Sammanställning övningar
Sommarmatte 1
Övning 1.1:1
Beräkna (utan hjälp av räknedosa)
| a) | $3-7-4+6-5$ | b) | $3-(7-4)+(6-5)$ |
| c) | $3-(7-(4+6)-5)$ | d) | $3-(7-(4+6))-5$ |
| a) | $-7$ | b) | $1$ |
| c) | $11$ | d) | $1$ |
Övning 1.1:2
Beräkna (utan hjälp av räknedosa)
| a) | $(3-(7-4))(6-5)$ | b) | $3-(((7-4)+6)-5)$ |
| c) | $3\cdot(-7)-4\cdot(6-5)$ | d) | $3\cdot(-7)-(4+6)/(-5)$ |
| a) | $0$ | b) | $-1$ |
| c) | $-25$ | d) | $-19$ |
Övning 1.1:3
Vilka av följande tal tillhör de naturliga talen? heltalen? rationella talen? irrationella talen? Förenkla först!
| a) | $8$ | b) | $-4$ | c) | $8-4$ |
| d) | $4-8$ | e) | $8(-4)$ | f) | $(-8)(-4)$ |
| g) | $\displaystyle \frac{4}{-8}$ | h) | $\displaystyle \frac{-8}{-4}$ | i) | $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{3}$ |
| j) | $\displaystyle \Bigl(\frac{4}{\sqrt{2}}\Bigr)^2$ | k) | $-\pi$ | l) | $\pi+1$ |
| a) | naturliga talen, heltalen, rationella talen | b) | heltalen, rationella talen | c) | naturliga talen, heltalen, rationella talen |
| d) | heltalen, rationella talen | e) | heltalen, rationella talen | f) | naturliga talen, heltalen, rationella talen |
| g) | rationella talen | h) | naturliga talen, heltalen, rationella talen | i) | irrationella talen |
| j) | naturliga talen, heltalen, rationella talen | k) | irrationella talen | l) | irrationella talen |
Övning 1.1:4
Ordna följande tal i storleksordning
| a) | $\displaystyle 2,\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{3}\ $ och $\ \displaystyle \frac{7}{3}$ |
| b) | $\displaystyle -\frac{1}{2},\ -\frac{1}{5},\ -\frac{3}{10}\ $ och $\ \displaystyle -\frac{1}{3}$ |
| c) | $\displaystyle \frac{1}{2},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{5},\ \frac{5}{8}\ $ och $\ \displaystyle \frac{21}{34}$ |
| a) | $\displaystyle \frac{3}{5}<\frac{5}{3}<2<\frac{7}{3}$ |
| b) | $\displaystyle -\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}<-\frac{3}{10}<-\frac{1}{5}$ |
| c) | $\displaystyle \frac{1}{2}<\frac{3}{5}<\frac{21}{34}<\frac{5}{8}<\frac{2}{3}$ |
Övning 1.1:5
Ange decimalutvecklingen med tre korrekta decimaler till
| a) | $\displaystyle \frac{7}{6}$ | b) | $\displaystyle \frac{9}{4}$ | c) | $\displaystyle \frac{2}{7}$ | d) | $\sqrt{2}$ |
| a) | $1{,}167$ | b) | $2{,}250$ | c) | $0{,}286$ | d) | $1{,}414$ |
Övning 1.1:6
Vilka av följande tal är rationella? Ange dem som en kvot mellan heltal.
| a) | $3,14$ |
| b) | $3{,}1416\,1416\,1416\,\dots$ |
| c) | $0{,}2\,001\,001\,001\,\dots\,$ (därefter är var tredje decimal en 1:a och övriga 0) |
| d) | $0{,}10\,100\,1000\,10000\,1\dots\, $ (en 1:a, en 0:a, en 1:a, två 0:or, en 1:a, tre 0:or osv.) |
| a) | Talet är rationellt och lika med $\,314/100 = 157/50\,$. |
| b) | Talet är rationellt och är lika med $\,31413/9999 = 10471/3333\,$. |
| c) | Talet är rationellt och lika med $\,1999/9990\,$. |
| d) | Talet är irrationellt. |
Övning 1.2:1
Skriv på gemensamt bråkstreck
| a) | $\displaystyle \frac{7}{4}+\frac{11}{7}$ | b) | $\displaystyle \frac{2}{7}-\frac{1}{5}$ | c) | $\displaystyle \frac{1}{6}-\frac{2}{5}$ |
| d) | $\displaystyle \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$ | e) | $\displaystyle \frac{8}{7}+\frac{3}{4}-\frac{4}{3}$ | ||
| a) | $\displaystyle \frac{93}{28}$ | b) | $\displaystyle \frac{3}{35}$ | c) | $\displaystyle -\frac{7}{30}$ |
| d) | $\displaystyle \frac{47}{60}$ | e) | $\displaystyle \frac{47}{84}$ | ||
Övning 1.2:2
Bestäm minsta gemensamma nämnare
| a) | $\displaystyle \frac{1}{6}+\frac{1}{10}$ | b) | $\displaystyle \frac{1}{4}-\frac{1}{8}$ |
| c) | $\displaystyle \frac{1}{12}-\frac{1}{14}$ | d) | $\displaystyle \frac{2}{45}+\frac{1}{75}$ |
| a) | $\displaystyle {30}$ | b) | $\displaystyle {8}$ |
| c) | $\displaystyle {84}$ | d) | $\displaystyle {225}$ |
Övning 1.2:3
Beräkna följande uttryck genom att använda minsta gemensamma nämnare:
| a) | $\displaystyle \frac{3}{20}+\frac{7}{50}-\frac{1}{10}$ | b) | $\displaystyle \frac{1}{24}+\frac{1}{40}-\frac{1}{16}$ |
| a) | $\displaystyle \frac{19}{100}$ | b) | $\displaystyle \frac{1}{240}$ |
Övning 1.2:4
Förenkla följande uttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck. Bråket ska vara färdigförkortat.
| a) | $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{5}}{\displaystyle\frac{7}{10}}$ | b) | $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2}{7}}{\displaystyle\frac{3}{8}}$ | c) | $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{4}-\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{3}{10}}$ |
| a) | $\displaystyle \frac{6}{7}$ | b) | $\displaystyle \frac{16}{21}$ | c) | $\displaystyle \frac{1}{6}$ |
Övning 1.2:5
Förenkla följande uttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck. Bråket ska vara färdigförkortat.
| a) | $\displaystyle \frac{2}{\displaystyle \frac{1}{7}\displaystyle -\frac{1}{15}}$ | b) | $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle+\frac{1}{3}}{\displaystyle\frac{1}{3}\displaystyle-\frac{1}{2}}$ | c) | $\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{3}{10}\displaystyle-\frac{1}{5}}{\displaystyle\frac{7}{8}\displaystyle-\frac{3}{16}}$ |
| a) | $\displaystyle \frac{105}{4}$ | b) | $-5$ | c) | $\displaystyle \frac{8}{55}$ |
Övning 1.2:6
Förenkla $\ \,\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{2}{\displaystyle 3+\frac{1}{2}}\displaystyle + \frac{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{1}{4}\displaystyle -\frac{1}{3}}}{\displaystyle \frac{1}{2}\displaystyle - \frac{3}{\displaystyle 2-\frac{2}{7}}}$
| $\displaystyle \frac{152}{35}$ |
Övning 1.3:1
Beräkna
| a) | $2^3\cdot3^2$ | b) | $3^5\cdot9^{-2}$ | c) | $(-5)^3$ | d) | $\Bigl(\displaystyle \frac{2}{3}\Bigr)^{-3}$ |
| a) | $72$ | b) | $3$ | c) | $-125$ | d) | $\displaystyle \frac{27}{8}$ |
Övning 1.3:2
Skriv som en potens av 2
| a) | $2\cdot4\cdot8$ | b) | $0{,}25$ | c) | $1$ |
| a) | $2^6$ | b) | $2^{-2}$ | c) | $2^0$ |
Övning 1.3:3
Skriv som en potens av 3
| a) | $\displaystyle \frac{1}{3}$ | b) | $243$ | c) | $9^2$ | d) | $\displaystyle \frac{1}{27}$ | e) | $\displaystyle \frac{3}{9^2}$ |
| a) | $3^{-1}$ | b) | $3^5$ | c) | $3^4$ | d) | $3^{-3}$ | e) | $3^{-3}$ |
Övning 1.3:4
Beräkna
| a) | $2^{9}\cdot2^{-7}$ | b) | $3^{13}\cdot9^{-3}\cdot27^{\,-2}$ | c) | $\displaystyle \frac{5^{12}}{5^{-4}}\cdot(5^{2})^{-6}$ |
| d) | $2^{2^{\scriptstyle3}}\cdot(-2)^{\scriptstyle-4}$ | e) | $625\cdot(5^{8}+5^{9})^{-1}$ | ||
| a) | $4$ | b) | $3$ | c) | $625$ |
| d) | $16$ | e) | $\displaystyle \frac{1}{3750}$ | ||
Övning 1.3:5
Beräkna
| a) | $4^{1/2}$ | b) | $4^{-1/2}$ | c) | $9^{3/2}$ |
| d) | $\left(47^{2/3} \right) ^{3}$ | e) | $3^{1{,}4}\cdot3^{0{,}6}$ | f) | $\bigl( 125 ^{1/3} \bigr)^2\cdot \bigl( 27^{1/3} \bigr)^{-2}\cdot9^{1/2}$ |
| a) | $2$ | b) | $\displaystyle \frac{1}{2}$ | c) | $27$ |
| d) | $2209$ | e) | $9$ | f) | $\displaystyle \frac{25}{3}$ |
Övning 1.3:6
Avgör vilket tal som är störst av
| a) | $256^{1/3}\ $ och $\ 200^{1/3}$ | b) | $0{,}5^{-3}\ $ och $\ 0{,}4^{-3}$ | c) | $0{,}2^5\ $ och $\ 0{,}2^{7}$ |
| d) | $400^{1/3}\ $ och $\ \bigl(5^{1/3}\bigr)^{4}$ | e) | $125^{1/2}\ $ och $\ 625^{1/3}$ | f) | $2^{56}\ $ och $\ 3^{40}$ |
| a) | $256^{1/3}>200^{1/3}$ | b) | $0{,}4^{-3}>0{,}5^{-3}$ | c) | $0{,}2^{5}>0{,}2^{7}$ |
| d) | $\bigl(5^{1/3}\bigr)^{4}>400^{1/3}$ | e) | $125^{1/2}>625^{1/3}$ | f) | $3^{40}>2^{56}$ |
Övning 2.1:1
Utveckla
| a) | $3x(x-1)$ | b) | $(1+x-x^2)xy$ | c) | $-x^2(4-y^2)$ |
| d) | $x^3y^2\left(\displaystyle \frac{1}{y} - \frac{1}{xy}+1\right)$ | e) | $(x-7)^2$ | f) | $(5+4y)^2$ |
| g) | $(y^2-3x^3)^2$ | h) | $(5x^3+3x^5)^2$ | ||
| a) | $3x^2-3x$ | b) | $xy+x^2y-x^3y$ | c) | $-4x^2+x^2y^2$ |
| d) | $x^3y-x^2y+x^3y^2$ | e) | $x^2-14x+49$ | f) | $16y^2+40y+25$ |
| g) | $9x^6-6x^3y^2+y^4$ | h) | $9x^{10}+30x^8+25x^6$ | ||
Övning 2.1:2
Utveckla och förenkla så långt som möjligt
| a) | $(x-4)(x-5)-3x(2x-3)$ | b) | $(1-5x)(1+15x)-3(2-5x)(2+5x)$ |
| c) | $(3x+4)^2-(3x-2)(3x-8)$ | d) | $(3x^2+2)(3x^2-2)(9x^4+4)$ |
| e) | $(a+b)^2+(a-b)^2$ | ||
| a) | $-5x^2+20$ | b) | $10x-11$ |
| c) | $54x$ | d) | $81x^8-16$ |
| e) | $2a^2+2b^2$ | ||
Övning 2.1:3
Faktorisera så långt som möjligt
| a) | $x^2-36$ | b) | $5x^2-20$ | c) | $x^2+6x+9$ |
| d) | $x^2-10x+25$ | e) | $18x-2x^3$ | f) | $16x^2+8x+1$ |
| a) | $(x+6)(x-6)$ | b) | $5(x+2)(x-2)$ | c) | $(x+3)^2$ |
| d) | $(x-5)^2$ | e) | $-2x(x+3)(x-3)$ | f) | $(4x+1)^2$ |
Övning 2.1:4
Bestäm koefficienterna framför $\,x\,$ och $\,x^2\,$ när följande uttryck utvecklas
| a) | $(x+2)(3x^2-x+5)$ |
| b) | $(1+x+x^2+x^3)(2-x+x^2+x^4)$ |
| c) | $(x-x^3+x^5)(1+3x+5x^2)(2-7x^2-x^4)$ |
| a) | $5\,$ framför $\,x^2\,$, $\,3\,$ framför $\,x$ |
| b) | $2\,$ framför $\,x^2\,$, $\,1\,$ framför $\,x$ |
| $\textrm{c) }$ | $6\,$ framför $\,x^2\,$, $\,2\,$ framför $\,x$ |
Övning 2.1:5
Förenkla så långt som möjligt
| a) | $\displaystyle \frac{1}{x-x^2}-\displaystyle \frac{1}{x}$ | b) | $\displaystyle \frac{1}{y^2-2y}-\displaystyle \frac{2}{y^2-4}$ |
| c) | $\displaystyle \frac{(3x^2-12)(x^2-1)}{(x+1)(x+2)}$ | d) | $\displaystyle \frac{(y^2+4y+4)(2y-4)}{(y^2+4)(y^2-4)}$ |
| a) | $\displaystyle \frac{1}{1-x}$ | b) | $-\displaystyle \frac{1}{y(y+2)}$ |
| c) | $3(x-2)(x-1)$ | d) | $\displaystyle \frac{2(y+2)}{y^2+4}$ |
Övning 2.1:6
Förenkla så långt som möjligt
| a) | $\left(x-y+\displaystyle\frac{x^2}{y-x}\right)$ $\left(\displaystyle\frac{y}{2x-y}-1\right)$ | b) | $\displaystyle \frac{x}{x-2}+\displaystyle \frac{x}{x+3}-2$ |
| c) | $\displaystyle \frac{2a+b}{a^2-ab}-\frac{2}{a-b}$ | d) | $\displaystyle\frac{a-b+\displaystyle\frac{b^2}{a+b}}{1-\left(\displaystyle\frac{a-b}{a+b}\right)^2}$ |
| a) | $2y$ | b) | $\displaystyle\frac{-x+12}{(x-2)(x+3)}$ |
| c) | $\displaystyle\frac{b}{a(a-b)}$ | d) | $\displaystyle\frac{a(a+b)}{4b}$ |
Övning 2.1:7
Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck
| a) | $\displaystyle \frac{2}{x+3}-\frac{2}{x+5}$ | b) | $x+\displaystyle \frac{1}{x-1}+\displaystyle \frac{1}{x^2}$ | c) | $\displaystyle \frac{ax}{a+1}-\displaystyle \frac{ax^2}{(a+1)^2}$ |
| a) | $\displaystyle \frac{4}{(x+3)(x+5)}$ | b) | $\displaystyle \frac{x^4-x^3+x^2+x-1}{x^2(x-1)}$ | c) | $\displaystyle \frac{ax(a+1-x)}{(a+1)^2}$ |
Övning 2.1:8
Förenkla följande bråkuttryck genom att skriva på gemensamt bråkstreck
| a) | $\displaystyle \frac{\displaystyle\ \frac{x}{x+1}\ }{\ 3+x\ }$ | b) | $\displaystyle \frac{\displaystyle \frac{3}{x}-\displaystyle \frac{1}{x}}{\displaystyle \frac{1}{x-3}}$ | c) | $\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+\displaystyle \frac{1}{1+x}}}$ |
| a) | $\displaystyle \frac{x}{(x+3)(x+1)}$ | b) | $\displaystyle \frac{2(x-3)}{x}$ | c) | $\displaystyle \frac{x+2}{2x+3}$ |
Övning 2.2:1
Lös ekvationerna
| a) | $x-2=-1$ | b) | $2x+1=13$ |
| c) | $\displaystyle\frac{1}{3}x-1=x$ | d) | $5x+7=2x-6$ |
| a) | $x=1$ | b) | $x=6$ |
| c) | $x=-\displaystyle\frac{3}{2}$ | d) | $x=-\displaystyle\frac{13}{3}$ |
Övning 2.2:2
Lös ekvationerna
| a) | $\displaystyle\frac{5x}{6}-\displaystyle\frac{x+2}{9}=\displaystyle\frac{1}{2}$ | b) | $\displaystyle\frac{8x+3}{7}-\displaystyle\frac{5x-7}{4}=2$ |
| c) | $(x+3)^2-(x-5)^2=6x+4$ | d) | $(x^2+4x+1)^2+3x^4-2x^2=(2x^2+2x+3)^2$ |
| a) | $x=1$ | b) | $x=\displaystyle\frac{5}{3}$ |
| c) | $x=2$ | d) | $x=-2$ |
Övning 2.2:3
Lös ekvationerna
| a) | $\displaystyle\frac{x+3}{x-3}-\displaystyle\frac{x+5}{x-2}=0$ |
| b) | $\displaystyle\frac{4x}{4x-7}-\displaystyle\frac{1}{2x-3}=1$ |
| c) | $\left(\displaystyle\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\left(x^2+\frac{1}{2}\right)=\displaystyle\frac{6x-1}{3x-3}$ |
| d) | $\left(\displaystyle\frac{2}{x}-3\right)\left(\displaystyle\frac{1}{4x}+\frac{1}{2}\right)-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{2}{3}\right)^2-\left(\displaystyle\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}\right)\left(\displaystyle\frac{1}{2x}-\frac{1}{3}\right)=0$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $x=9$ |
| b) | $x=\displaystyle\frac{7}{5}$ |
| c) | $x=\displaystyle\frac{4}{5}$ |
| d) | $x=\displaystyle\frac{1}{2}$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
|
|
Lösning c)
Lösning till delfråga c)
|
|
|
|
|
|
Lösning d)
Lösning till delfråga d)
|
|
|
|
|
|
Övning 2.2:4
| a) | Skriv ekvationen för linjen $\,y=2x+3\,$ på formen $\,ax+by=c\,$. |
| b) | Skriv ekvationen för linjen $\,3x+4y-5=0\,$ på formen $\,y=kx+m\,$. |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $-2x+y=3$ |
| b) | $y=-\displaystyle\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ |
Lösning a)
Lösning till delfråga a)
|
|
Lösning b)
Lösning till delfråga b)
|
|
Övning 2.2:5
| a) | Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkterna $\,(2,3)\,$ och $\,(3,0)\,$. |
| b) | Bestäm ekvationen för den räta linje som har riktningskoefficient $\,-3\,$ och går genom punkten $\,(1,-2)\,$. |
| c) | Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(-1,2)\,$ och är parallell med linjen $\,y=3x+1\,$. |
| d) | Bestäm ekvationen för den räta linje som går genom punkten $\,(2,4)\,$ och är vinkelrät mot linjen $\,y=2x+5\,$. |
| e) | Bestäm riktningskoefficienten, $\,k\,$, för den räta linje som skär x-axeln i punkten $\,(5,0)\,$ och y-axeln i punkten $\,(0,-8)\,$. |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $y=-3x+9$ |
| b) | $y=-3x+1$ |
| c) | $y=3x+5$ |
| d) | $y=-\displaystyle \frac{1}{2}x+5$ |
| e) | $k = \displaystyle\frac{8}{5}$ |
Övning 2.2:6
Finn skärningspunkten mellan följande linjer
| a) | $y=3x+5\ $ och x-axeln | b) | $y=-x+5\ $ och y-axeln |
| c) | $4x+5y+6=0\ $ och y-axeln | d) | $x+y+1=0\ $ och $\ x=12$ |
| e) | $2x+y-1=0\ $ och $\ y-2x-2=0$ | ||
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $\bigl(-\frac{5}{3},0\bigr)$ | b) | $(0,5)$ |
| c) | $\bigl(0,-\frac{6}{5}\bigr)$ | d) | $(12,-13)$ |
| e) | $\bigl(-\frac{1}{4},\frac{3}{2}\bigr)$ | ||
Övning 2.2:7
Skissera grafen till följande funktioner
| a) | $f(x)=3x-2$ | b) | $f(x)=2-x$ | c) | $f(x)=2$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
Övning 2.2:8
Rita in i ett xy-plan alla punkter vars koordinater $\,(x,y)\,$ uppfyller
| a) | $y \geq x $ | b) | $y < 3x -4 $ | c) | $2x+3y \leq 6 $ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) |  |
b) |  |
| c) |  |
Övning 2.2:9
Beräkna arean av den triangel som
| a) | har hörn i punkterna $\,(1,4)\,$, $\,(3,3)\,$ och $\,(1,0)\,$ |
| b) | begränsas av linjerna $\ x=2y\,$, $\ y=4\ $ och $\ y=10-2x\,$ |
| c) | beskrivs av olikheterna $\ x+y \geq -2\,$, $\ 2x-y \leq 2\ $ och $\ 2y-x \leq 2\,$ |
Facit
Facit till alla delfrågor
| a) | $4\,$ a.e. |
| b) | $5\,$ a.e. |
| c) | $6\,$ a.e. |
