Övningar 1.1
Sommarmatte 1
(Skillnad mellan versioner)
| Versionen från 17 juli 2007 kl. 09.35 (redigera) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) ← Gå till föregående ändring |
Versionen från 18 juli 2007 kl. 08.04 (redigera) (ogör) KTH.SE:u1zpa8nw (Diskussion | bidrag) Gå till nästa ändring → |
||
| Rad 1: | Rad 1: | ||
| - | __NOTOC__ | ||
| '''Övning 1.1:1''' | '''Övning 1.1:1''' | ||
| - | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;> |
| - | Beräkna (utan hjälp av räknedosa) | + | Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren. <br\> |
| - | <table width="100%"> | + | [[Bild:o_1_1_1a.gif]] |
| - | <tr align="left"> | + | <table width="100%" cellspacing="10px"> |
| - | <td class="ntext">a) </td> | + | <tr align="left" valign="top"> |
| - | <td class="ntext" width="50%">$3-7-4+6-5$</td> | + | <td class="ntext">a)</td> |
| - | <td class="ntext">b) </td> | + | <td class="ntext" width="100%">Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$?</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">$3-(7-4)+(6-5)$</td> | + | |
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr align="left"> | + | <tr align="left" valign="top"> |
| - | <td class="ntext">c) </td> | + | <td class="ntext">b)</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">$3-(7-(4+6)-5)$</td> | + | <td class="ntext" width="100%">För vilka $x$-värden är $f'(x)=0$?</td> |
| - | <td class="ntext">d) </td> | + | </tr> |
| - | <td class="ntext" width="50%">$3-(7-(4+6))-5$</td> | + | <tr align="left" valign="top"> |
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="100%">I vilket eller vilka intervall är $f'(x)$ negativ?</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| Rad 21: | Rad 21: | ||
| '''Övning 1.1:2''' | '''Övning 1.1:2''' | ||
| - | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;> |
| - | Beräkna (utan hjälp av räknedosa) | + | Bestäm $f'(x)$ om |
| - | <table width="100%"> | + | <table width="100%" cellspacing="10px"> |
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a) </td> | + | <td class="ntext">a)</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">$(3-(7-4))(6-5)$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$f(x) = x^2 -3x +1$</td> |
| - | <td class="ntext">b) </td> | + | <td class="ntext">b)</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">$3-(((7-4)+6)-5)$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$f(x)=\cos x -\sin x$</td> |
| + | <td class="ntext">c)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$f(x)= e^x-\ln x$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">c) </td> | + | <td class="ntext">d)</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">$3\cdot(-7)-4\cdot(6-5)$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$f(x)=\sqrt{x}$</td> |
| - | <td class="ntext">d) </td> | + | <td class="ntext">e)</td> |
| - | <td class="ntext" width="50%">$3\cdot(-7)-(4+6)/(-5)$</td> | + | <td class="ntext" width="33%">$f(x) = (x^2-1)^2$</td> |
| + | <td class="ntext">f)</td> | ||
| + | <td class="ntext" width="33%">$f(x)= \cos (x+\pi/3)$</td> | ||
| </tr> | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| </div> | </div> | ||
| '''Övning 1.1:3''' | '''Övning 1.1:3''' | ||
| - | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;> |
| - | Vilka av följande tal tillhör de naturliga talen? heltalen? | + | En liten boll som släpps från höjden $h=10$m ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\displaystyle\frac{9,\!82}{2}\,t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen? |
| - | rationella talen? irrationella talen? Förenkla först! | + | </div> |
| - | <table width="100%"> | + | |
| + | <div class=NavFrame style="CLEAR: both"> | ||
| + | <div class=NavHead>Facit </div> | ||
| + | <div class=NavContent> | ||
| + | <table width="100%" cellspacing="10px"> | ||
| <tr align="left"> | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a) </td> | + | <td class="ntext" width="100%">$14{,}0\,$ m/s</td> |
| - | <td class="ntext" width="33%">$8$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">b) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$-4$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">c) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$8-4$</td> | + | |
| - | </tr> | + | |
| - | <tr align="left"> | + | |
| - | <td class="ntext">d) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$4-8$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">e) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$8(-4)$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">f) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$(-8)(-4)$</td> | + | |
| - | </tr> | + | |
| - | <tr align="left"> | + | |
| - | <td class="ntext">g) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{4}{-8}$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">h) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{-8}{-4}$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">i) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$</td> | + | |
| - | </tr> | + | |
| - | <tr align="left"> | + | |
| - | <td class="ntext">j) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$\displaystyle \Bigl(\frac{4}{\sqrt{2}}\Bigr)^2$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">k) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$-\pi$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">l) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="33%">$\pi+1$</td> | + | |
| </tr> | </tr> | ||
| <tr><td height="5px"/></tr> | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| </table> | </table> | ||
| + | </div> | ||
| </div> | </div> | ||
| '''Övning 1.1:4''' | '''Övning 1.1:4''' | ||
| - | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;> |
| - | Ordna följande tal i storleksordning | + | Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan $y=x^2$ i punkten $(1,1)$. |
| - | <table width="100%"> | + | |
| - | <tr align="left"> | + | |
| - | <td class="ntext">a) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="100%">$\displaystyle 2,\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{3}\ $ och $\ \displaystyle \frac{7}{3}$</td> | + | |
| - | </tr> | + | |
| - | <tr> | + | |
| - | <td class="ntext">b) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="100%">$\displaystyle -\frac{1}{2},\ -\frac{1}{5},\ -\frac{3}{10}\ $ och $\ \displaystyle -\frac{1}{3}$</td> | + | |
| - | </tr> | + | |
| - | <tr> | + | |
| - | <td class="ntext">c) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="100%">$\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{8}\ $ och $\ \displaystyle \frac{21}{34}$</td> | + | |
| - | </tr> | + | |
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | |
| - | </table> | + | |
| </div> | </div> | ||
| '''Övning 1.1:5''' | '''Övning 1.1:5''' | ||
| - | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> | + | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;> |
| - | Ange decimalutvecklingen med tre korrekta decimaler till | + | Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$. |
| - | <table width="100%"> | + | |
| - | <tr align="left"> | + | |
| - | <td class="ntext">a) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{7}{6}$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">b) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{9}{4}$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">c) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="25%">$\displaystyle \frac{2}{7}$</td> | + | |
| - | <td class="ntext">d) </td> | + | |
| - | <td class="ntext" width="25%">$\sqrt{2}$</td> | + | |
| - | </tr> | + | |
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | + | |
| - | </table> | + | |
| </div> | </div> | ||
| - | |||
| - | '''Övning 1.1:6''' | ||
| - | <div class="ovning" style="margin-top:-20px; margin-bottom:-5px;"> | ||
| - | Vilka av följande tal är rationella? Ange dem som en kvot mellan heltal. | ||
| - | <table width="100%"> | ||
| - | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">a) </td> | ||
| - | <td class="ntext" width="100%">$3,14$</td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">b) </td> | ||
| - | <td class="ntext" width="100%">$3{,}1416\,1416\,1416\,\dots$</td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">c) </td> | ||
| - | <td class="ntext" width="100%">$0{,}2\,001\,001\,001\,\dots\,$ (därefter är var tredje decimal en 1:a och övriga 0)</td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | <tr align="left"> | ||
| - | <td class="ntext">d) </td> | ||
| - | <td class="ntext" width="100%">$0{,}10\,100\,1000\,10000\,1\dots\, $ (en 1:a, en 0:a, en 1:a, två 0:or, en 1:a, tre 0:or osv.)</td> | ||
| - | </tr> | ||
| - | <tr><td height="5px"/></tr> | ||
| - | </table> | ||
| - | </div> | ||
| - | |||
| - | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | ||
| - | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | ||
| - | <br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br><br> | ||
Versionen från 18 juli 2007 kl. 08.04
Övning 1.1:1
Grafen till $f(x)$ är ritad i figuren.
| a) | Vilket tecken har $f'(-4)$ respektive $f'(1)$? |
| b) | För vilka $x$-värden är $f'(x)=0$? |
| c) | I vilket eller vilka intervall är $f'(x)$ negativ? |
Övning 1.1:2
Bestäm $f'(x)$ om
| a) | $f(x) = x^2 -3x +1$ | b) | $f(x)=\cos x -\sin x$ | c) | $f(x)= e^x-\ln x$ |
| d) | $f(x)=\sqrt{x}$ | e) | $f(x) = (x^2-1)^2$ | f) | $f(x)= \cos (x+\pi/3)$ |
Övning 1.1:3
En liten boll som släpps från höjden $h=10$m ovanför marken vid tidpunkten $t=0$, har vid tiden $t$ (mätt i sekunder) höjden $h(t)=10-\displaystyle\frac{9,\!82}{2}\,t^2$. Vilken fart har bollen när den slår i backen?
Facit
| $14{,}0\,$ m/s |
Övning 1.1:4
Bestäm ekvationen för tangenten och normalen till kurvan $y=x^2$ i punkten $(1,1)$.
Övning 1.1:5
Bestäm alla punkter på kurvan $y=-x^2$ som har en tangent som går genom punkten $(1,1)$.
