Exempel 1

Lös ekvationen $\sin x = 1/2$.

Lösning:

Vår uppgift är att bestämma alla vinklar som gör att sinus av vinkeln blir $1/2$. Vi tar hjälp av enhetscirkeln. Notera att vinklen här kallas $x$.

Bild: figur 3.5.1

I figuren har vi angivit de två riktningar som ger punkter med $y$-koordinat $1/2$ i enhetscirkeln, d.v.s. vinklar med sinusvärdet $\frac{1}{2}$. Den första är standardvinkeln $30^\circ = \pi / 6 $ och symmetriskäl bildar den andra vinkeln $30^\circ$ mot den negativa $x$-axeln, vilket gör at den vinkeln är $180^\circ – 30^\circ = 150^\circ$ eller i radianer $\pi – \pi / 6 = 5\pi / 6$. Detta är de enda lösningar till ekvationen $\sin x = \frac{1}{2}$ mellan $0$ och $2\pi$.

Vi kan dock lägga till ett godtyckligt antal varv till dessa två vinklar och fortfarande få samma sinusvärde. Alla vinklar med sinusvärde $\frac{1}{2}$ är alltså $$\left\{ \matrix{x=\displaystyle \frac{\pi}{6} + 2n\pi \\ x=\displaystyle \frac{5\pi}{6} + 2n\pi}\right.$$ där $n$ är ett godtyckligt heltal. Detta kallas den fullständiga lösningen till ekvationen.

Lösningarna syns också i figuren nedan där grafen till $y = \sin x$ skär linjen $y=\frac{1}{2}$.

Exempel 2

Lös ekvationen $\cos x = 1/2$.

Lösning:

Vi tar igen hjälp av enhetscirkeln.

Vi vet att cosinus blir $\frac{1}{2}$ för vinkeln $\pi/3$. Den enda andra riktningen i enhetscirkeln som ger samma värde på cosinus har vinkeln $-\pi/3$. Lägger vi til ett helt antal varv till dessa vinklar får vi den fullständiga lösningen

$$x = \pm \pi/3 + n \cdot 2\pi $$

där $n$ är ett godtyckligt heltal.

Exempel 3

Lös ekvationen $\tan x = \sqrt{3}$.

Lösning:

Om vi betraktar enhetscirkeln så är tangens av en vinkel lika med riktningskoefficienten för den räta linje genom origo som bildar vinkeln $x$ med den postiva $x$-axeln.

Bild: figur 3.5.2

Därför ser vi att lösningarna till $\tan x = \sqrt{3}$ upprepar sig varje halvt varv $\pi/3, \pi/3 +\pi , \pi/3+ \pi +\pi, \ldots$ Den fullständiga lösningen kan vi få fram genom att utgå från lösningen $\pi/3$ och lägga till eller dra ifrån multiplar av $\pi$, $$x = \pi/3 + n \cdot \pi $$

där $n$ är ett godtyckligt heltal.

Exempel 4

Lös ekvationen $\cos 2x – 4\cos x + 3= 0$.

Lösning:

Omskrivning med hjälp av formeln $\cos 2x = 2 \cos^2 x – 1$ ger $$(2 \cos^2 x – 1) – 4\cos x + 3 = 0$$

vilket kan förenklas till ekvationen

$$\cos^2 x - 2 \cos x +1 =0\; \mbox{.}$$

Vänsterledet kan faktoriseras med kvaderingsreglerna till

$$(\cos x-1)^2 = 0$$

Denna ekvation kan bara vara uppfylld om $\cos x = 1$. Grundekvationen $\cos x=1$ kan vi lösa på det vanliga sättet och den fullständiga lösningen är

$$x = 2n\pi \quad \quad(n \mbox{ godtyckligt heltal).}$$

Exempel 5

Lös ekvationen $\displaystyle\frac{1}{2}\sin x + 1 – \cos^2 x = 0$.

Lösning:

Enligt trigonometriska ettan är $\sin ^2 x + \cos^2 x = 1$, dvs $1 – \cos^2 x = \sin^2 x$.

Ekvationen kan alltså skrivas $$\displaystyle\frac{1}{2}\sin x + \sin^2 x = 0\; \mbox{.}$$

Genom att nu bryta ut en faktor $\sin x$ får vi $$(\sin x )\left(\displaystyle\frac{1}{2} + \sin x\right) = 0 \; \mbox{.}$$

Från denna faktoriserade form av ekvationen ser vi att lösningarna antingen måste uppfylla $\sin x = 0$ och $\sin x = -1/2$, vilka är två vanliga grundekvationer på formen $\sin x = a$ och kan lösas som i exempel 1. Lösningarna blir till slut

$$\left\{\matrix{ x=n\pi \\ x=-\frac{\pi}{6} + 2n\pi & \quad \quad (n \mbox{ godtyckligt heltal).} \\ x=\frac{7\pi}{6} + 2n\pi} \right.$$

Exempel 6

Lös ekvationen $\sin 2x =4 \cos x$.

Lösning:

Genom omskrivning med formeln för dubbla vinkeln blir ekvationen

$2\sin x \cos x – 4 \cos x = 0$.

Vi delar med 2 och bryter ut en faktor $\cos x$, vilket ger

$(\cos x)( \sin x – 2) = 0$.

Eftersom produkten bara kan bli noll genom att en faktor är noll, så kan ekvationen delas upp i grundekvationerna

$\cos x = 0$ och $\sin x = 2$.

Men $\sin x$ kan aldrig bli större än 1, så ekvationen $\sin x = 2$ saknar lösningar. Då återstår bara $\cos x = 0$, vilket med hjälp av enhetscirkeln ger den fullständiga lösningen $x = \pi / 2 + n \cdot \pi$.

Exempel 7

Lös ekvationen $4 \sin^2 x – 4 \cos x = 1$.

Lösning:

Med trigonometriska ettan kan $\sin^2 x$ bytas ut mot $1 – \cos^2 x$. Då får vi

$4 (1 – \cos^2 x) – 4 \cos x = 1$

$4 – 4 \cos^2 x – 4 \cos x = 1$

$– 4 \cos^2 x – 4 \cos x + 4 – 1 = 0$

$\cos^2 x + \cos x – 3/4 = 0$

Detta är en andragradsekvation i $\cos x$, som har lösningarna

$\cos x = -\frac{3}{2} \quad \mbox{och} \quad \cos x= \frac{1}{2},$

Eftersom värdet av $\cos x $ ligger mellan – 1 och 1 kan vi förkasta alla lösningar utanför detta intervall. Då återstår bara grundekvationen

$\cos x = 1/2$,

som löses enligt exempel 2.