Teori
Distributiva lagen
Den distrubtiva lagen anger hur man multiplicerar in en faktor i en parentes.
(Bild: figur 2.1.1)
Exempel 1
- $4 (x+y) = 4x + 4y$
- $2(a-b) = 2a -2b$
- $x \left(\displaystyle\frac{1}{x} + \displaystyle\frac{1}{x^2} \right) = x\cdot \displaystyle\frac{1}{x} + x \cdot \displaystyle\frac{1}{x^2} = \displaystyle\frac{\not{x}}{\not{x}} + \displaystyle\frac{\not{x}}{x^{\not{2}}} = 1 + \displaystyle\frac{1}{x}$
- $a(x+y+z) = ax + ay + az$
Med den distrubtiva lagen kan vi också förstå hur vi kan hanter minustecken framför parantesuttryck. Regeln säger att en parantes med ett minustecken framför kan tas bort om alla termer inuti parantesen byter tecken.
Exempel 2
- $-(x+y) = (-1) \cdot (x+y) = (-1)x + (-1)y = -x-y$
- $-(x^2-x) = (-1) \cdot (x^2-x) = (-1)x^2 -(-1)x = -x^2 +x$
där vi i sista ledet användt att $-(-1)x = (-1)(-1)x = 1\cdot x=x$
- $-(x+y+y^3) = (-1)\cdot (x+y+y^3) = (-1)\cdot x + (-1) \cdot y -(-1)\cdot y^3$
- $=-x-y+y^3$
- $x^2 - 2x -(3x+2) = x^2 -2x -3x-2 = x^2 -(2+3)x -2$
- $= x^2 -5x -2$
Om den distrubtiva lagen används baklänges så sägs vi faktorisera uttrycket. Ofta försöker man bryta ut en så stor faktor som möjligt.
Exempel 3
- $3x +9y = 3x + 3\cdot 3y = 3(x+3y)$
- $xy + y^2 = xy + y\cdot y = y(x+y)$
- $2x^2 -4x = 2x\cdot x - 2\cdot 2\cdot x = 2x(x-2)$
- $\displaystyle \frac{y-x}{x-y} = \displaystyle \frac{-(x-y)}{x-y} = \displaystyle \frac{-1}{1} = -1$
Kvaderingsreglerna
Den distrubtiva lagen behöver ibland användas upprepade gånger för att behandla större uttryck. Om vi betraktar
$$(a+b)(c+d)$$
och ser $a+b$ som en faktor som multipliceras in i parentesen (c+d) så får vi
$$\bbox[#AAEEFF,5pt]{\quad \quad } (c+d) = \bbox[#AAEEFF,5pt]{\quad \quad } c + \bbox[#AAEEFF,5pt]{\quad \quad }d$$
$$(a+b)(c+d) = (a+b)c + (a+b)d$$
Sedan kan $c$ och $d$ multipliceras in i respektive parentes
$$(a+b)c + (a+b)d = ac + ad + bc + bd \, \mbox{.}$$
Ett minnesvärt sätt att sammanfatta formeln är:
(Bild: figur 2.1.2)
Exempel 4
- $(x+1)(x-2) = x\cdot x + x \cdot (-2) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-2) = x^2 -2x+x-2$
- $=x^2 -x-2$
- $3(x-y)(2x+1) = 3(x\cdot 2x + x\cdot 1 - y \cdot 2x - y \cdot 1) = 3(2x^2 +x-2xy-y)$
- $=6x^2 +3x-6xy-3y$
- $(1-x)(2-x) = 1\cdot 2 + 1 \cdot (-x) -x\cdot 2 - x\cdot (-x) = 2-x-2x+x^2$
- $=2-3x+x^2$
där vi använt att $-x\cdot (-x) = (-1)x \cdot (-1)x = (-1)^2 x^2 =1\cdot x^2 = x^2$.
Två viktiga specialfall av ovanstående formel är när $a+b$ och $c+d$ är samma uttryck
Kvaderingsreglerna
$$(a+b)^2 = a^2 +2ab + b^2$$
$$(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$$
Dessa formler kallas för första och andra kvaderingsregeln.
Exempel 5
- $(x+2)^2 = x^2 + 2\cdot 2x+ 2^2 = x^2 +4x +4$
- $(-x+3)^2 = (-x)^2 + 2\cdot 3(-x) + 3^2 = x^2 -6x +9$
där $(-x)^2 = ((-1)x)^2 = (-1)^2 x^2 = 1 \cdot x^2 = x^2$
- $matte$
- $matte$
- $matte$
- $matte$
Kvaderingsreglerna används också i omvänd riktning för att faktorisera uttryck.
Exempel 6
- $x^2 + 2x+ 1 = (x+1)^2$
- $x^6-4x^3 +4 = (x^3)^2 - 2\cdot 2x^3 +2^2 = (x^3-2)^2$
- $x^2 +x + \displaystyle \frac{1}{4} = x^2 + 2\cdot\displaystyle \frac{1}{2}x + \left(\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 = \left(x-\displaystyle \frac{1}{2}\right)^2 $
</div>
Konjugatregeln
Viktig regel:
$$dubbeldollar$$
Rationella uttryck
© Copyright 2006, KTH Matematik
|
|
