=5^{2\cdot3}=5^6 $


Allmänt kan detta skrivas

$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} $$

Exempel 3

  1. $ 2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23} $

  2. $ 5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4 $

  3. $ 3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9 $

  4. $ 10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8 $

Exempel 4

  1. $\displaystyle\frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2 $

  2. $\displaystyle\frac{7^{10}}{7} = \displaystyle\frac{7^{10}}{7^1} =7^{10-1} = 7^9 $


Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:


$ \displaystyle\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0 $  samtidigt som  $ \displaystyle\frac{5^3}{5^3} = \displaystyle\frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \displaystyle\frac{125}{125} = 1$.


För att räknereglerna för potenser ska stämma gör man alltså den naturliga definitionen att för alla a som inte är 0 gäller att

$$ a^0 = 1 $$

Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex.


$ \displaystyle\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} $  och

 $ \displaystyle\frac{3^4}{3^6} = \displaystyle\frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3^2} $


Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa exponenten betyda att


$ 3^{-2} = \displaystyle\frac{1}{3^2} $

Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att

$$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}$$

Exempel 5

  1. $ (-1)^{56} = 1$ eftersom $56$ är ett jämnt tal

  2. $ \displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1$ eftersom 11 är ett udda tal

  3. $ \displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$

Exempel 6

  1. $ \displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1 $

  2. $ 3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2 $

  3. $ (-1)^{-999} = \displaystyle\frac{1}{(-1)^{999}} = \displaystyle\frac{1}{-1} = -1 $

  4. $ 0,001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3} $

  5. $ 0,008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3} $

  6. $ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2} $

  7. $ \left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6 $

  8. $ 0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10} $

Byte av bas

Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis



$ 4=2^2 \;,\; 8=2^3 \;,\; 16=2^4 \;,\; 32=2^5 \;,\; 64=2^6 \;,\; 128=2^7 \;,\ldots $



$ 9=3^2 \;,\; 27=3^3 \;,\; 81=3^4 \;,\; 243=3^5 \;,\ldots $



$ 25=5^2 \;,\; 125=5^3 \;,\; 625=5^4 \;,\ldots $


Men även



$ \displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2^2} = 2^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{2^3}=2^{-3} \;,\; \displaystyle\frac{1}{16}=\displaystyle\frac{1}{2^4}=2^{-4} \;,\ldots $



$ \displaystyle \frac{1}{9}=\displaystyle \frac{1}{3^2}=3^{-2} \;,\; \displaystyle \frac{1}{27}=\displaystyle \frac{1}{3^3}=3^{-3} \;,\ldots $



$ \displaystyle\frac{1}{25}=\displaystyle\frac{1}{5^2}=5^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{125}=\displaystyle\frac{1}{5^3}=5^{-3} \;,\ldots $


o.s.v.


Exempel 7

  1. Skriv som en potens med basen 2: $ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 $

    Lösning:

    $ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4

    = 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$

  2. Skriv som en potens av basen 3:

    $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$

    Lösning:

    $\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} = \displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} = \displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$ $ = \displaystyle\frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} = \displaystyle\frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \displaystyle\frac{3^{6 + 4}}{3^8}= \displaystyle\frac{3^{10}}{3^8} = 3^{10-8}= 3^2$

  3. Skriv så enkelt som möjligt:

    $\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$

    Lösning:

    $ \displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}= \displaystyle\frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} = \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} = \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$

    $ = \displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} = \displaystyle\frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } = 3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4}= 3^1 \cdot 2^8= 3\cdot 2^8 $


Råd för inläsning

Tänk på att:

text

Lästips

stående

Länktips

stående


© Copyright 2006, KTH Matematik




Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/1.3_Potenser
Personliga verktyg