2.1 Algebraiska uttryck

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 20 april 2007 kl. 15.57

Innehåll

1 2.1 Algebraiska uttryck
2 Teori

2.1 Algebraiska uttryck

Innehåll:

Den distributiva lagen
Olika kvadreringsregler
Konjugatregeln
Rationella uttryck

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Förenkla komplicerade algebraiska uttryck.
Faktorisera uttryck med kvadreringsregler och konjugatregeln.
Utveckla uttryck med kvadreringsregler och konjugatregeln.

Övningar

Teori

Distributiva lagen

Den distrubtiva lagen anger hur man multiplicerar in en faktor i en parentes.

(Bild: figur 2.1.1)

Exempel 1

$4 (x+y) = 4x + 4y$
$2(a-b) = 2a -2b$
$x \left(\displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \displaystyle\frac{1}{x} + x \cdot \displaystyle\frac{1}{x^2} = \displaystyle\frac{\not{x}}{\not{x}} + \displaystyle\frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \displaystyle\frac{1}{x}$
$a(x+y+z) = ax + ay + az$

Med den distrubtiva lagen kan vi också förstå hur vi kan hanter minustecken framför parantesuttryck. Regeln säger att en parantes med ett minustecken framför kan tas bort om alla termer inuti parantesen byter tecken.

Exempel 2

$-(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y$
$-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x$
där vi i sista ledet användt att $-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x=x$
$-(x+y+y^3) = (-1)\cdot (x+y+y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3$
$=-x-y+y^3$
$x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2$
$= x^2 -5x -2$

Om den distrubtiva lagen används baklänges så sägs vi faktorisera uttrycket. Ofta försöker man bryta ut en så stor faktor som möjligt.

Exempel 3

$3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)$
$xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)$
$2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)$
$\displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \displaystyle \frac{-(x-y)}{x-y} = \displaystyle \frac{-1}{1} = -1$

Kvaderingsreglerna

Den distrubtiva lagen behöver ibland användas upprepade gånger för att behandla större uttryck. Om vi betraktar

$$(a+b)(c+d)$$

och ser $a+b$ som en faktor som multipliceras in i parentesen (c+d) så får vi

$$\bbox[#AAEEFF,5pt]{\quad \quad } (c+d) = \bbox[#AAEEFF,5pt]{\quad \quad } c + \bbox[#AAEEFF,5pt]{\quad \quad }d$$ $$(a+b)(c+d) = (a+b)c + (a+b)d$$

Sedan kan $c$ och $d$ multipliceras in i respektive parentes

$$(a+b)c + (a+b)d = ac + ad + bc + bd \, \mbox{.}$$

Ett minnesvärt sätt att sammanfatta formeln är:

(Bild: figur 2.1.2)

Exempel 4

$(x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2$
$=x^2 -x-2$
$3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)$
$=6x^2 +3x-6xy-3y$
$(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2$
$=2-3x+x^2$

där vi använt att $-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 =1\cdot x^2 = x^2$.

Två viktiga specialfall av ovanstående formel är när $a+b$ och $c+d$ är samma uttryck

Kvaderingsreglerna $$(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2$$ $$(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$$

Dessa formler kallas för första och andra kvaderingsregeln.

Exempel 5