|
Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt
för upprepad addition av samma tal, t.ex.
$
4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5
$
På ett liknande sätt används potenser som ett kortare
skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal:
$
4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5
$
Siffran 4 kallas för potensens bas och siffran 5 dess exponent.
Exempel 1
- $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$
- $10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100 000$
- $0{,}1^3 = 0{,}1 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}1 = 0{,}001$
- $(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)= 16 $ , men
$ -2^4 = -(2^4) = - (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) = -16$
- $ 2\cdot 3^2 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 18 $ , men
$ (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36$
Exempel 2
- $ \left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^3 = \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3}\cdot \displaystyle\frac{2}{3} = \displaystyle\frac{2^3}{3^3} = \displaystyle\frac{8}{27}
$
- $(2\cdot 3)^4 = (2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)\cdot(2\cdot 3)=$
$
2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296
$
Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:
$$\left(\displaystyle\frac{a}{b}\right)^m = \displaystyle\frac{a^m}{b^m} \quad \mbox{och}\quad (ab)^m = a^m b^m$$
Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar
beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att
$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 5 \mbox{ st }} = \underbrace{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ (3 + 5) \mbox{st}} = 2^{3+5} = 2^8$
vilket generellt kan skrivas
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$
Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas:
$
\displaystyle\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} =
2^{7-3}=2^4
$
Den allmänna regeln blir
$$\displaystyle\frac{a^m}{a^n}= a^{m-n}$$
När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare
en användbar räkneregel. Vi ser att
$
(5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} = \underbrace{5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\,}_{ 3 \mbox{ gånger } 2 \mbox{ st }} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6
$
och
$
(5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} = \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,\cdot\,(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 2 \mbox{ gånger } 3 \mbox{ st }}=5^{2\cdot3}=5^6
$
Allmänt kan detta skrivas
$$(a^m)^n = a^{m \cdot n} $$
Exempel 3
- $
2^9 \cdot 2^{14} = 2^{9+14} = 2^{23}
$
- $
5\cdot5^3 = 5^1\cdot5^3 = 5^{1+3} = 5^4
$
- $
3^2 \cdot 3^3 \cdot 3^4 = 3^{2+3+4} = 3^9
$
- $
10^5 \cdot 1000 = 10^5 \cdot 10^3 = 10^{5+3} = 10^8
$
Exempel 4
- $\displaystyle\frac{3^{100}}{3^{98}} = 3^{100-98} = 3^2
$
- $\displaystyle\frac{7^{10}}{7} = \displaystyle\frac{7^{10}}{7^1} =7^{10-1} = 7^9
$
Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:
$
\displaystyle\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0 $
samtidigt som
$ \displaystyle\frac{5^3}{5^3} = \displaystyle\frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \displaystyle\frac{125}{125} = 1$.
För att räknereglerna för potenser ska stämma gör
man alltså den naturliga definitionen att för alla a som inte är 0 gäller att
Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är
större än den i täljaren. Vi får t.ex.
$
\displaystyle\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} $ och
$ \displaystyle\frac{3^4}{3^6} =
\displaystyle\frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} =
\displaystyle\frac{1}{3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3^2}
$
Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa
exponenten betyda att
$
3^{-2} = \displaystyle\frac{1}{3^2}
$
Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla
tal a som inte är 0 gäller att
$$a^{-n} = \displaystyle\frac{1}{a^n}$$
Exempel 5
- $
(-1)^{56} = 1$ eftersom $56$ är ett jämnt tal
- $
\displaystyle \frac{1}{(-1)^{11}} = \displaystyle \frac{1}{-1} = -1$ eftersom 11 är ett udda tal
- $
\displaystyle \frac{(-2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1 \cdot 2)^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{(-1)^{127} \cdot 2^{127}}{2^{130}} = \displaystyle \frac{-1 \cdot 2^{127}}{2^{130}} = - 2^{127-130} = -2^{-3} = - \displaystyle \frac{1}{2^3} = - \displaystyle \frac{1}{8}$
Exempel 6
- $
\displaystyle\frac{7^{1293}}{7^{1293}} = 7^{1293 - 1293} = 7^0 = 1
$
- $
3^7 \cdot 3^{-9} \cdot 3^4 = 3^{7+(-9)+4} = 3^2
$
- $
(-1)^{-999} = \displaystyle\frac{1}{(-1)^{999}} = \displaystyle\frac{1}{-1} = -1
$
- $
0,001 = \displaystyle\frac{1}{1000} = \displaystyle\frac{1}{10^3} = 10^{-3}
$
- $
0,008 = \displaystyle\frac{8}{1000} = \displaystyle\frac{1}{125} = \displaystyle\frac{1}{5^3} = 5^{-3}
$
- $
\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^{-1} = \displaystyle\frac{1}{\left(\displaystyle\frac{2}{3}\right)^1} = 1\cdot \displaystyle\frac{3}{2} = \displaystyle\frac{3}{2}
$
- $
\left(\displaystyle\frac{1}{3^2}\right)^{-3} = (3^{-2})^{-3} = 3^{(-2)\cdot(-3)}=3^6
$
- $
0.01^5 = (10^{-2})^5 = 10^{-2 \cdot 5} = 10^{-10}
$
Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt
försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att
välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna
igen potenser av dessa tal, exempelvis
$
4=2^2 \;,\; 8=2^3 \;,\; 16=2^4 \;,\; 32=2^5 \;,\; 64=2^6 \;,\; 128=2^7 \;,\ldots
$
$
9=3^2 \;,\; 27=3^3 \;,\; 81=3^4 \;,\; 243=3^5 \;,\ldots
$
$
25=5^2 \;,\; 125=5^3 \;,\; 625=5^4 \;,\ldots
$
Men även
$
\displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2^2} = 2^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{2^3}=2^{-3} \;,\; \displaystyle\frac{1}{16}=\displaystyle\frac{1}{2^4}=2^{-4} \;,\ldots
$
$
\displaystyle \frac{1}{9}=\displaystyle \frac{1}{3^2}=3^{-2} \;,\; \displaystyle \frac{1}{27}=\displaystyle \frac{1}{3^3}=3^{-3} \;,\ldots
$
$
\displaystyle\frac{1}{25}=\displaystyle\frac{1}{5^2}=5^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{125}=\displaystyle\frac{1}{5^3}=5^{-3} \;,\ldots
$
o.s.v.
Exempel 7
- Skriv som en potens med basen 2:
$ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 $
Lösning:
$ 8^3 \cdot 4^{-2} \cdot 16 = (2^3)^3 \cdot (2^2)^{-2} \cdot 2^4 = 2^{3 \cdot 3} \cdot 2^{2 \cdot (-2)} \cdot 2^4
= 2^9 \cdot 2^{-4} \cdot 2^4 = 2^{9-4+4} =2^9$
- Skriv som en potens av basen 3:
$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2}$
Lösning:
$\displaystyle\frac{27^2 \cdot (1/9)^{-2}}{81^2} =
\displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (1/3^2)^{-2}}{(3^4)^2} =
\displaystyle\frac{(3^3)^2 \cdot (3^{-2})^{-2}}{(3^4)^2}$ $ =
\displaystyle\frac{3^{3 \cdot 2} \cdot 3^{(-2) \cdot (-2)}}{3^{4 \cdot 2}} =
\displaystyle\frac{3^6\cdot 3^4}{3^8} = \displaystyle\frac{3^{6 + 4}}{3^8}=
\displaystyle\frac{3^{10}}{3^8} =
3^{10-8}= 3^2$
- Skriv så enkelt som möjligt:
$\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}$
Lösning:
$
\displaystyle\frac{81 \cdot 32^2 \cdot (2/3)^2}{2^5+2^4}=
\displaystyle\frac{3^4 \cdot (2^5)^2 \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^{4+1}+2^4} =
\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{5 \cdot 2} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 2^1 +2^4} =
\displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot \displaystyle\frac{2^2}{3^2}}{2^4 \cdot(2^1+1)}$ $ =
\displaystyle\frac{ \displaystyle\frac{3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2}{3^2}}{2^4 \cdot 3} =
\displaystyle\frac{ 3^4 \cdot 2^{10} \cdot 2^2 }{3^2 \cdot 2^4 \cdot 3 } =
3^{4-2-1} \cdot 2^{10+2-4}=
3^1 \cdot 2^8=
3\cdot 2^8
$
Råd för inläsning
Tänk på att:
text
Lästips
stående
Länktips
stående
© Copyright 2006, KTH Matematik
| 
