2.1 Algebraiska uttryck

Sommarmatte 1

(Skillnad mellan versioner)

Hoppa till: navigering, sök

Versionen från 25 april 2007 kl. 08.23

Innehåll:

Den distributiva lagen
Olika kvadreringsregler
Konjugatregeln
Rationella uttryck

Läromål:

Efter detta avsnitt ska du ha lärt dig att:

Förenkla komplicerade algebraiska uttryck.
Faktorisera uttryck med kvadreringsregler och konjugatregeln.
Utveckla uttryck med kvadreringsregler och konjugatregeln.

Övningar

Innehåll

1 Teori

Teori

Distributiva lagen

Den distrubtiva lagen anger hur man multiplicerar in en faktor i en parentes.

(Bild: figur 2.1.1)

Exempel 1

$4 (x+y) = 4x + 4y$
$2(a-b) = 2a -2b$
$x \left(\displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \displaystyle\frac{1}{x} + x \cdot \displaystyle\frac{1}{x^2} = \displaystyle\frac{\not{x}}{\not{x}} + \displaystyle\frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \displaystyle\frac{1}{x}$
$a(x+y+z) = ax + ay + az$

Med den distrubtiva lagen kan vi också förstå hur vi kan hanter minustecken framför parantesuttryck. Regeln säger att en parantes med ett minustecken framför kan tas bort om alla termer inuti parantesen byter tecken.

Exempel 2

$-(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y$
$-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x$
där vi i sista ledet användt att $-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x=x$
$-(x+y+y^3) = (-1)\cdot (x+y+y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3$
$=-x-y+y^3$
$x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2$
$= x^2 -5x -2$

Om den distrubtiva lagen används baklänges så sägs vi faktorisera uttrycket. Ofta försöker man bryta ut en så stor faktor som möjligt.

Exempel 3

$3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)$
$xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)$
$2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)$
$\displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \displaystyle \frac{-(x-y)}{x-y} = \displaystyle \frac{-1}{1} = -1$

Kvaderingsreglerna

Den distrubtiva lagen behöver ibland användas upprepade gånger för att behandla större uttryck. Om vi betraktar

$$(a+b)(c+d)$$

och ser $a+b$ som en faktor som multipliceras in i parentesen (c+d) så får vi

$$\bbox[#AAEEFF,5pt]{\quad \quad } (c+d) = \bbox[#AAEEFF,5pt]{\quad \quad } c + \bbox[#AAEEFF,5pt]{\quad \quad }d$$ $$(a+b)(c+d) = (a+b)c + (a+b)d$$

Sedan kan $c$ och $d$ multipliceras in i respektive parentes

$$(a+b)c + (a+b)d = ac + ad + bc + bd \, \mbox{.}$$

Ett minnesvärt sätt att sammanfatta formeln är:

(Bild: figur 2.1.2)

Exempel 4

$(x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2$
$=x^2 -x-2$
$3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)$
$=6x^2 +3x-6xy-3y$
$(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2$
$=2-3x+x^2$

där vi använt att $-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 =1\cdot x^2 = x^2$.

Två viktiga specialfall av ovanstående formel är när $a+b$ och $c+d$ är samma uttryck

Kvaderingsreglerna $$(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2$$ $$(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$$

Dessa formler kallas för första och andra kvaderingsregeln.

Exempel 5

$(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4$
$(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9$
där $(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$
$(x^2 -4)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot 4x^2 + 4^2 = x^4 -8x^2 +16$
$(x+1)^2 - (x-1)^2 = (x^2 +2x +1)- (x^2-2x+1) = x^2 +2x +1 -x^2 + 2x-1$
$=2x+2x=4x$
$(2x+4)(x+2) = 2(x+2)(x+2) = 2(x+2)^2 = 2(x^2 + 4x+ 4)$
$=2x^2 + 8x + 8$
$(x-2)^3 = (x-2)(x-2)^2 = (x-2)(x^2-4x+4)$
$=x \cdot x^2 + x\cdot (-4x) + x\cdot 4 - 2\cdot x^2 - 2 \cdot (-4x)-2 \cdot 4$
$=x^3 -4x^2 + 4x-2x^2 +8x -8 = x^3-6x^2 + 12x -8$

Kvaderingsreglerna används också i omvänd riktning för att faktorisera uttryck.

Exempel 6

$x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2$
$x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2$
$x^2 +x + \displaystyle \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\displaystyle \frac{1}{2}x + \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 = \left(x+\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 $

Konjugatregeln

Ett tredje specialfall av den första formeln i förra avsnittet är konjugatregeln

Konjugatregeln: $$/a+b)(a-b) = a^2 -b^2$$

Denna formel kan vi annars få fram direkt genom att utveckla vänsterledet

$$(a+b)(a-b)= a \cdot a + a\cdot (-b) + b\cdot a + b \cdot (-b) = a^2 -ab+ab-b^2 = a^2 -b^2$$

Exempel 7

$(x-4y)(x+4y) = x^2 -(4y)^2 = x^2 -16y^2$
$(x^2+2x)(x^2-2x)= (x^2)^2 - (2x)^2 = x^4 -4x^2$
$(y+3)(3-y)= (3+y)(3-y) = 3^2 -y^2 = 9-y^2$
$x^4 -16 = (x^2)^2 -4^2 = (x^2+4)(x^2-4)= (x^2+4)(x^2-2^2)$
$(x^2+4)(x+2)(x-2)$

Rationella uttryck

Räkning med algebraiska uttryck som innehåller bråk liknar till stor del vanlig bråkräkning.

Multiplikation och division av bråkuttryck följer samma räkneregler som gäller för vanliga bråktal,

$$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a\cdot c}{b\cdot d} \quad \mbox{och} \quad \frac{\displaystyle\frac{a}{b}}{\displaystyle\frac{c}{d}} = \frac{a\cdot d}{b\cdot c} \; \mbox{.}$$

Exempel 8

$\displaystyle\frac{3x}{x-y} \cdot \displaystyle\frac{4x}{2x+y} = \displaystyle \frac{12x^2}{(x-y)(2x+y)}$
$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{a}{x}}{\displaystyle \frac{x+1}{a}} = \displaystyle \frac{a^2}{x(x+1)}$
$\displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{x}{(x+1)^2}}{\displaystyle \frac{x-2}{x-1}} = \displaystyle \frac{x(x-1)}{(x-2)(x+1)^2}$

Förlängning av ett bråkuttryck innebär att vi multiplicerar täljare och nämnare med samma faktor

$$\displaystyle \frac{x+2}{x+1} = \displaystyle \frac{(x+2)(x+3)}{(x+1)(x+3)} = \displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }= \dots$$

Förkortning av ett bråkuttryck innebär att vi stryker faktorer som täljaren och nämnaren har gemensamt

Ska in styrkningar här!

$$\displaystyle \frac{(x+2)(x+3)(x+4)}{(x+1)(x+3)(x+4) }= \displaystyle \frac{(x+2)(x+4)}{(x+1)(x+4)} = \displaystyle \frac{x+2}{x+1} \mbox{.}$$

Exempel 9

$\displaystyle \frac{x}{x+1} = \displaystyle \frac{x}{x+1} \cdot \displaystyle \frac{x+2}{x+2}= \displaystyle \frac{x(x+2)}{(x+1)(x+2)}$
$\displaystyle \frac{x^2 -1}{x(x^2-1)}= \displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \frac{(x^2-y^2)(x-2)}{(x^2-4)(x+y)}= \left\{konjugatregeln\right\} = \displaystyle \frac{(x+y)(x-y)(x-2)}{(x+2)(x-2)(x+y)} = \displaystyle \frac{x-y}{x+2}$

När bråkuttryck adderas eller subtraheras behöver de, om så är nödvändigt, förlängas så att de får samma nämnare innan täljaren kan kombineras ihop,

$$\displaystyle \frac{1}{x} - \displaystyle \frac{1}{x-1} = \displaystyle \frac{1}{x} \cdot \displaystyle \frac{x-1}{x-1} - \displaystyle \frac{1}{x-1} \cdot \displaystyle \frac{x}{x} = \displaystyle \frac{x-1}{x(x-1)} - \displaystyle \frac{x}{x(x-1)} = \displaystyle \frac{x-1-x}{x(x-1)} = \displaystyle \frac{-1}{x(x-1)} \; \mbox{.}$$

Ofta försöker man förlänga med så lite som möjligt för att underlätta räknandet. Minsta gemensamma nämnare (MGN) är den gemensamma nämnare som innehåller minst antal faktorer.

Exempel 10

$\displaystyle \frac{1}{x+1} + \displaystyle \frac{1}{x+2}\quad$ har MGN $=(x+1)(x+2)$

$\displaystyle \frac{1}{x+1} + \displaystyle \frac{1}{x+2} = \displaystyle \frac{x+2}{(x+1)(x+2)} + \displaystyle \frac{x+1}{(x+2)(x+1)}= \displaystyle \frac{x+2+x+1}{(x+1)(x+2)} = \displaystyle \frac{2x+3}{(x+1)(x+2)}$
$\displaystyle \frac{1}{x} + \displaystyle \frac{1}{x^2}\quad$ har MGN $=x^2$

$\displaystyle \frac{1}{x} + \displaystyle \frac{1}{x^2} = \displaystyle \frac{x}{x^2} + \displaystyle \frac{1}{x^2} = \displaystyle \frac{x+1}{x^2}$
$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \displaystyle \frac{1}{x^2(x+2)}\quad$ har MGN $= x^2(x+1)^2(x+2)$

$\displaystyle \frac{1}{x(x+1)^2} - \displaystyle \frac{1}{x^2(x+2)} = \displaystyle \frac{x(x+2)}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \displaystyle \frac{(x+1)^2}{x^2(x+1)^2(x+2)}$

$=\displaystyle \frac{x^2+2x}{x^2(x+1)^2(x+2)} - \displaystyle \frac{x^2+2x+1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \displaystyle \frac{x^2+2x-(x^2+2x+1)}{x^2(x+1)^2(x+2)}$

$ = \displaystyle \frac{x^2+2x-x^2-2x-1}{x^2(x+1)^2(x+2)} = \displaystyle \frac{-1}{x^2(x+1)^2(x+2)}$
$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \displaystyle \frac{1}{x(x-1)} -1 \quad$ har MGN $=x(x-1)(x+1)$

$\displaystyle \frac{x}{x+1} - \displaystyle \frac{1}{x(x-1)} -1 = \displaystyle \frac{x^2(x-1)}{x(x-1)(x+1)} - \displaystyle \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} -\displaystyle \frac{x(x-1)(x+1)}{x(x-1)(x+1)}$

$=\displaystyle \frac{x^3-x^2}{x(x-1)(x+1)} - \displaystyle \frac{x+1}{x(x-1)(x+1)} -\displaystyle \frac{x^3 -x}{x(x-1)(x+1)}$

$=\displaystyle \frac{x^3-x^2 -(x+1) -(x^3-x)}{x(x-1)(x+1)} = \displaystyle \frac{x^3-x^2 -x-1 -x^3+x}{x(x-1)(x+1)} $

$= \displaystyle \frac{-x^2-1}{x(x-1)(x+1)} $

Vid förenkling av större uttryck är det ofta nödvändigt att både förlänga och förkorta i steg. Eftersom förkortning förutsätter att vi kan faktorisera uttryck är det viktigt att försöka behålla uttryck (t.ex nämnare) faktoriserade och inte utveckla något som vi senare behöver faktorisera.

Exempel 11

$\displaystyle \frac{1}{x-2} - \displaystyle \frac{4}{x^2-4} = \displaystyle \frac{1}{x-2} - \displaystyle \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \left\{\mbox{MGN} = (x+2)(x-2)\right\}$

$= \displaystyle \frac{x+2}{(x+2)(x-2)} - \displaystyle \frac{4}{(x+2)(x-2)} = \displaystyle \frac{x+2 -4}{(x+2)(x-2)}$

$= \displaystyle \frac{x-2}{(x+2)(x-2)} = = \displaystyle \frac{1}{x+2}$
$\displaystyle \frac{x + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x^2}{x} + \displaystyle \frac{1}{x}}{x^2+1} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{x^2+1}{x}}{x^2+1} = \displaystyle \frac{x^2+1}{x(x^2+1} = \displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{1}{x^2} - \displaystyle \frac{1}{y^2}}{x+y} = \displaystyle \frac{ \displaystyle \frac{y^2}{x^2y^2} - \displaystyle \frac{x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \displaystyle \frac{\displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2}}{x+y} = \displaystyle \frac{y^2-x^2}{x^2y^2(x+y)}$

$ \displaystyle \frac{(y+x)(y-x)}{x^2y^2(x+y)} = \displaystyle \frac{x-y}{x^2y^2}$