Övn 2

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Versionen från 21 juni 2007 kl. 15.08

Övning 2.1:1

Utveckla

a)	$3x(x-1)$	b)	$(1+x-x^2)xy$	c)	$-x^2(4-y^2)$
d)	$x^3y^2\left(\displaystyle \frac{1}{y} - \frac{1}{xy}+1\right)$	e)	$(x-7)^2$	f)	$(5+4y)^2$
g)	$(y^2-3x^3)^2$	h)	$(5x^3+3x^5)^2$

a)	$3x^2-3x$	b)	$xy+x^2y-x^3y$	c)	$-4x^2+x^2y^2$
d)	$x^3y-x^2y+x^3y^2$	e)	$x^2-14x+49$	f)	$16y^2+40y+25$
g)	$9x^6-6x^3y^2+y^4$	h)	$9x^{10}+30x^8+25x^6$

Övning 2.1:2

Utveckla och förenkla så långt som möjligt

a)	$(x-4)(x-5)-3x(2x-3)$	b)	$(1-5x)(1+15x)-3(2-5x)(2+5x)$
c)	$(3x+4)^2-(3x-2)(3x-8)$	d)	$(3x^2+2)(3x^2-2)(9x^4+4)$
e)	$(a+b)^2+(a-b)^2$

a)	$-5x^2+20$	b)	$10x-11$
c)	$54x$	d)	$81x^8-16$
e)	$2a^2+2b^2$

Övning 2.1:3

Faktorisera så långt som möjligt

a)	$x^2-36$	b)	$5x^2-20$	c)	$x^2+6x+9$
d)	$x^2-10x+25$	e)	$18x-2x^3$	f)	$16x^2+8x+1$

a)	$(x+6)(x-6)$	b)	$5(x+2)(x-2)$	c)	$(x+3)^2$
d)	$(x-5)^2$	e)	$-2x(x+3)(x-3)$	f)	$(4x+1)^2$

Övning 2.1:4

Bestäm koefficienterna framför $\,x\,$ och $\,x^2\,$ när följande uttryck utvecklas

a)	$(x+2)(3x^2-x+5)$
b)	$(1+x+x^2+x^3)(2-x+x^2+x^4)$
c)	$(x-x^3+x^5)(1+3x+5x^2)(2-7x^2-x^4)$

a)	$5\,$ framför $\,x^2\,$, $\,3\,$ framför $\,x$
b)	$2\,$ framför $\,x^2\,$, $\,1\,$ framför $\,x$
$\textrm{c) }$	$6\,$ framför $\,x^2\,$, $\,2\,$ framför $\,x$

Övning 2.1:5

Förenkla så långt som möjligt

a)	$\displaystyle \frac{1}{x-x^2}-\displaystyle \frac{1}{x}$	b)	$\displaystyle \frac{1}{y^2-2y}-\displaystyle \frac{2}{y^2-4}$
c)	$\displaystyle \frac{(3x^2-12)(x^2-1)}{(x+1)(x+2)}$	d)	$\displaystyle \frac{(y^2+4y+4)(2y-4)}{(y^2+4)(y^2-4)}$

a)	$\displaystyle \frac{1}{1-x}$	b)	$-\displaystyle \frac{1}{y(y+2)}$
c)	$3(x-2)(x-1)$	d)	$\displaystyle \frac{2(y+2)}{y^2+4}$

Övning 2.1:6

Förenkla så långt som möjligt

a)	$\left(x-y+\displaystyle\frac{x^2}{y-x}\right)$ $\left(\displaystyle\frac{y}{2x-y}-1\right)$	b)	$\displaystyle \frac{x}{x-2}+\displaystyle \frac{x}{x+3}-2$
c)	$\displaystyle \frac{2a+b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}$	d)	$\displaystyle\frac{a-b+\displaystyle\frac{b^2}{a+b}}{1-\left(\displaystyle\frac{a-b}{a+b}\right)^2}$

a)	$2y$	b)	$\displaystyle\frac{-x+12}{(x-2)(x+3)}$
c)	$\displaystyle\frac{b}{a(a-b)}$	d)	$\displaystyle\frac{a(a+b)}{4b}$

Övning 2.1:7

Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck

$\displaystyle \frac{2}{x+3}-\frac{2}{x+5}$

$x+\displaystyle \frac{1}{x-1}+\displaystyle \frac{1}{x^2}$

$\displaystyle \frac{ax}{a+1}-\displaystyle \frac{ax^2}{(a+1)^2}$

$\displaystyle \frac{4}{(x+3)(x+5)}$

$\displaystyle \frac{x^4-x^3+x^2+x-1}{x^2(x-1)}$

$\displaystyle \frac{ax(a+1-x)}{(a+1)^2}$

Övning 2.1:8

Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck

a)	$\displaystyle \frac{\displaystyle\ \frac{x}{x+1}\ }{\ 3+x\ }$	b)	$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{x}-\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$	c)	$\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+x}}}$

a)	$\displaystyle \frac{x}{(x+3)(x+1)}$	b)	$\displaystyle \frac{2(x-3)}{x}$	c)	$\displaystyle \frac{x+2}{2x+3}$

Övning 2.2:1

Lös ekvationerna

a)	$x-2=-1$	b)	$2x+1=13$
c)	$\displaystyle\frac{1}{3}x-1=x$	d)	$5x+7=2x-6$

a)	$x=1$	b)	$x=6$
c)	$x=-\displaystyle\frac{3}{2}$	d)	$x=-\displaystyle\frac{13}{3}$

Övning 2.2:2

Lös ekvationerna

a)	$\displaystyle\frac{5x}{6}-\displaystyle\frac{x+2}{9}=\displaystyle\frac{1}{2}$	b)	$\displaystyle\frac{8x+3}{7}-\displaystyle\frac{5x-7}{4}=2$
c)	$(x+3)^2-(x-5)^2=6x+4$	d)	$(x^2+4x+1)^2+3x^4-2x^2=(2x^2+2x+3)^2$

a)	$x=1$	b)	$x=\displaystyle\frac{5}{3}$
c)	$x=2$	d)	$x=-2$

Övning 2.2:3

Lös ekvationerna

a)	$\displaystyle\frac{x+3}{x-3}-\displaystyle\frac{x+5}{x-2}=0$
b)	$\displaystyle\frac{4x}{4x-7}-\displaystyle\frac{1}{2x-3}=1$
c)	$\left(\displaystyle\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\left(x^2+\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{6x-1}{3x-3}$
d)	$\left(\displaystyle\frac{2}{x}-3\right)\left(\displaystyle\frac{1}{4x}+\frac{1}{2}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{2}{3}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{1}{3}\right)=0$

a)	$x=9$
b)	$x=\displaystyle\frac{7}{5}$
c)	$x=\displaystyle\frac{4}{5}$
d)	$x=\displaystyle\frac{1}{2}$

Övning 2.2:4

a)	Skriv ekvationen för linjen $\,y=2x+3\,$ på formen $\,ax+by=c\,$.
b)	Skriv ekvationen för linjen $\,3x+4y-5=0\,$ på formen $\,y=kx+m\,$.

a)	$-2x+y=3$
b)	$y=-\displaystyle\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$

Övning 2.2:5

a)	Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\,(2,3)\,$ och $\,(3,0)\,$.
b)	Bestäm ekvationen för den räta linje som har riktningskoefficient $\,-3\,$ och går genom punkten $\,(1,-2)\,$.
c)	Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(-1,2)\,$ och är parallell med linjen $\,y=3x+1\,$.
d)	Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(2,4)\,$ och är vinkelrät mot linjen $\,y=2x+5\,$.
e)	Bestäm riktningskoefficienten, $\,k\,$, för den räta linje som skär x-axeln i punkten $\,(5,0)\,$ och y-axeln i punkten $\,(0,-8)\,$.

a)	$y=-3x+9$
b)	$y=-3x+1$
c)	$y=3x+5$
d)	$y=-\displaystyle \frac{1}{2}x+5$
e)	$k = \displaystyle\frac{8}{5}$

Övning 2.2:6

Finn skärningspunkten mellan följande linjer

a)	$y=3x+5\ $ och x-axeln	b)	$y=-x+5\ $ och y-axeln
c)	$4x+5y+6=0\ $ och y-axeln	d)	$x+y+1=0\ $ och $\ x=12$
e)	$2x+y-1=0\ $ och $\ y-2x-2=0$

a)	$\bigl(-\frac{5}{3},0\bigr)$	b)	$(0,5)$
c)	$\bigl(0,-\frac{6}{5}\bigr)$	d)	$(12,-13)$
e)	$\bigl(-\frac{1}{4},\frac{3}{2}\bigr)$

Övning 2.2:7

Skissera grafen till följande funktioner

a)	$f(x)=3x-2$	b)	$f(x)=2-x$	c)	$f(x)=2$

a)		b)
c)

Övning 2.2:8

Rita in i ett xy-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller

a)	$y \geq x $	b)	$y < 3x -4 $	c)	$2x+3y \leq 6 $

a)		b)
c)

Övning 2.2:9

Beräkna arean av den triangel som

a)	har hörn i punkterna $\,(1,4)\,$, $\,(3,3)\,$ och $\,(1,0)\,$
b)	begränsas av linjerna $\ x=2y\,$, $\ y=4\ $ och $\ y=10-2x\,$
c)	beskrivs av olikheterna $\ x+y \geq -2\,$, $\ 2x-y \leq 2\ $ och $\ 2y-x \leq 2\,$

a)	$4\,$ a.e.
b)	$5\,$ a.e.
c)	$6\,$ a.e.

Övning 2.3:1

Kvadratkomplettera följande uttryck

a)	$x^2-2x$	b)	$x^2+2x-1$	c)	$5+2x-x^2$	d)	$x^2+5x+3$

a)	$(x-1)^2-1$	b)	$(x+1)^2-2$	c)	$-(x-1)^2+6$	d)	$\bigl(x+\frac{5}{2}\bigr)^2-\frac{13}{4}$

</div>

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Övning 2.3:2

Lös följande andragradsekvationer med kvadratkomplettering

a)	$x^2-4x+3=0$	b)	$y^2+2y-15=0$	c)	$y^2+3y+4=0$
d)	$4x^2-28x+13=0$	e)	$5x^2+2x-3=0$	f)	$3x^2-10x+8=0$

Facit

Facit till alla delfrågor


a)	$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 1 \cr x_2 &= 3\cr }\right.$	b)	$\left\{ \eqalign{ y_1 &= -5 \cr y_2 &= 3\cr }\right.$	c)	saknar (reella) lösning
d)	$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\cr x_2 &= \textstyle\frac{13}{2}\cr }\right.$	e)	$\left\{ \eqalign{ x_1 &= -1 \cr x_2 &= \textstyle\frac{3}{5}\cr }\right.$	f)	$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{4}{3}\cr x_2 &= 2\cr }\right.$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Lösning e)

Lösning till delfråga e)

Lösning f)

Lösning till delfråga f)

Övning 2.3:3

Lös följande ekvationer direkt

a)	$x(x+3)=0$	b)	$(x-3)(x+5)=0$
c)	$5(3x-2)(x+8)=0$	d)	$x(x+3)-x(2x-9)=0$
e)	$(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$	f)	$x(x^2-2x)+x(2-x)=0$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 0 \cr x_2 & = -3\cr }\right.$	b)	$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 3 \cr x_2 & = -5\cr }\right. $
c)	$\left\{ \eqalign{ x_1 & = \textstyle\frac{2}{3} \cr x_2 & = -8\cr }\right. $	d)	$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0\cr x_2 & = 12\cr }\right. $
e)	$\left\{ \eqalign{ x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8\cr }\right. $	f)	$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right. $

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Lösning d)

Lösning till delfråga d)

Lösning e)

Lösning till delfråga e)

Lösning f)

Lösning till delfråga f)

Övning 2.3:4

Bestäm en andragradsekvation som har rötterna

a)	$-1\ $ och $\ 2$
b)	$1+\sqrt{3}\ $ och $\ 1-\sqrt{3}$
c)	$3\ $ och $\ \sqrt{3}$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$ax^2-ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.
b)	$ax^2-2ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.
c)	$ax^2-(3+\sqrt{3}\,)ax+3\sqrt{3}\,a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Övning 2.3:5

a)	Bestäm en andragradsekvation som bara har $\,-7\,$ som rot.
b)	Bestäm ett värde på $\,x\,$ som gör att uttrycket $\,4x^2-28x+48\,$ är negativt.
c)	Ekvationen $\,x^2+4x+b=0\,$ har en rot $\,x=1\,$. Bestäm värdet på konstanten $\,b\,$.

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	Exempelvis $\ x^2+14x+49=0\,$.
b)	$3< x<4$
c)	$b=-5$

Lösning a

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Övning 2.3:6

Bestäm det minsta värde som följande polynom antar

a)	$x^2-2x+1$	b)	$x^2-4x+2$	c)	$x^2-5x+7$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$0$	b)	$-2$	c)	$\displaystyle \frac{3}{4}$

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Övning 2.3:7

Bestäm det största värde som följande polynom antar

a)	$1-x^2$	b)	$-x^2+3x-4$	c)	$x^2+x+1$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$1$	b)	$\displaystyle -\frac{7}{4}$	c)	saknar max

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Övning 2.3:8

Skissera grafen till följande funktioner

a)	$f(x)=x^2+1$	b)	$f(x)=(x-1)^2+2$	c)	$f(x)=x^2-6x+11$

Facit

Facit till alla delfrågor

Se lösningarna.

Lösning a)

Lösning till delfråga a)

Lösning b)

Lösning till delfråga b)

Lösning c)

Lösning till delfråga c)

Övning 2.3:9

Hitta alla skärningspunkter mellan x-axeln och kurvan

a)	$y=x^2-1$	b)	$y=x^2-5x+6$	c)	$y=3x^2-12x+9$

Facit

Facit till alla delfrågor

a)	$(-1,0)\ $ och $\ (1,0)$	b)	$(2,0)\ $ och $\ (3,0)$	c)	$(1,0)\ $ och $\ (3,0)$

Övning 2.3:10

Rita in i ett xy-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller

a)	$y \geq x^2\ $ och $\ y \leq 1 $	b)	$y \leq 1-x^2\ $ och $\ x \geq 2y-3 $
c)	$1 \geq x \geq y^2 $	d)	$x^2 \leq y \leq x $

Facit

Facit till alla delfrågor

Se lösningarna.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/sf0600_0701/index.php/%C3%96vn_2

Övn 2

Sommarmatte 1

Versionen från 21 juni 2007 kl. 15.08

Innehåll

Övning 2.1:1

Övning 2.1:2

Övning 2.1:3

Övning 2.1:4

Övning 2.1:5

Övning 2.1:6

Övning 2.1:7

Övning 2.1:8

Övning 2.2:1

Övning 2.2:2

Övning 2.2:3

Övning 2.2:4

Övning 2.2:5

Övning 2.2:6

Övning 2.2:7

Övning 2.2:8

Övning 2.2:9

Övning 2.3:1

Övning 2.3:2

Övning 2.3:3

Övning 2.3:4

Övning 2.3:5

Övning 2.3:6

Övning 2.3:7

Övning 2.3:8

Övning 2.3:9

Övning 2.3:10

Visningar

Personliga verktyg

Navigering

Sök

Verktygslåda

 <tr><td height="5px"/></tr>
 </table>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:1==
+<div class="ovning">
+Kvadratkomplettera f&ouml;ljande uttryck
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$x^2-2x$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$x^2+2x-1$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$5+2x-x^2$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$x^2+5x+3$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class="svar">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$(x-1)^2-1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$(x+1)^2-2$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$-(x-1)^2+6$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="25%">$\bigl(x+\frac{5}{2}\bigr)^2-\frac{13}{4}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_1a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_1b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_1c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_1d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:2==
+<div class="ovning">
+L&ouml;s f&ouml;ljande andragradsekvationer med kvadratkomplettering
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+3=0$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y^2+2y-15=0$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y^2+3y+4=0$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$4x^2-28x+13=0$</td>
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$5x^2+2x-3=0$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$3x^2-10x+8=0$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor<br \>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr><td height="5px"/></tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 1 \cr x_2 &= 3\cr }\right.$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ y_1 &= -5 \cr y_2 &= 3\cr }\right.$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%"> saknar (reella) l&ouml;sning</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{ x_1 &= \textstyle\frac{1}{2}\cr x_2 &= \textstyle\frac{13}{2}\cr }\right.$</td>
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= -1 \cr x_2 &= \textstyle\frac{3}{5}\cr }\right.$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$ \left\{ \eqalign{  x_1 &= \textstyle\frac{4}{3}\cr x_2 &= 2\cr }\right.$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga e)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2e.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga f)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_2f.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:3==
+<div class="ovning">
+L&ouml;s f&ouml;ljande ekvationer direkt
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x(x+3)=0$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$(x-3)(x+5)=0$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$5(3x-2)(x+8)=0$</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x(x+3)-x(2x-9)=0$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$(x+3)(x-1)-(x+3)(2x-9)=0$</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x(x^2-2x)+x(2-x)=0$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor<br \>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 0 \cr x_2 & = -3\cr }\right.$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 &= 3 \cr x_2 & = -5\cr }\right. $</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{  x_1 & = \textstyle\frac{2}{3} \cr x_2 & = -8\cr }\right.  $</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0\cr x_2 & = 12\cr }\right.   $</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">e)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = -3 \cr x_2 & = 8\cr }\right.  $</td>
+<td class="ntext">f)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$\left\{ \eqalign{ x_1 & = 0 \cr x_2 & = 1 \cr x_3 & = 2 }\right.   $</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning d)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga d)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3d.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning e)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga e)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3e.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning f)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga f)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_3f.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:4==
+<div class="ovning">
+Best&auml;m en andragradsekvation som har r&ouml;tterna
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$-1\ $ och $\ 2$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$1+\sqrt{3}\ $ och $\ 1-\sqrt{3}$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$3\ $ och $\ \sqrt{3}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$ax^2-ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$ax^2-2ax-2a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$ax^2-(3+\sqrt{3}\,)ax+3\sqrt{3}\,a=0\,$, där $\,a\ne 0\,$ är en konstant.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4a-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4a-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4b-1(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4b-2(2).gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_4c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:5==
+<div class="ovning">
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Best&auml;m en andragradsekvation som bara har $\,-7\,$ som rot.</td>
+</tr>
+<tr>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Best&auml;m ett v&auml;rde p&aring; $\,x\,$ som g&ouml;r att uttrycket $\,4x^2-28x+48\,$ &auml;r negativt.</td>
+</tr>
+<tr>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Ekvationen $\,x^2+4x+b=0\,$ har en rot $\,x=1\,$. Best&auml;m v&auml;rdet p&aring; konstanten $\,b\,$.</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="100%">Exempelvis $\ x^2+14x+49=0\,$.</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$3< x<4$</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="100%">$b=-5$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_5a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_5b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_5c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:6==
+<div class="ovning">
+Best&auml;m det minsta v&auml;rde som f&ouml;ljande polynom antar
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2-2x+1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2-4x+2$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2-5x+7$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$0$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$-2$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{3}{4}$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_6a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_6b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_6c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:7==
+<div class="ovning">
+Best&auml;m det st&ouml;rsta v&auml;rde som f&ouml;ljande polynom antar
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$1-x^2$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$-x^2+3x-4$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$x^2+x+1$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor<br \>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$\displaystyle -\frac{7}{4}$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">saknar max</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_7a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_7b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_7c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:8==
+<div class="ovning">
+Skissera grafen till f&ouml;ljande funktioner
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2+1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$f(x)=(x-1)^2+2$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$f(x)=x^2-6x+11$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor<br \>
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td>Se lösningarna.</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning a)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga a)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_8a.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning b)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga b)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_8b.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>L&ouml;sning c)&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Lösning till delfråga c)
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr>
+<td align="center">
+[[Bild:2_3_8c.gif]]
+</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:9==
+<div class="ovning">
+Hitta alla sk&auml;rningspunkter mellan x-axeln och kurvan
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y=x^2-1$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y=x^2-5x+6$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$y=3x^2-12x+9$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$(-1,0)\ $ och $\ (1,0)$</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$(2,0)\ $ och $\ (3,0)$</td>
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="33%">$(1,0)\ $ och $\ (3,0)$</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+</div>
+==&Ouml;vning 2.3:10==
+<div class="ovning">
+Rita in i ett ''xy''-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td class="ntext">a)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$y \geq x^2\ $ och $\ y \leq 1 $</td>
+<td class="ntext">b)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$y \leq 1-x^2\ $ och $\ x \geq 2y-3 $</td>
+</tr>
+<tr align="left">
+<td class="ntext">c)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$1 \geq x \geq y^2 $</td>
+<td class="ntext">d)</td>
+<td class="ntext" width="50%">$x^2 \leq y \leq x $</td>
+</tr>
+<tr><td height="5px"/></tr>
+</table>
+</div>
+<div class=NavFrame style="CLEAR: both">
+<div class=NavHead>Facit&nbsp;</div>
+<div class=NavContent>
+Facit till alla delfrågor
+<table width="100%" cellspacing="10px">
+<tr align="left">
+<td>Se lösningarna.</td>
+</tr>
+</table>
+</div>
 </div>