x.x styckerubrik

Övningar

Teori

Potenser

Vi använder multiplikationssymbolen som ett kortare skrivsätt för upprepad addition av samma tal, t.ex.

$ 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 4 \cdot 5 $

På ett liknande sätt används potenser som ett kortare skrivsätt för upprepad multiplikation av samma tal:

$ 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^5 $

Siffran 4 kallas för potensens bas och siffran 5 dess exponent.

Det sista exemplet kan generaliseras till två användbara räkneregler för potenser:

Potenslagar

Med definitionen av potens följer ytterligare några räkneregler som förenklar beräkningar med potenser inblandade. Man ser t.ex. att

$2^3 \cdot 2^5 = \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ 5 \mbox{ st }} = \underbrace{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\,}_{ (3 + 5) \mbox{st}} = 2^{3+5} = 2^8$

vilket generellt kan skrivas

Vid division av potenser kan också beräkningarna förenklas om potenserna har samma bas:

$ \displaystyle\frac{2^7}{2^3}=\displaystyle\frac{ 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2} }{ \not{2}\cdot \not{2}\cdot \not{2}} = 2^{7-3}=2^4 $

Den allmänna regeln blir

När man råkar ut för en potens av en potens finns ytterligare en användbar räkneregel. Vi ser att

$ (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{5\cdot 5\,}_{ 2 \mbox{ st }} = \underbrace{5\cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5\,}_{ 3 \mbox{ gånger } 2 \mbox{ st }} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 $

och

$ (5^3)^2 = 5^3\cdot5^3= \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} \cdot \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 3 \mbox{ st }} = \underbrace{(5\cdot 5 \cdot 5)\,\cdot\,(5\cdot 5 \cdot 5)\,}_{ 2 \mbox{ gånger } 3 \mbox{ st }}=5^{2\cdot3}=5^6 $

Allmänt kan detta skrivas

Om ett bråk har samma potensuttryck i både täljare och nämnare så inträffar följande:

$ \displaystyle\frac{5^3}{5^3} = 5^{3-3} = 5^0 $  samtidigt som  $ \displaystyle\frac{5^3}{5^3} = \displaystyle\frac{ 5 \cdot 5 \cdot 5 }{ 5 \cdot 5 \cdot 5 } = \displaystyle\frac{125}{125} = 1$.

För att räknereglerna för potenser ska stämma gör man alltså den naturliga definitionen att för alla a som inte är 0 gäller att

Vi kan också råka ut för att exponenten i nämnaren är större än den i täljaren. Vi får t.ex.

$ \displaystyle\frac{3^4}{3^6} = 3^{4-6} = 3^{-2} $  och

 $ \displaystyle\frac{3^4}{3^6} = \displaystyle\frac{\not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} }{ \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot \not{3} \cdot 3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3 \cdot 3} = \displaystyle\frac{1}{3^2} $

Vi ser här att enligt våra räkneregler måste den negativa exponenten betyda att

$ 3^{-2} = \displaystyle\frac{1}{3^2} $

Den allmänna definitionen av negativa exponenter är att, för alla tal a som inte är 0 gäller att

Byte av bas

Man bör vara uppmärksam på att vid förenkling av uttryck om möjligt försöka skriva ihop potenser genom att välja samma bas. Det handlar ofta om att välja 2, 3 eller 5 som bas och därför bör man lära sig att känna igen potenser av dessa tal, exempelvis

$ 4=2^2 \;,\; 8=2^3 \;,\; 16=2^4 \;,\; 32=2^5 \;,\; 64=2^6 \;,\; 128=2^7 \;,\ldots $

$ 9=3^2 \;,\; 27=3^3 \;,\; 81=3^4 \;,\; 243=3^5 \;,\ldots $

$ 25=5^2 \;,\; 125=5^3 \;,\; 625=5^4 \;,\ldots $

Men även

$ \displaystyle\frac{1}{4}=\displaystyle\frac{1}{2^2} = 2^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{8}=\displaystyle\frac{1}{2^3}=2^{-3} \;,\; \displaystyle\frac{1}{16}=\displaystyle\frac{1}{2^4}=2^{-4} \;,\ldots $

$ \displaystyle \frac{1}{9}=\displaystyle \frac{1}{3^2}=3^{-2} \;,\; \displaystyle \frac{1}{27}=\displaystyle \frac{1}{3^3}=3^{-3} \;,\ldots $

$ \displaystyle\frac{1}{25}=\displaystyle\frac{1}{5^2}=5^{-2} \;,\; \displaystyle\frac{1}{125}=\displaystyle\frac{1}{5^3}=5^{-3} \;,\ldots $

o.s.v.

Rationell exponent

Vad händer om ett tal höjs upp till en rationell exponent? Gäller fortfarande de definitioner och räkneregler vi har använt oss av ovan?

Eftersom exempelvis

$\quad 2^{1/2} \cdot 2^{1/2} = 2^{1/2 + 1/2} = 2^1 = 2$ , så måste  $ 2^{1/2} $  vara samma sak som  $ \sqrt{2} $  eftersom

$\quad \sqrt2 $  är det tal som uppfyller   $\sqrt2\cdot\sqrt2 = 2$ 

Allmänt kan vi göra definitionen:

$ a^{1/2} = \sqrt{a} $

Vi ser då att vi måste förutsätta att $a\ge 0$, eftersom t.ex.

$ (-2)^{1/2} = \sqrt{-2} $

inte är möjligt. Man ser också att exempelvis

$ 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} \cdot 5^{1/3} = 5^{1/3 + 1/3 +1/3} = 5^1 = 5 $

som innebär att

$ 5^{1/3} = \sqrt[\scriptstyle3]{5} $, vilket kan generaliseras till att

Genom att kombinera denna definition med en av de tidigare potenslagarna $((a^m)^n=a^{m\cdot n})$ får vi att, för alla $a\ge0$ gäller att

eller

Jämförelse av potenser

Om man utan tillgång till miniräknare vill jämföra storleken av potenser, kan man i vissa fall avgöra detta genom att jämföra basen eller exponenten.

Om basen i en potens är större är än $1$ så blir potensen större ju större exponenten är. Är däremot basen mellan $0$ och $1$ så blir potensen mindre istället när exponenten växer.

Har en potens en positiv exponent så blir potensen större ju större basen är. Det motsatta gäller om exponenten är negativ, Då blir potensen mindre när basen blir större.

Ibland krävs det en omskrivning av potenserna för att kunna avgöra storleksförhållandet. Vill man t.ex. jämföra

$125^2 \mbox{ med } 36^3$

kan man göra omskrivningarna

$ 125^2 = (5^3)^2 = 5^6 \mbox{ och } 36^3 = (6^2)^3 = 6^6 $

varefter man kan konstatera att

$36^3 > 125^2.$

© Copyright 2006, KTH Matematik

© Copyright 2006, KTH Matematik